Lösung 1.3:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Solution 1.3:2b moved to Lösung 1.3:2b: Robot: moved page)
Zeile 1: Zeile 1:
-
In order to determine the function's extreme points, we investigate three types of points,
+
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
-
# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
+
# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-
# points where the function is not differentiable, and
+
# Singuläre Punkte, wodie Funktion nicht ableitbar ist, oder
-
# endpoints of the interval of definition.
+
# Endpunkte.
-
In our case, we have that:
+
Wir untersuchen alle drei Fälle:
<ol>
<ol>
-
<li>The derivative of <math>f(x)</math> is given by
+
<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> ist
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 3-2x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 3-2x</math>}}
and becomes zero when <math>x=3/2\,</math>.</li>
and becomes zero when <math>x=3/2\,</math>.</li>
-
<li>The function is a polynomial, and is therefore differentiable everywhere.</li>
 
-
<li>The function is defined for all ''x'', and therefore the interval of definition has no endpoints.</li>
+
<li>Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar.</li>
 +
 
 +
<li>Die Funktion ist überall definiert, und also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li>
</ol>
</ol>
-
There is thus just one point <math>x=3/2\,</math>, where the function possibly has an extreme point.
+
Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und also ist <math>x=3/2\,</math> der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.
-
 
+
-
If we write down a sign table for the derivative, we see that <math>x=3/2</math> is a local maximum.
+
Zeile 40: Zeile 39:
|}
|}
-
 
+
Nachdem die Funktion eine quadratische Funktion ist, ist deren Graph eine Parabel mit den Maxima <math>(3/2, 17/4)</math>.
-
Because the function is given by a second-degree expression, its graph is a parabola with a maximum at <math>(3/2, 17/4)</math> and we can draw it with the help of a few couple of points.
+
[[Image:1_3_2_b.gif||center]]
[[Image:1_3_2_b.gif||center]]

Version vom 16:20, 26. Apr. 2009

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Punkte, wo \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. Singuläre Punkte, wodie Funktion nicht ableitbar ist, oder
  3. Endpunkte.

Wir untersuchen alle drei Fälle:

  1. Die Ableitung von \displaystyle f(x) ist
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3-2x
    and becomes zero when \displaystyle x=3/2\,.


  2. Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar.
  3. Die Funktion ist überall definiert, und also hat unser Intervall keine Endpunkte.

Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und also ist \displaystyle x=3/2\, der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.


\displaystyle x \displaystyle \tfrac{3}{2}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{17}{4} \displaystyle \searrow

Nachdem die Funktion eine quadratische Funktion ist, ist deren Graph eine Parabel mit den Maxima \displaystyle (3/2, 17/4).

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_1.3:2b“