Lösung 2.2:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The secret behind a successful substitution is to be able to recognize the integral as an expression of the type
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Wir sehen dass die Ableitung von <math>x^2</math>, <math>\bigl(x^2\bigr)'=2x</math> ist, und daher machen wir die Substitution <math>u=x^2</math>,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \left( \begin{matrix}
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\text{an expression}\\
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\text{in u}
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\end{matrix}\right)\cdot u'\,dx\,,</math>}}
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where <math>u=u(x)</math> is the actual substitution. In the integral
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int 2x\sin x^2\,dx</math>}}
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we see that the expression <math>x^2</math> is the argument for the sine function, as the same time as its derivative <math>\bigl(x^2\bigr)'=2x</math> stands as a factor in front of sine. Therefore, if we set <math>u=x^2</math>, the integral, the integral will be of the form
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int u'\sin u\,dx\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int u'\sin u\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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Thus, we can use <math>u=x^2</math> for the substitution,
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Wir erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 13:17, 5. Mai 2009

Wir sehen dass die Ableitung von \displaystyle x^2, \displaystyle \bigl(x^2\bigr)'=2x ist, und daher machen wir die Substitution \displaystyle u=x^2,

\displaystyle \int u'\sin u\,dx\,\textrm{.}

Wir erhalten,

\displaystyle \begin{align}

\int 2x\sin x^2\,dx &=\left\{\begin{align} u &= x^2\\[5pt] du &= 2x\,dx \end{align}\right\} = \int{\sin u\,du}\\[5pt] &= -\cos u+C = -\cos x^2 + C\,\textrm{.} \end{align}

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