Lösung 1.3:2d

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If the function has several local extreme points, then they must be among the following three types of points:
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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# points where the function is not differentiable, and
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# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
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# endpoints of the interval of definition.
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# Endpunkte.
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Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall ableitbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.
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Items 2 and 3 do not give rise to any points, because our function, which is a polynomial, is defined and differentiable everywhere. In order to investigate if there are any critical points, we set the derivative,
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Die Ableitung ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2-6x+10)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2-6x+10)</math>}}
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equal to zero and obtain the equation
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und wir erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}</math>}}
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Completing the square gives
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um die Wurzeln dieser Gleichung zu finden. Quadratische Ergänzung ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,</math>}}
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i.e.
+
also
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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This equation does not have any real roots, because the left-hand side is always greater than or equal to <math>1</math>, regardless of how <math>x</math> is chosen (the square <math>(x-3)^2</math> can never be negative).
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Diese Gleichung hat keine Wurzeln, und also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. Von der Ableitung
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This means that the function does not have any local extreme points.
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From the derivative's appearance,
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)</math>}}
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we see that it is always greater than zero and therefore that the function is strictly increasing. We do not have so much more information when we sketch the graph of the function, other than the function's value at a few points.
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sahen wir dass sie immer größer als null ist, und also ist die Funktion streng steigend. Wir haben keine weitere Information als einige Funktionswerte um die Funktion zu zeichnen.
[[Image:1_3_2_d.gif|center]]
[[Image:1_3_2_d.gif|center]]

Version vom 16:50, 26. Apr. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall ableitbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.

Die Ableitung ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 - 18x + 30 = 3(x^2-6x+10)

und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle x^{2}-6x+10=0\,\textrm{.}

um die Wurzeln dieser Gleichung zu finden. Quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle (x-3)^2 - 3^2 + 10 = 0\,,

also

\displaystyle (x-3)^2 + 1 = 0\,\textrm{.}

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, und also hat die Funktion keine lokalen Extrempunkte. Von der Ableitung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3((x-3)^2+1)

sahen wir dass sie immer größer als null ist, und also ist die Funktion streng steigend. Wir haben keine weitere Information als einige Funktionswerte um die Funktion zu zeichnen.

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