Lösung 2.1:4e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The double inequality means that we look for the area of the region which is bounded above in the y-direction by the straight line <math>y=x+2</math> and from below by the parabola <math>y=x^2</math>.
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die doppelte ungleichung bedeutet dass ''y'' zwischen den Kurven <math>y=x+2</math> und <math>y=x^2</math> liegt.
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If we sketch the line and the parabola, the region is given by the region shaded in the figure below.
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In der Figur unten ist das gebiet eingezeichnet.
[[Image:2_1_4_e.gif|center]]
[[Image:2_1_4_e.gif|center]]
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As soon as we have determined the ''x''-coordinates of the points of intersection,
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Die Fläche des Gebietes ist
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<math>x=a</math> and <math>x=b</math>, between the line and the parabola, we can calculate the area as the integral of the difference between the curves' ''y''-values,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_a^b \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_a^b \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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The curves' points of intersection are those points which lie on both curves, i.e. which satisfy both curves' equations
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wo <math>x=a</math> und <math>x=b</math> die Schnittstellen der beiden Kurven sind, die wir durch folgende Gleichung erhalten,
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 17: Zeile 16:
\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
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By eliminating <math>y</math>, we obtain an equation for <math>x</math>,
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Eliminieren wir <math>y</math>, erhalten wir eine Gleichung für <math>x</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}=x+2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}=x+2\,\textrm{.}</math>}}
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If we move all ''x''-terms to the left-hand side,
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Hohlen wir alle ''x''-Terme zu einer Seite erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x=2\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x=2\,,</math>}}
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and complete the square, we obtain
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und durch quadratische Ergänzung erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 32: Zeile 31:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Taking the root then gives that <math>x=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{3}{2}</math>. In other words, <math>x=-1</math> and <math>x=2\,</math>.
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wir erhalten also die Wurzeln <math>x=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{3}{2}</math>, oder <math>x=-1</math> und <math>x=2\,</math>.
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The area of the region is now given by
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Die Fläche ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{Area}
+
\text{Fläche}
&= \int\limits_{-1}^2 \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\\[5pt]
&= \int\limits_{-1}^2 \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\\[5pt]
&= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-1}^2\\[5pt]
&= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-1}^2\\[5pt]

Version vom 19:28, 28. Apr. 2009

die doppelte ungleichung bedeutet dass y zwischen den Kurven \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=x^2 liegt.

In der Figur unten ist das gebiet eingezeichnet.

Die Fläche des Gebietes ist

\displaystyle \text{Area} = \int\limits_a^b \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\,\textrm{.}

wo \displaystyle x=a und \displaystyle x=b die Schnittstellen der beiden Kurven sind, die wir durch folgende Gleichung erhalten,

\displaystyle \left\{\begin{align}

y &= x+2\,,\\[5pt] y &= x^2\,\textrm{.} \end{align} \right.

Eliminieren wir \displaystyle y, erhalten wir eine Gleichung für \displaystyle x,

\displaystyle x^{2}=x+2\,\textrm{.}

Hohlen wir alle x-Terme zu einer Seite erhalten wir

\displaystyle x^2-x=2\,,

und durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= 2\\[5pt] \Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\textrm{.} \end{align}

wir erhalten also die Wurzeln \displaystyle x=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{3}{2}, oder \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=2\,.

Die Fläche ist also

\displaystyle \begin{align}

\text{Fläche} &= \int\limits_{-1}^2 \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-1}^2\\[5pt] &= \frac{2^2}{2} + 2\cdot 2 - \frac{2^3}{3} - \Bigl( \frac{(-1)^2}{2} + 2\cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3}\Bigr)\\[5pt] &= 2 + 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3}\\[5pt] &= \frac{9}{2}\,\textrm{.} \end{align}

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