Lösung 2.1:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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First, we need a picture of what the region looks like.
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Zuerst sehen wir in der Figur welches unseres Gebiet ist.
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Both curves, <math>y=x^2/4+2</math> and <math>y=8-x^2/8</math>, are parabolas, the first with a minimum value <math>y=2</math> when <math>x=0</math>, and the second with a maximum value of <math>y=8</math> when <math>x=0</math>. Roughly speaking, the curves have the appearance shown in the figure below, where the shaded region whose area we are trying to find lies between the curves.
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Die Kurven <math>y=x^2/4+2</math> und <math>y=8-x^2/8</math> sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat das Minimum <math>y=2</math> wenn <math>x=0</math>, und die zweite das Maximum <math>y=8</math> wenn <math>x=0</math>. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.
[[Image:2_1_4_c.gif|center]]
[[Image:2_1_4_c.gif|center]]
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The region is bounded above by the parabola <math>y=8-x^2/8</math> and below by the parabola <math>y=x^2/4+2</math>. If we can determine the ''x''-coordinates, <math>x=a</math> and <math>x=b</math>, for the points of intersection between the curves, the area we are looking for will be given by
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Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion <math>y=8-x^2/8</math> und die untere Grenze die Funktion <math>y=x^2/4+2</math>. Bestimmen wir die Schnittstellen <math>x=a</math> und <math>x=b</math> der beiden Kurven, ist die Fläche
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_{a}^{b} \bigl(\bigl(8-\tfrac{1}{8}x^2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}x^2+2\bigr)\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = \int\limits_{a}^{b} \bigl(\bigl(8-\tfrac{1}{8}x^2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}x^2+2\bigr)\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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The integrand is the ''y''-value for the upper parabola minus the corresponding ''y''-value for the lower parabola.
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Die Fläche ist der Integral des Unterschiedes zwischen den beiden Funktionen.
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At the points where the curves intersect each other, the ''x''- and ''y''-coordinates are equal, which gives the equation system,
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Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung;
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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If we eliminate ''y'' from this system, we get the following equation for ''x'',
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Eliminieren Wir ''y'', und lösen die Gleichung für ''x'', erhalten wir die Schnittstellen
{{Abgesetzte Formel||<math>8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}</math>}}
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If we move the <math>x^2</math>-terms onto one side and the constants onto the other, we obtain
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oder
{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{8}x^2 = 8-2\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{8}x^2 = 8-2\,,</math>}}
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i.e.
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also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 34: Zeile 34:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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The ''x''-coordinates of the points of intersection are therefore equal to <math>x=-4</math> and <math>x=4\,</math>.
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Also sind die Schnittstellen <math>x=-4</math> und <math>x=4\,</math>.
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The area of the area between the curves is given by
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Die Flche zwischen den Kurven ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 18:49, 28. Apr. 2009

Zuerst sehen wir in der Figur welches unseres Gebiet ist.

Die Kurven \displaystyle y=x^2/4+2 und \displaystyle y=8-x^2/8 sind beide quadratische Funktionen. Die erste hat das Minimum \displaystyle y=2 wenn \displaystyle x=0, und die zweite das Maximum \displaystyle y=8 wenn \displaystyle x=0. Die Kurven sehen ungefähr wie im Bild unten aus.

Die obere Grenze der Fläche ist die Funktion \displaystyle y=8-x^2/8 und die untere Grenze die Funktion \displaystyle y=x^2/4+2. Bestimmen wir die Schnittstellen \displaystyle x=a und \displaystyle x=b der beiden Kurven, ist die Fläche

\displaystyle \text{Area} = \int\limits_{a}^{b} \bigl(\bigl(8-\tfrac{1}{8}x^2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}x^2+2\bigr)\bigr)\,dx\,\textrm{.}

Die Fläche ist der Integral des Unterschiedes zwischen den beiden Funktionen.

Wir erhalten die Schnittstellen durch folgende Gleichung;

\displaystyle \left\{\begin{align}

y &= 8-\tfrac{1}{8}x^2\,,\\[5pt] y &= \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.} \end{align}\right.

Eliminieren Wir y, und lösen die Gleichung für x, erhalten wir die Schnittstellen

\displaystyle 8-\tfrac{1}{8}x^2 = \tfrac{1}{4}x^2+2\,\textrm{.}

oder

\displaystyle \tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{1}{8}x^2 = 8-2\,,

also ist

\displaystyle \begin{align}

\bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}\bigr)x^2 &= 6\,,\\[5pt] \tfrac{3}{8}x^2 &= 6\,,\\[5pt] x^2 &= 16\,\textrm{.} \end{align}

Also sind die Schnittstellen \displaystyle x=-4 und \displaystyle x=4\,.

Die Flche zwischen den Kurven ist also

\displaystyle \begin{align}

\text{Area} &= \int\limits_{-4}^{4} \Bigl(\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2\Bigr)-\Bigl( \frac{1}{4}x^2+2\Bigr) \Bigr)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(8-\frac{1}{8}x^2-\frac{1}{4}x^2-2\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(6-\Bigl(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\Bigr)x^2\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-4}^{4}\Bigl(6-\frac{3}{8}x^2\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ 6x-\frac{3}{8}\frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-4}^{4}\\[5pt] &= \Bigl[\ 6x-\frac{x^3}{8}\ \Bigr]_{-4}^{4}\\[5pt] &= 6\cdot 4 - \frac{4^3}{8} - \Bigl(6\cdot (-4) - \frac{(-4)^3}{8}\Bigr)\\[5pt] &= 24-8+24-8\\[5pt] &= 32\,\textrm{.} \end{align}

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