Lösung 2.2:4d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Solution 2.2:4d moved to Lösung 2.2:4d: Robot: moved page)
Zeile 1: Zeile 1:
-
The integral can be simplified by a so-called polynomial division. We add and take away 1 in the numerator and can thus eliminate the <math>x^2</math>-term from the numerator
+
Der Integrand kann durch Polynomdivision vereinfacht werden. Wir addieren und subtrahieren 1 vom Zähler, und erhalten so
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2}{x^{2}+1} = \frac{x^2+1-1}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} = 1-\frac{1}{x^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2}{x^{2}+1} = \frac{x^2+1-1}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} = 1-\frac{1}{x^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
-
Thus, we have
+
Daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\,dx = \int\Bigl(1-\frac{1}{x^2+1} \Bigr)\,dx = x-\arctan x+C\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\,dx = \int\Bigl(1-\frac{1}{x^2+1} \Bigr)\,dx = x-\arctan x+C\,\textrm{.}</math>}}

Version vom 13:50, 5. Mai 2009

Der Integrand kann durch Polynomdivision vereinfacht werden. Wir addieren und subtrahieren 1 vom Zähler, und erhalten so

\displaystyle \frac{x^2}{x^{2}+1} = \frac{x^2+1-1}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} = 1-\frac{1}{x^2+1}\,\textrm{.}

Daher ist

\displaystyle \int\frac{x^2}{x^2+1}\,dx = \int\Bigl(1-\frac{1}{x^2+1} \Bigr)\,dx = x-\arctan x+C\,\textrm{.}
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.2:4d“