3.4 Komplexe Polynome

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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
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* Factor theorem.
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* Polynomdivision
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* Polynomial division
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* Fundamentalsatz der Algebra
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* Fundamental theorem of algebra
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können to:
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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* Perform polynomial division.
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* Polynomdivision ausführen.
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* Understand the relationship between factors and zeros of polynomials.
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* Das Verhältnis zwischen den Faktoren und Nullstellen eines Polynomes verstehen.
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* Know that a polynomial equation of degree ''n'' has ''n'' roots (including multiplicity).
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* Wissen dass ein Polynom mit Grad ''n'', ''n'' Nullstellen hat.
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* Know that real polynomial equations have complex conjugate roots.
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* Wissen dass Polynome mit reellen Koeffizienten konjugiert komplexe Nullstellen haben.
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== Polynomials and equations ==
+
== Polynome ==
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An expression of the form
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Ausdrücke auf der Form
{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math>}}
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where <math>n</math> is an integer, is called a ''polynomial'' of degree <math>n</math> in an unknown variable <math>x</math>. The number <math>a_1</math> is called the coefficient of <math>x</math>, <math>a_2</math> the coefficient of <math>x^2</math>, etc. The constant <math>a_0</math> is called the ''constant term''.
+
wo <math>n</math> eine ganze Zahl ist, nennt man ''Polynome'' mit dem Grad <math>n</math> und der Variable <math>x</math>. Die Zahl <math>a_1</math> ist der Koeffizient von <math>x</math>, <math>a_2</math> ist der Koeffizient von <math>x^2</math>, etc. Die Zahl <math>a_0</math> ist die Konstante des Polynoms.
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Polynomials are essential for a large part of mathematics and have many properties that display great similarities with integers expressed using our "Arabic" (actually originally Indian) place value system. This means that we can often do calculations with polynomials in a similar way as with integers.
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Polynome haben viele Eigenschaften gemeinsam mit den ganzen Zahlen, und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.
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''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
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Vergleichen Sie folgende Zahl in der Basis 10,
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Compare the following integer written using a base 10,
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{{Abgesetzte Formel||<math>1353= 1\times 10^3 + 3\times 10^2 + 5\times 10 + 3</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1353= 1\times 10^3 + 3\times 10^2 + 5\times 10 + 3</math>}}
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with the polynomial in <math>x</math>
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Mit dem Polynom <math>x</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\times x^3 + 3\times x^2 + 5\times x + 3</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\times x^3 + 3\times x^2 + 5\times x + 3</math>}}
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and then the following divisions,
+
und die folgenden Divisionen,
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*<math>\quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad</math> as <math>\ 1353= 123\times 11\,</math>,
+
*<math>\quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad</math> nachdem <math>\ 1353= 123\times 11\,</math>,
-
*<math>\quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad</math> since <math>\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,</math>.
+
*<math>\quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad</math> nachdem <math>\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,</math>.
</div>
</div>
-
If <math>p(x)</math> is a polynomial of degree <math>n</math> then <math>p(x)=0</math> is called a ''polynomial equation'' of degree <math>n</math>. If <math>x=a</math> is a number such that <math>p(a)=0</math> then <math>x=a</math> is called a ''root'', or solution of the equation. One also says that <math>x=a</math> is a ''zero'' of <math>p(x)</math>.
+
Wenn <math>p(x)</math> ein Polynom mit den Grad <math>n</math> ist, ist <math>p(x)=0</math> eine ''Polynomgleichung'' mit den Grad <math>n</math>. Falls <math>p(a)=0</math> für die Zahl <math>x=a</math>, nennt man <math>x=a</math> eine ''Wurzel'' oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
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As the above example showed, polynomials can be divided very like integers. Polynomial division, like integer division, is usually not exact. If, for example, <math>37</math> is divided by <math>5</math>, one gets
+
Das Beispiel zeigt dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Dies ist wie bei den ganzen Zahlen, wo zum Beispiel
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}
-
The calculation can also be written as <math>\ 37= 7\times 5+2\,</math>. The number 7 is called the ''quotient'' and the number 2 the ''remainder''. One says that dividing 37 by 5 gives the quotient 7 and the remainder 2.
+
Man kann auch schreiben dass <math>\ 37= 7\times 5+2\,</math>. Die Zahl 7 wird ''Quotient'' benannt, und die Zahl 2 wird der ''Rest'' genannt. Man sagt dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7, un den Rest 2 ergibt.
-
Similarly, if <math>p(x)</math> and <math>q(x)</math> are polynomials, one can divide <math>p(x)</math> by <math>q(x)</math> and unambiguously determine polynomials <math>k(x)</math> and <math>r(x)</math> such that
+
Analog gilt es, dass wenn <math>p(x)</math> und <math>q(x)</math> Polynome sind, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> dividieren, und die Polynome <math>k(x)</math> und <math>r(x)</math> bestimmen, sodass
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}</math>}}
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or <math>\ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,</math>. One here says that polynomial division has resulted in a quotient <math>k(x)</math> and remainder <math>r(x)</math>.
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oder <math>\ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,</math>. Man sagt hier dass <math>k(x)</math> der Quotient ist, und <math>r(x)</math> der Rest.
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Falls der Rest null wird, also wenn <math>r(x)=0</math> sagt man dass <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilbar ist, oder dass <math>q(x)</math> ein ''Teiler'' von <math>p(x)</math> ist. Dies schreibt man
-
Clearly, a division is exact if the remainder is zero. For polynomials this is expressed as follows: If <math>r(x)=0</math> then <math>p(x)</math> is divisible by <math>q(x)</math>, or, <math>q(x)</math> is a ''divisor'' of <math>p(x)</math>. One writes
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}</math>}}
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or <math>\ p(x) = k(x)\, q(x)\,</math>.
+
oder <math>\ p(x) = k(x)\, q(x)\,</math>.
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== Polynomial division ==
+
== Polynomdivision ==
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If <math>p(x)</math> is a polynomial of higher degree than polynomial <math>q(x)</math> then one can divide <math>p(x)</math> by <math>q(x)</math>. For example, this may be done by gradually subtracting appropriate multiples of <math>q(x)</math> from <math>p(x)</math> until a remaining numerator is of lower degree than the denominator <math>q(x)</math>.
+
Wenn <math>p(x)</math> ein Grad hat der höher als der Grad von <math>q(x)</math> ist, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Multiplen von <math>q(x)</math> von <math>p(x)</math> abzieht, bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners <math>q(x) ist.</math>.
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-
Perform polynomial divisionen for <math>\ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,</math>.
+
Berechnen Sie <math>\ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,</math> durch Polynomdivision.
-
The first step is that we ''add and subtract'' an appropriate <math>x^2</math>-term in the numerator
+
Der erster Schritt ist dass wir einen passenden <math>x^2</math>-Term zum Zähler ''addieren und subtrahieren''
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
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The reason why we do this is that the sub-expression <math>x^3+2x^2</math> can be written as <math>x^2(x+2)</math> and cancellation with the denominator can be done,
+
Jetzt ist es offenbar dass <math>x^3+2x^2</math>wie <math>x^2(x+2)</math> geschrieben werden kann, und dass wir den Faktor <math>(x+2)</math> kürzen können
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Then we add and subtract an appropriate <math>x</math>-term so that the leading <math>x^2</math>-term in the numerator can be cancelled,
+
Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden <math>x</math>-Term vom Zähler, sodass wir den <math>x^2</math>-Term los werden,
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
The last step is that we add and subtract a constant
+
Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante von Zähler
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
-
Thus ending up with
+
und wir erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
-
The quotient is <math>x^2 -x + 1</math> and the remainder is <math>2</math>. Since the remainder is not zero, division is not exact, that is, <math>q(x)= x+2</math> is not a ''divisor'' of <math>p(x)=x^3 + x^2 -x +4</math>.
+
 
 +
Der Quotient ist also <math>x^2 -x + 1</math> und der Rest ist <math>2</math>. Nachdem der Rest nicht null ist, ist <math>q(x)= x+2</math> nicht ein Teiler von <math>p(x)=x^3 + x^2 -x +4</math>.
</div>
</div>
-
==The connection between factors and zeros ==
+
==Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen ==
-
If <math>q(x)</math> is a divisor of <math>p(x)</math> then <math>p(x)=k(x)\, q(x)</math>. We have thus ''factorised'' <math>p(x)</math> . One says that <math>q(x)</math> is a factor of <math>p(x)</math>. Especially, if a polynomial of first degree <math>(x-a)</math> is a divisor of <math>p(x)</math> then <math>(x-a)</math> is a factor of <math>p(x)</math> , i.e.
+
Wenn <math>q(x)</math> ein Teiler von <math>p(x)</math> ist, ist <math>p(x)=k(x)\, q(x)</math>. Wir haben <math>p(x)</math> also ''faktorisiert''. Man sagt dass <math>q(x)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math> ist. Besonders sagt man dass wenn ein Polynom <math>(x-a)</math> mit dem Grad 1 ein Teiler von <math>p(x)</math> dann ist <math>(x-a)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math> , also
{{Abgesetzte Formel||<math>p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.}</math>}}
-
Since <math>\ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ </math> this means that <math>x=a</math> is a zero of <math>p(x)</math>. This is exactly the content of the so-called ''factor theorem''.
+
Nachdem <math>\ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ </math> bedeutet dies dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Factor theorem:'''
+
<math>(x-a)</math> ist ein Teiler vom Polynom <math>p(x)</math> genau dann wenn <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
-
 
+
-
<math>(x-a)</math> is a divisor of a polynomial <math>p(x)</math> if and only if <math>x=a</math> is a zero of <math>p(x)</math>.
+
</div>
</div>
-
Please note that the theorem applies in both directions, i.e. if we know that <math>x=a</math> is a zero of <math>p(x)</math> we automatically would know that <math>p(x)</math> is divisible by <math>(x-a)</math>.
+
Beachten Sie dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wissen wir dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist, wissen wir also auch dass <math>p(x)</math> durch <math>(x-a)</math> teilbar ist.
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-
The polynomial <math>p(x) = x^2-6x+8</math> can be factorised as
+
Das Polynom <math>p(x) = x^2-6x+8</math> kann wie
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)</math>}}
-
and has therefore zeros at <math>x=2</math> and <math>x=4</math> (and no others). It is precisely these that are obtained if one solves the equation <math>\ x^2-6x+8 = 0\,</math>.
+
in Faktoren zerlegt werden, und hat daher die Nullstellen <math>x=2</math> und <math>x=4</math> (und keine anderen Nullstellen).Dies sind genau die Nullstellen die wir erhalten wenn wir die Gleichung <math>\ x^2-6x+8 = 0\,</math> lösen.
</div>
</div>
Zeile 148: Zeile 143:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Factorise the polynomial <math>\ x^2-3x-10\,</math>.
+
<li> Zerlegen Sie das Polynom <math>\ x^2-3x-10\,</math> in seine Faktoren.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
By determining the polynomial zeros one automatically gets its factors according to the factor theorem. The quadratic equation <math>\ x^2-3x-10=0\ </math> has the solutions
+
Indem wir die Nullstellen des Polynoms bestimmen, erhalten wir auch die Faktoren. Die quadratische Gleichung <math>\ x^2-3x-10=0\ </math> hat die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}</math>}}
-
i.e. <math>x=-2</math> and <math>x=5</math>. This means that <math>\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,</math>.
+
also. <math>x=-2</math> und <math>x=5</math>. Daher ist <math>\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,</math>.
</li>
</li>
-
<li> Factorise the polynomial <math>\ x^2+6x+9\,</math>.
+
<li> Zerlegen Sie das Polynom <math>\ x^2+6x+9\,</math> in seine Faktoren.
<br>
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-
This polynomial has a repeated root
+
Dieses Polynom hat eine doppelte Wurzel
{{Abgesetzte Formel||<math>x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3</math>}}
-
and thus <math>\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,</math>.
+
und daher ist <math>\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,</math>.
</li>
</li>
-
<li>Factorise the polynomial <math>\ x^2 -4x+5\,</math>.
+
<li>Zerlegen Sie das Polynom <math>\ x^2 -4x+5\,</math> in seine Faktoren.
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<br>
<br>
<br>
-
In this case, the polynomial has two complex roots
+
Dieses Polynom hat zwei komplexe Wurzeln
{{Abgesetzte Formel||<math>x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i</math>}}
-
and when factorised will be <math>\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,</math>.
+
und die Faktoren sind also <math>\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,</math>.
</li>
</li>
Zeile 186: Zeile 181:
-
Determine a cubic polynomial having zeros, <math>1</math>, <math>-1</math> and <math>3</math>.
+
Bestimmen Sie ein kubisches Polynom mit den Nullstellen <math>1</math>, <math>-1</math> und <math>3</math>.
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-
According to the factor theorem, the polynomial must have factors <math>(x-1)</math>, <math>(x+1)</math> and <math>(x-3)</math>. Multiplying these factors, we get a cubic polynomial
+
Das Polynom hat die Faktoren <math>(x-1)</math>, <math>(x+1)</math> und <math>(x-3)</math>. Multiplizieren wir diese Faktoren, erhalten wir das ersuchte Polynom
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}</math>}}
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-
== Fundamental theorem of algebra ==
+
== Fundamentalsatz der Algebra ==
-
At the beginning of this chapter, we introduced the complex numbers to enable us to solve the quadratic equation <math>x^2=-1</math> and we can now ask ourselves the slightly more theoretical question, whether this is sufficient, or whether we need to invent more types of numbers in order to solve other complicated polynomials. The answer to that question is that we need not; the complex numbers are enough. The German mathematician Carl Friedrich Gauss proved in the year 1799 the ''fundamental theorem of algebra'' which says the following:
+
Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt um quadratische Gleichungen wie <math>x^2=-1</math> zu lösen. Wir können uns fragen ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann, oder ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist dass die komplexe Zahlen ausreichend sind. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss zeigte im Jahr 1799 das ''Fundamentalsatz der Algebra'':
<div class="regel">
<div class="regel">
-
Every polynomial of degree <math>n\ge1</math> with complex coefficients has at least one zero which is a complex number.
+
'''Fundamentalsatz der Algebra'''
 +
 
 +
Jedes Polynom mit dem Grad <math>n\ge1</math> und komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.
</div>
</div>
-
As every zero according to the the factor theorem is matched by a factor, we can now also state the following theorem:
+
Nachdem aber jede Nullstelle einen Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:
<div class="regel">
<div class="regel">
-
Every polynomial of degree <math>n\ge1</math> has exactly <math>n</math> zeros if each zero is counted up to its multiplicity.
+
Jedes Polynom mit dem grad <math>n\ge1</math> hat genau <math>n</math> Nullstellen wenn man jede Nullstelle mit seiner Multiplizität rechnet.
</div>
</div>
-
(By multiplicity is meant that a double zero is counted twice, a triple zero 3 times, etc.)
+
(Multiplizität bedeutet dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache nullstelle dreimal. etc.)

Version vom 11:44, 21. Mai 2009

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Polynomdivision
  • Fundamentalsatz der Algebra

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Polynomdivision ausführen.
  • Das Verhältnis zwischen den Faktoren und Nullstellen eines Polynomes verstehen.
  • Wissen dass ein Polynom mit Grad n, n Nullstellen hat.
  • Wissen dass Polynome mit reellen Koeffizienten konjugiert komplexe Nullstellen haben.

Polynome

Ausdrücke auf der Form

\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0

wo \displaystyle n eine ganze Zahl ist, nennt man Polynome mit dem Grad \displaystyle n und der Variable \displaystyle x. Die Zahl \displaystyle a_1 ist der Koeffizient von \displaystyle x, \displaystyle a_2 ist der Koeffizient von \displaystyle x^2, etc. Die Zahl \displaystyle a_0 ist die Konstante des Polynoms.


Polynome haben viele Eigenschaften gemeinsam mit den ganzen Zahlen, und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.


Beispiel 1

Vergleichen Sie folgende Zahl in der Basis 10,

\displaystyle 1353= 1\times 10^3 + 3\times 10^2 + 5\times 10 + 3

Mit dem Polynom \displaystyle x

\displaystyle x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\times x^3 + 3\times x^2 + 5\times x + 3

und die folgenden Divisionen,

  • \displaystyle \quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad nachdem \displaystyle \ 1353= 123\times 11\,,
  • \displaystyle \quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad nachdem \displaystyle \ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,.

Wenn \displaystyle p(x) ein Polynom mit den Grad \displaystyle n ist, ist \displaystyle p(x)=0 eine Polynomgleichung mit den Grad \displaystyle n. Falls \displaystyle p(a)=0 für die Zahl \displaystyle x=a, nennt man \displaystyle x=a eine Wurzel oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

Das Beispiel zeigt dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Dies ist wie bei den ganzen Zahlen, wo zum Beispiel

\displaystyle \frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}

Man kann auch schreiben dass \displaystyle \ 37= 7\times 5+2\,. Die Zahl 7 wird Quotient benannt, und die Zahl 2 wird der Rest genannt. Man sagt dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7, un den Rest 2 ergibt.


Analog gilt es, dass wenn \displaystyle p(x) und \displaystyle q(x) Polynome sind, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) dividieren, und die Polynome \displaystyle k(x) und \displaystyle r(x) bestimmen, sodass

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}

oder \displaystyle \ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,. Man sagt hier dass \displaystyle k(x) der Quotient ist, und \displaystyle r(x) der Rest.

Falls der Rest null wird, also wenn \displaystyle r(x)=0 sagt man dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilbar ist, oder dass \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist. Dies schreibt man

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}

oder \displaystyle \ p(x) = k(x)\, q(x)\,.


Polynomdivision

Wenn \displaystyle p(x) ein Grad hat der höher als der Grad von \displaystyle q(x) ist, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Multiplen von \displaystyle q(x) von \displaystyle p(x) abzieht, bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners \displaystyle q(x) ist..


Beispiel 2


Berechnen Sie \displaystyle \ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\, durch Polynomdivision.


Der erster Schritt ist dass wir einen passenden \displaystyle x^2-Term zum Zähler addieren und subtrahieren

\displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}

Jetzt ist es offenbar dass \displaystyle x^3+2x^2wie \displaystyle x^2(x+2) geschrieben werden kann, und dass wir den Faktor \displaystyle (x+2) kürzen können

\displaystyle \frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}

Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden \displaystyle x-Term vom Zähler, sodass wir den \displaystyle x^2-Term los werden,

\displaystyle \begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}

Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante von Zähler

\displaystyle x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}

und wir erhalten

\displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}


Der Quotient ist also \displaystyle x^2 -x + 1 und der Rest ist \displaystyle 2. Nachdem der Rest nicht null ist, ist \displaystyle q(x)= x+2 nicht ein Teiler von \displaystyle p(x)=x^3 + x^2 -x +4.


Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen

Wenn \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist, ist \displaystyle p(x)=k(x)\, q(x). Wir haben \displaystyle p(x) also faktorisiert. Man sagt dass \displaystyle q(x) ein Faktor von \displaystyle p(x) ist. Besonders sagt man dass wenn ein Polynom \displaystyle (x-a) mit dem Grad 1 ein Teiler von \displaystyle p(x) dann ist \displaystyle (x-a) ein Faktor von \displaystyle p(x) , also

\displaystyle p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.}

Nachdem \displaystyle \ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ bedeutet dies dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

\displaystyle (x-a) ist ein Teiler vom Polynom \displaystyle p(x) genau dann wenn \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

Beachten Sie dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wissen wir dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist, wissen wir also auch dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle (x-a) teilbar ist.


Beispiel 3


Das Polynom \displaystyle p(x) = x^2-6x+8 kann wie

\displaystyle x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)

in Faktoren zerlegt werden, und hat daher die Nullstellen \displaystyle x=2 und \displaystyle x=4 (und keine anderen Nullstellen).Dies sind genau die Nullstellen die wir erhalten wenn wir die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+8 = 0\, lösen.

Beispiel 4


  1. Zerlegen Sie das Polynom \displaystyle \ x^2-3x-10\, in seine Faktoren.

    Indem wir die Nullstellen des Polynoms bestimmen, erhalten wir auch die Faktoren. Die quadratische Gleichung \displaystyle \ x^2-3x-10=0\ hat die Lösungen
    \displaystyle x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}

    also. \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=5. Daher ist \displaystyle \ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,.

  2. Zerlegen Sie das Polynom \displaystyle \ x^2+6x+9\, in seine Faktoren.

    Dieses Polynom hat eine doppelte Wurzel
    \displaystyle x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3

    und daher ist \displaystyle \ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,.

  3. Zerlegen Sie das Polynom \displaystyle \ x^2 -4x+5\, in seine Faktoren.

    Dieses Polynom hat zwei komplexe Wurzeln
    \displaystyle x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i

    und die Faktoren sind also \displaystyle \ (x-(2-i))(x-(2+i))\,.

Beispiel 5


Bestimmen Sie ein kubisches Polynom mit den Nullstellen \displaystyle 1, \displaystyle -1 und \displaystyle 3.

Das Polynom hat die Faktoren \displaystyle (x-1), \displaystyle (x+1) und \displaystyle (x-3). Multiplizieren wir diese Faktoren, erhalten wir das ersuchte Polynom

\displaystyle (x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}


Fundamentalsatz der Algebra

Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt um quadratische Gleichungen wie \displaystyle x^2=-1 zu lösen. Wir können uns fragen ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann, oder ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist dass die komplexe Zahlen ausreichend sind. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss zeigte im Jahr 1799 das Fundamentalsatz der Algebra:

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom mit dem Grad \displaystyle n\ge1 und komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

Nachdem aber jede Nullstelle einen Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:

Jedes Polynom mit dem grad \displaystyle n\ge1 hat genau \displaystyle n Nullstellen wenn man jede Nullstelle mit seiner Multiplizität rechnet.

(Multiplizität bedeutet dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache nullstelle dreimal. etc.)


Note that these theorems only say that there exist complex roots of a polynomial, but not how to determine them. In general, there is no simple method to write a formula for the roots, and for polynomials of higher degree, we must use various devices to obtain a solution. If we restrict ourselves to polynomial with real coefficients, one of the devices that can help us is the knowledge that the complex roots of such polynomials always come in complex conjugate pairs.


Beispiel 6


Show that the polynomial \displaystyle p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5 has zeros \displaystyle x=i and \displaystyle x = 2-i. Thus determine the other zeros.


We have

\displaystyle \begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}

In order to calculate the last term, we need to determine

\displaystyle \begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*}

This gives that

\displaystyle \begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*}

which proves that \displaystyle i and \displaystyle 2-i are zeros of this polynomial.


Since the polynomial has real coefficients, we can immediately say that the other two zeros are the complex conjugates of the first two zeros, i.e. the other two roots are \displaystyle z=-i and \displaystyle z=2+i.

One consequence of the fundamental theorem of algebra (and the factor theorem) is that all polynomials can be factored into a product of complex linear factors. This also applies to polynomials with real coefficients, but for such polynomials it is possible to multiply together the pair of factors belonging to complex conjugate roots. In this case the factorisation will consist of linear and quadratic real factors.


Beispiel 7


Show that \displaystyle x=1 is a zero of \displaystyle p(x)= x^3+x^2-2. Then first factorise \displaystyle p(x) into polynomials having real coefficients and then factorise \displaystyle p(x) completely into linear factors.


We have that \displaystyle \ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ which shows that \displaystyle x=1 is a zero of the polynomial. According to the factor theorem, this means that \displaystyle x-1 is a factor of \displaystyle p(x), i.e. \displaystyle p(x) is divisible by \displaystyle x-1. We therefore divide the polynomial with \displaystyle x-1 to get the remaining factors after \displaystyle x-1 is factored out of the polynomial

\displaystyle \begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}

So we have \displaystyle \ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\, which is the first part of the problem.


It now remains to factorise \displaystyle x^2+2x+2. The equation \displaystyle x^2+2x+2=0 has the solutions

\displaystyle x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i

and therefore the polynomial has the following factorization into complex linear factors.

\displaystyle \begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}
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