Lösung 1.3:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# Randstellen.
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Wir untersuchen alle drei Fälle:
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<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> ist
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und wird null für <math>x=3/2\,</math>.</li>
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<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
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<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Randstellen.</li>
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Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen. Somit ist <math>x=3/2\,</math> die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein könnte. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.
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Da die Funktion eine quadratische Funktion ist, ist deren Graph eine Parabel mit dem Maximum <math> \frac{17}{4} </math> an der Stelle <math> x = \frac{3}{2} </math>.
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[[Image:1_3_2_b.gif||center]]

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. Singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Randstellen.

Wir untersuchen alle drei Fälle:

  1. Die Ableitung von \displaystyle f(x) ist
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3-2x
    und wird null für \displaystyle x=3/2\,.


  2. Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
  3. Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Randstellen.

Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen. Somit ist \displaystyle x=3/2\, die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein könnte. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.


\displaystyle x \displaystyle \tfrac{3}{2}
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle -
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle \tfrac{17}{4} \displaystyle \searrow

Da die Funktion eine quadratische Funktion ist, ist deren Graph eine Parabel mit dem Maximum \displaystyle \frac{17}{4} an der Stelle \displaystyle x = \frac{3}{2} .

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