Lösung 1.3:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Solution 1.3:5 moved to Lösung 1.3:5: Robot: moved page)
Zeile 1: Zeile 1:
-
The channel holds most water when its cross-sectional area is greatest.
+
Der Kanal kann am meisten Wasser enthalten, wenn seine Querschnittsfläche am größten ist.
[[Image:1_3_5_1_1.gif|center]]
[[Image:1_3_5_1_1.gif|center]]
-
By dividing up the channel's cross-section into a rectangle and two triangles we can, with the help of a little trigonometry, determine the lengths of the rectangle's and triangles' sides, and thence the cross-sectional area.
+
Indem wir den Querschnitt des Kanals in ein Rechteck und zwei Dreiecke aufteilen, können wir mit ein wenig Trigonometrie die Querschnittsfläche des Kanals berechnen.
[[Image:1_3_5_1_2.gif|center]]
[[Image:1_3_5_1_2.gif|center]]
-
The area of the cross-section is
+
Die Fläche ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 14: Zeile 14:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
If we limit the angle to lie between <math>0</math> and <math>\pi/2</math>, the problem can be formulated as:
+
Begrenzen wir den Winkel sodass er zwischen <math>0</math> und <math>\pi/2</math> liegt, erhalten wir das Problem:
-
::Maximise the function <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> when
+
::Maximiere <math>A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha)</math> wenn
<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.
<math>0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,</math>.
-
The area function is a differentiable function and the area is least when <math>\alpha=0</math> or <math>\alpha=\pi/2\,</math>, so the area must assume its maximum at a critical point of the area function.
+
Die Funktion ist überall differenzierbar, und die Fläche ist minimal wenn <math>\alpha=0</math> oder wenn <math>\alpha=\pi/2\,</math>, Und also nimmt die Funktion ihr Maxima für einen stationären Punkt an.
-
We differentiate the area function:
+
Die Ableitung ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 28: Zeile 28:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
At a critical point <math>A'(\alpha)=0</math> and this gives us the equation
+
Für stationäre Punkte ist <math>A'(\alpha)=0</math> und dies ergibt die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0</math>}}
-
after eliminating the factor -100. We replace <math>\cos^2\!\alpha</math> with <math>1-\sin^2\!\alpha</math> (according to the Pythagorean identity) to obtain an equation solely in <math>\sin\alpha\,</math>,
+
Nachdem wir den Faktor -100 heraus gezogen haben. Wir ersetzen <math>\cos^2\!\alpha</math> mit <math>1-\sin^2\!\alpha</math> und erhalten eine Gleichung mit nur <math>\sin\alpha\,</math>-Termen,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 39: Zeile 39:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
This is a second-degree equation in <math>\sin\alpha</math> and completing the square gives that
+
Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>\sin\alpha</math>, und durch quadratische Ergänzung erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 46: Zeile 46:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
and we obtain <math>\sin\alpha = -\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, i.e. <math>\sin \alpha = -1</math> or <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}\,</math>.
+
und wir erhalten weiter <math>\sin\alpha = -\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, also <math>\sin \alpha = -1</math> oder <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}\,</math>.
-
The case <math>\sin \alpha =-1</math> is not satisfied for <math>0\le \alpha \le \pi/2</math> and <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}</math> gives <math>\alpha = \pi/6</math>. Thus <math>\alpha = \pi/6\,</math> is a critical point.
+
Der Fall dass <math>\sin \alpha =-1</math> ist nie erfüllt für <math>0\le \alpha \le \pi/2</math> und <math>\sin \alpha = \tfrac{1}{2}</math> gibt <math>\alpha = \pi/6</math>. Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein stationärer Punkt.
-
If we summarize, we know therefore that the cross-sectional area has local minimum points at <math>\alpha = 0</math> and <math>\alpha = \pi/2</math> and that we have a critical point at <math>\alpha = \pi/6\,</math>. This critical point must be a maximum, which we can also show using the second derivative,
+
Wir wissen von der Figur her dass die Fläche lokale Minima in den Punkten <math>\alpha = 0</math> und <math>\alpha = \pi/2</math> hat, und den kritischen Punkt <math>\alpha = \pi/6\,</math>. Daher muss der kritische Punkt ein Maxima sein, aber wir zeigen dies auch mit der zweiten Ableitung,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 58: Zeile 58:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
which is negative at <math>\alpha = \pi/6</math>,
+
Dieser Ausdruck ist negativ für <math>\alpha = \pi/6</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 65: Zeile 65:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
There are no local maximum points other than <math>\alpha = \pi/6\,</math>, which must therefore also be a global maximum.
+
Also ist <math>\alpha = \pi/6\,</math> ein globales Maxima, nachdem es das einzige lokale Maxima ist.

Version vom 12:09, 27. Apr. 2009

Der Kanal kann am meisten Wasser enthalten, wenn seine Querschnittsfläche am größten ist.

Indem wir den Querschnitt des Kanals in ein Rechteck und zwei Dreiecke aufteilen, können wir mit ein wenig Trigonometrie die Querschnittsfläche des Kanals berechnen.

Die Fläche ist

\displaystyle \begin{align}

A(\alpha) &= 10\cdot 10\cos\alpha + 2\cdot\frac{1}{2}\cdot 10\cos\alpha \cdot 10\sin\alpha\\[5pt] &= 100\cos \alpha (1+\sin\alpha)\,\textrm{.} \end{align}

Begrenzen wir den Winkel sodass er zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle \pi/2 liegt, erhalten wir das Problem:

Maximiere \displaystyle A(\alpha) = 100\cos\alpha (1+\sin\alpha) wenn

\displaystyle 0\le \alpha \le {\pi }/{2}\,.

Die Funktion ist überall differenzierbar, und die Fläche ist minimal wenn \displaystyle \alpha=0 oder wenn \displaystyle \alpha=\pi/2\,, Und also nimmt die Funktion ihr Maxima für einen stationären Punkt an.

Die Ableitung ist

\displaystyle \begin{align}

A'(\alpha) &= 100\cdot (-\sin\alpha)\cdot (1+\sin\alpha) + 100\cdot\cos\alpha \cdot \cos\alpha\\[5pt] &= -100\sin\alpha - 100\sin^2\!\alpha + 100\cos^2\!\alpha\,\textrm{.} \end{align}

Für stationäre Punkte ist \displaystyle A'(\alpha)=0 und dies ergibt die Gleichung

\displaystyle \sin\alpha + \sin^2\!\alpha - \cos^2\!\alpha = 0

Nachdem wir den Faktor -100 heraus gezogen haben. Wir ersetzen \displaystyle \cos^2\!\alpha mit \displaystyle 1-\sin^2\!\alpha und erhalten eine Gleichung mit nur \displaystyle \sin\alpha\,-Termen,

\displaystyle \begin{align}

\sin\alpha + \sin^2\!\alpha - (1-\sin^2\!\alpha) &= 0\\[5pt] 2\sin^2\!\alpha + \sin\alpha - 1 &= 0\,\textrm{.} \end{align}

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle \sin\alpha, und durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

2\bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^{2} - 2\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^2 - 1 &= 0\\[5pt] \bigl(\sin\alpha + \tfrac{1}{4}\bigr)^2 &= \frac{9}{16} \end{align}

und wir erhalten weiter \displaystyle \sin\alpha = -\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}, also \displaystyle \sin \alpha = -1 oder \displaystyle \sin \alpha = \tfrac{1}{2}\,.

Der Fall dass \displaystyle \sin \alpha =-1 ist nie erfüllt für \displaystyle 0\le \alpha \le \pi/2 und \displaystyle \sin \alpha = \tfrac{1}{2} gibt \displaystyle \alpha = \pi/6. Also ist \displaystyle \alpha = \pi/6\, ein stationärer Punkt.


Wir wissen von der Figur her dass die Fläche lokale Minima in den Punkten \displaystyle \alpha = 0 und \displaystyle \alpha = \pi/2 hat, und den kritischen Punkt \displaystyle \alpha = \pi/6\,. Daher muss der kritische Punkt ein Maxima sein, aber wir zeigen dies auch mit der zweiten Ableitung,

\displaystyle \begin{align}

A''(\alpha) &= -100\cos\alpha - 100\cdot 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + 100\cdot 2\cos\alpha \cdot (-\sin\alpha)\\[5pt] &= -100\cos\alpha (1+4\sin\alpha)\,, \end{align}

Dieser Ausdruck ist negativ für \displaystyle \alpha = \pi/6,

\displaystyle \begin{align}

A''(\pi/6) &= -100\cos\frac{\pi}{6}\cdot \Bigl(1+4\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)\\[5pt] &= -100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \Bigl( 1+4\cdot \frac{1}{2} \Bigr)<0\,\textrm{.} \end{align}

Also ist \displaystyle \alpha = \pi/6\, ein globales Maxima, nachdem es das einzige lokale Maxima ist.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:5“