Lösung 1.3:3b

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Because the function is defined and differentiable for all ''x'', the function can only have local extreme points at the critical points, i.e. where the derivative is zero.
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Nachdem die Funktion für alle ''x'' definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung
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For this function, the derivative is given by
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5</math>}}
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and if we set it to zero, we will obtain
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und wir erhalten also die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>3e^{-3x} = 5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>3e^{-3x} = 5</math>}}
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which is a first-degree equation in <math>e^{-3x}</math> and has the solution
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für die Wurzeln. Diese Gleichung hat die Lösung
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>}}
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The function therefore has a critical point <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
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und also hat die Gleichung einen stationären Punkt in <math>x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}</math>
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Instead of studying the sign changes of the derivative around the critical point in order to decide if the point is a local maximum, minimum or neither, we investigate the function's second derivative.
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Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.
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The second derivative is equal to
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Die zweite Ableitung ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}</math>}}
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and is positive for all values of ''x'', since the exponential function is always positive.
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und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.
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In particular, this means that
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Besonders ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,</math>}}
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which means that <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> is a local minimum.
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und also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3}</math> ein lokales Minima.

Version vom 17:06, 26. Apr. 2009

Nachdem die Funktion für alle x definiert ist, können Extrempunkte nur auftreten wenn die Ableitung null ist. In diesem Fall haben wir die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -3e^{-3x} + 5

und wir erhalten also die Gleichung

\displaystyle 3e^{-3x} = 5

für die Wurzeln. Diese Gleichung hat die Lösung

\displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

und also hat die Gleichung einen stationären Punkt in \displaystyle x=-\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3}\,\textrm{.}

Wir untersuchen die zweite Ableitung der Funktion um den Charakter des stationären Punktes zu bestimmen.

Die zweite Ableitung ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = -3\cdot (-3)e^{-3x} = 9e^{-3x}

und ist immer positiv, nachdem die Exponentialfunktion immer positiv ist.

Besonders ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}\Bigl( -\frac{1}{3}\ln \frac{5}{3} \Bigr) > 0\,,

und also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}\ln\tfrac{5}{3} ein lokales Minima.

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