Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	We need to investigate three types of points in order to determine the function's local extreme points,	+	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
-	# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>,	+	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# points where the function is not differentiable, and	+	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
-	# endpoints of the interval of definition,	+	# Endpunkte.
		+
		+	Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall ableitbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
-	but we can ignore items 2 and 3, because the function is a polynomial and is therefore defined and differentiable everywhere.	+	Die stationären Punkte erhalten wir wenn wir die Ableitung
-		+
-	The critical points are given by the points where the derivative,	+
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	is equal to zero.	+	also null setzen.
-	From the factorized from of the derivative, we see that the derivative is zero when either the first factor, ''x'', is zero, or when the other factor is zero,	+	Von der Gleichung im letzten Schritt, sehen wir dass die Ableitung null ist wenn einer der Faktoren null ist.
	{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	We solve this second-degree equation by completing the square on the left-hand side,	+	Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung,
	{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0</math>}}
-	which are, after simplifying,	+	und wir erhalten
	{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 = 0</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 = 0</math>}}
-	and this equation has the root <math>x=3</math>.	+	diese Gleichung hat die Wurzel <math>x=3</math>.
-		+
-	Therefore, the function has two critical points, <math>x=0</math> and <math>x=3</math>.	+
-	The next step is to write down an outline of the derivative's sign changes, from which we then can see the possible local extreme points.	+	Also hat die Gleichung der Ableitung die beiden Wurzeln <math>x=0</math> und <math>x=3</math>.
-	Because the derivative can be written as	+	Nachdem die Ableitung
	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -4x(x-3)^2</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = -4x(x-3)^2</math>}}
-	we start by writing down the sign changes for the factors <math>-4x</math> and	+	ist, machen wir eine Vorzeichentabelle mit den einzelnen Faktoren <math>-4x</math> und
	<math>(x-3)^{2}</math>.		<math>(x-3)^{2}</math>.
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	|}		|}
-	The derivative, which is the product of these factors, has the sign changes given below, which are a consequence of the calculating rules for signs: <math>{+}\cdot {+}={+}</math>, <math>{-}\cdot {+} = {-}</math> and <math>{-}\cdot {-}={+}</math>.	+	Mit den Rechenregeln <math>{+}\cdot {+}={+}</math>, <math>{-}\cdot {+} = {-}</math> und <math>{-}\cdot {-}={+}</math> für die Vorzeichen, erhalten wir folgende Vorzeichentabelle für die Ableitung:
	{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"		{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
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	|}		|}
-	From this, we see that <math>x=0</math> is a local maximum, whilst <math>x=3</math>	+	Hier sehen wir dass <math>x=0</math> ein lokales Minima ist, und dass <math>x=3</math> ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).
-	is an inflexion point (and therefore not an extreme point).	+

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Version vom 17:02, 26. Apr. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Endpunkte.

Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall ableitbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

Die stationären Punkte erhalten wir wenn wir die Ableitung

\displaystyle \begin{align} f^{\,\prime}(x) &= -4x^3 + 8\cdot 3x^2 - 18\cdot 2x\\[5pt] &= -4x^3 + 24x^2 - 36x\\[5pt] &= -4x(x^2 - 6x + 9) \end{align}

also null setzen.

Von der Gleichung im letzten Schritt, sehen wir dass die Ableitung null ist wenn einer der Faktoren null ist.

\displaystyle x^2 - 6x + 9 = 0\,\textrm{.}

Wir lösen diese Gleichung durch quadratische Ergänzung,

\displaystyle (x-3)^2 - 3^2 + 9 = 0

und wir erhalten

\displaystyle (x-3)^2 = 0

diese Gleichung hat die Wurzel \displaystyle x=3.

Also hat die Gleichung der Ableitung die beiden Wurzeln \displaystyle x=0 und \displaystyle x=3.

Nachdem die Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = -4x(x-3)^2

ist, machen wir eine Vorzeichentabelle mit den einzelnen Faktoren \displaystyle -4x und \displaystyle (x-3)^{2}.

\displaystyle x		\displaystyle 0		\displaystyle 3
\displaystyle -4x	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle -
\displaystyle (x-3)^2	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle +

Mit den Rechenregeln \displaystyle {+}\cdot {+}={+}, \displaystyle {-}\cdot {+} = {-} und \displaystyle {-}\cdot {-}={+} für die Vorzeichen, erhalten wir folgende Vorzeichentabelle für die Ableitung:

\displaystyle x		\displaystyle 0		\displaystyle 3
\displaystyle f^{\,\prime}(x)	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle -
\displaystyle f(x)	\displaystyle \nearrow	\displaystyle 0	\displaystyle \searrow	\displaystyle -27	\displaystyle \searrow

Hier sehen wir dass \displaystyle x=0 ein lokales Minima ist, und dass \displaystyle x=3 ein Sattelpunkt ist (und daher kein Extrempunkt).