1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
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{{Vald flik|[[1.3 Max- och minproblem|Teori]]}}
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{{Gewählter Tab|[[1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme|Theorie]]}}
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{{Ej vald flik|[[1.3 Övningar|Övningar]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[1.3 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
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'''Innehåll:'''
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'''Inhalt:'''
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* Kurvskissering
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* Kurven zeichnen
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* Max- och minproblem
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* Maximierungs- und Minimierungsprobleme
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
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'''Lernziele:'''
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Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Die Definitionen von monoton steigend, streng monoton steigend, monoton fallend, streng monoton fallend, lokales Maximum, globales Maximum, lokales Minimum und globales Minimum.
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* Kunna definitionen av strängt växande funktion, strängt avtagande funktion, lokalt maximum, lokalt minimum, globalt maximum, globalt minimum.
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* Wenn <math>f^{\,\prime}>0</math> ist, dann ist <math>f</math> streng monoton steigend und wenn <math>f^{\,\prime}<0</math> ist, dann ist <math>f</math> streng monoton fallend.
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* Veta att om <math>f^{\,\prime}>0</math> i ett intervall så är <math>f</math> strängt växande i intervallet, och att om <math>f^{\,\prime}<0</math> i ett intervall så är <math>f</math> strängt avtagande i intervallet.
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* Wie man stationäre Stellen findet und deren Charakter bestimmt.
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* Kunna bestämma lokala max- och minpunkter samt terasspunkter genom teckenstudium av derivatan.
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* Wie man mit Hilfe von Vorzeichentabellen der Ableitung Kurven zeichnet.
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* Kunna skissera funktionsgrafer genom att göra en teckentabell över derivatan.
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* Wie man globale Maxima und Minima einer Funktion findet.
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* Kunna bestämma globala och lokala max- och minpunkter genom 1)&nbsp;teckenstudium av derivatan, 2)&nbsp;punkter där funktionen inte är deriverbar, 3)&nbsp;ändpunkter till definitionsmängden.
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* Wie man den Charakter einer stationären Stelle mit der zweiten Ableitung bestimmt.
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* Kunna avgöra lokala max- och minpunkter med tecknet på andraderivatan.
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}}
}}
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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== Växande och avtagande ==
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== A - Steigende und fallende Funktionen ==
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Begreppen växande och avtagande känns kanske självklara när man pratar om matematiska funktioner; om funktionen är växande så lutar grafen uppåt och om den är avtagande så lutar grafen nedåt.
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Man sagt, dass eine Funktion monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist. Man sagt monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.
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De matematiska definitionerna är följande:
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Die formellen Definitionen lauten:
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En funktion är växande i ett intervall om för alla <math>x_1</math> och <math>x_2</math> inom intervallet gäller att
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Eine Funktion f ist monoton steigend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
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{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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En funktion är avtagande i ett intervall om för alla <math>x_1</math> och <math>x_2</math> inom intervallet gäller att
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Eine Funktion f ist monoton fallend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
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{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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+
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Med vardagligt språk säger alltså definitionen av t.ex. växande funktion att för ett ''x''-värde till höger på ''x''-axeln är funktionsvärdet minst lika stort som för ett ''x''-värde till vänster. Lägg märke till att denna definition innebär att en funktion kan vara konstant i ett intervall och ändå vara växande eller avtagande. En funktion som är konstant i hela det aktuella intervallet är enligt definitionen både växande och avtagande.
+
Die Definition sagt uns also, dass eine Stelle rechts von einer bestimmten Stelle immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat wie die linke Stelle. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend sein.
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Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe '''streng''' monoton steigend und '''streng''' monoton fallend:
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Om man vill utesluta möjligheten att en växande/avtagande funktion är konstant på ett intervall talar man i stället om ''strängt'' växande och ''strängt'' avtagande funktioner:
+
Eine Funktion f ist '''streng''' monoton steigend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
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En funktion är ''strängt'' växande i ett intervall om för alla <math>x_1</math> och <math>x_2</math> inom intervallet gäller att
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{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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Eine Funktion f ist '''streng''' monoton fallend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
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En funktion är ''strängt'' avtagande i ett intervall om för alla <math>x_1</math> och <math>x_2</math> inom intervallet gäller att
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{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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{{Fristående formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
+
(Eine streng monoton steigende oder fallende Funktion kann nicht konstant sein.)
-
 
+
-
(En strängt växande/avtagande funktion får alltså inte vara konstant i någon del av intervallet.)
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
'''Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Funktionen <math>y= f(x)</math> vars graf ges av figuren nedan längst till
+
<li> Die Funktion <math>y= f(x)</math>, deren Graph unten eingezeichnet ist, ist steigend im Intervall <math>0 \le x \le 6</math>.</li>
-
vänster är växande i intervallet <math>0 \le x \le 6</math>.</li>
+
<li> Die Funktion <math>y=-x^3\!/4</math> ist streng monoton fallend.</li>
-
<li>Funktionen <math>y=-x^3\!/4</math> är en strängt avtagande funktion.</li>
+
<li> Die Funktion <math>y=x^2</math> ist streng monoton steigend für <math>x \ge 0</math>.</li>
-
<li>Funktionen <math>y=x^2</math> är strängt växande för <math>x \ge 0</math>.</li>
+
</ol>
</ol>
 +
{| align="center"
{| align="center"
|-
|-
-
||{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x), där f är styckvis linjär och konstant}}
+
||{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x), wo f stückweise linear und konstant ist}}
| width="10px" |
| width="10px" |
-
||{{:1.3 - Figur - Grafen f(x) = -x³/4}}
+
||{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = -x³/4}}
| width="10px"|
| width="10px"|
-
||{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x²}}
+
||{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x²}}
|-
|-
-
||<small>Grafen till funktionen<br> i uppgift&nbsp;a</small>
+
||<small>Graph der Funktion aus&nbsp;a.</small>
||
||
-
||<small>Grafen till funktionen<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;''x''³/4</small>
+
||<small>Graph der Funktion ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;''x''³/4</small>
||
||
-
||<small>Grafen till funktionen<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x²</small>
+
||<small>Graph der Funktion ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x²</small>
|}
|}
</div>
</div>
-
Derivatan kan givetvis användas för att undersöka om en funktion är växande eller avtagande. Vi har att
+
Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ är (strängt) växande.}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ är (strängt) avtagande.} \end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad \text{ f&uuml;r alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton steigend in } [a,b],\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad \text{f&uuml;r alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton fallend in } [a,b]. \end{align*}</math>}}
-
Observera att även enstaka '''punkter''' där <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> kan ingå i ett strängt växande eller avtagande intervall.
+
Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.
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== B - Stationäre Stellen ==
-
== Kritiska punkter ==
+
Stellen, in denen <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> gilt, nennt man stationäre Stellen oder kritische Stellen. Wir unterscheiden drei Arten von stationären Stellen:
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* Lokale Maxima, für die <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> links von der Stelle ist und <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> rechts von der Stelle ist.
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* Lokale Minima, für die <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> links von der Stelle ist und <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> rechts von der Stelle ist.
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* Sattelpunkte, wo das Vorzeichen von <math>f^{\,\prime}</math> auf beiden Seiten des Punktes gleich ist.
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Punkter där <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> kallas kritiska (eller stationära) punkter och är vanligtvis av tre olika slag:
+
Hinweis: An einer Stelle kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum liegen, ohne dass <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; lies mehr darüber im Abschnitt ''[[#E - Maxima und Minima (Extremwerte)|Maxima und Minima]]''.
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* Lokal maximipunkt med <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> till vänster, och <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> till höger om punkten.
+
-
* Lokal minimipunkt med <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> till vänster, och <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> till höger om punkten.
+
-
* Terrasspunkt med <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> eller <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> på båda sidor om punkten.
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Observera att en punkt kan vara en lokal maximi- eller minimipunkt utan att <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; läs mer i avsnittet om ''[[#Max- och minpunkter (extrempunkter)|max- och minpunkter]]''.
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<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - x⁵}}</center>
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== C - Sattelpunkte ==
-
+
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Funktionen i figuren ovan har en lokal minimipunkt för <math>x = -2</math>, terrasspunkt för <math>x = 0</math> och lokal maximipunkt för <math>x = 2</math>.
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Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, in dem die Ableitung einer Funktion null ist (waagerechte Tangente) jedoch die Funktion nicht ihre Monotonieverhalten verändert (die Funktion ist sowohl links als auch rechts von der Sattelstelle monoton steigend bzw. die Funktion ist sowohl links als auch recht von der Sattelstelle monoton fallend).
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 +
<center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center>
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{| width="85%" align="center"
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||<small> Im Sattelpunkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung nicht. Die linke Kurve hat einen Sattelstelle bei ''x''&nbsp;=&nbsp;0. Die anderen Funktionen hingegen haben keine Sattelpunkte.</small>
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|}
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 +
 +
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - x⁵}}</center>
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Die Funktion hat einen lokales Minimum in <math>x = -2</math>, einen Sattelpunkt in <math>x = 0</math> und einen lokales Maximum in <math>x = 2</math>.
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== Teckentabell ==
+
== D - Vorzeichentabelle ==
-
Genom att studera derivatans tecken (+, – eller 0) kan vi alltså få en bra uppfattning om kurvans utseende.
+
Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) betrachtet, kann man viele Informationen über die Funktion erhalten.
-
Detta utnyttjar man i en s.k. ''teckentabell''. Man bestämmer först de ''x''-värden där <math>f^{\,\prime}(x) =0</math> och beräknar sedan derivatans tecken på båda sidor om dessa. Med hjälp av en eller annan "stödpunkt" på kurvan kan man dessutom utifrån teckentabellen skissera kurvan på ett ofta godtagbart sätt.
+
Um eine Funktion zu untersuchen, macht man eine sogenannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die ''x''-Werte, bei denen <math>f^{\,\prime}(x) =0</math> und die Stellen, an denen die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen stationären Stellen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
'''Beispiel 2'''
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Gör en teckentabell över derivatan av funktionen <math>f(x) = x^3 -12x + 6</math> och skissera därefter funktionens graf.
+
Machen Sie eine Vorzeichentabelle der Funktion <math>f(x) = x^3 -12x + 6</math> und zeichnen Sie die Funktion.
<br>
<br>
<br>
<br>
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Funktionens derivata ges av
+
Die Ableitung der Funktion ist
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{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).</math>}}
f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).</math>}}
-
Faktorn <math>x-2</math> är negativ till vänster om <math>x=2</math> och positiv till höger om <math>x=2</math>. På samma sätt är faktorn <math>x+2</math> negativ till vänster om <math>x=-2</math> och positiv till höger om <math>x=-2</math>. Denna information kan vi också sammanfatta i en tabell:
+
Der Faktor <math>x-2</math> ist negativ links von <math>x=2</math> und positiv rechts von <math>x=2</math>. Der Faktor <math>x+2</math> ist negativ links von <math>x=-2</math> und positiv rechts von <math>x=-2</math>. Mit Hilfe dieser Information erstellen wir eine Tabelle:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 147: Zeile 156:
|}
|}
-
Eftersom derivatan är produkten av <math>x-2</math> och <math>x+2</math> så kan vi bestämma derivatans tecken utifrån faktorernas tecken och ställa upp följande tabell över derivatans tecken på tallinjen:
+
Nachdem die Ableitung das Produkt von <math>x-2</math> und <math>x+2</math> ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 173: Zeile 182:
|}
|}
-
I tabellens sista rad har vi skrivit ut pilar som visar om funktionen är strängt växande&nbsp;<math>(\,\nearrow\,\,)</math> eller strängt avtagande&nbsp;<math>(\,\searrow\,\,)</math> i respektive intervall samt funktionens värde i de kritiska punkterna <math>x=-2</math> och <math>x=2</math>.
+
In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen angegeben, ob die Funktion streng monoton steigend&nbsp;<math>(\,\nearrow\,\,)</math> oder streng monoton fallend&nbsp;<math>(\,\searrow\,\,)</math> im Intervall ist und zusätzlich die Werte der Funktion an den stationären Stellen <math>x=-2</math> und <math>x=2</math>.
-
Från diagrammet ser vi att <math>f(x)</math> har en lokal maximipunkt i <math>(–2, 22)</math> och en lokal minimipunkt i <math>(2, –10)</math>. Grafen kan nu skissas:
+
Aus der Tabelle sehen wir, dass die Funktion ein lokales Maximum in <math>(–2, 22)</math> hat und ein lokales Minimum in <math>(2, –10)</math> hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:
-
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - 12x + 6}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 12x + 6}}</center>
</div>
</div>
-
== Max- och minpunkter (extrempunkter) ==
+
== E - Maxima und Minima (Extremwerte) ==
-
Punkter där en funktion antar sitt största eller minsta värde i jämförelse med omgivningen kallas för ''lokala maximi-'' eller ''minimipunkter'' (förkortas ofta max- och minpunkter). Med ett gemensamt namn kallas dessa punkter för ''extrempunkter''.
+
Eine Stelle, an der die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man ''lokales Maximum'' oder ''lokales Minimum''. Lokale Maxima und lokale Minima nennt man auch lokale Extrema.
-
En extrempunkt kan uppträda i tre olika slags punkter:
+
Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrema:
-
:* I en kritisk punkt (där <math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>).
+
:* Eine stationäre Stelle (<math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>).
-
:* I en punkt där derivatan inte existerar (s.k. ''singulär punkt'').
+
:* Eine Stelle, in dem die Ableitung nicht definiert ist ('''singuläre Stelle''').
-
:* I en ändpunkt till definitionsmängden.
+
:* An der letzten Stelle des Intervalles, in dem die Funktion definiert ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
-
Funktionen nedan har fyra extrempunkter: maxpunkter i <math>x=c</math> och <math>x=e</math>, och minpunkter i <math>x=a</math> och <math>x=d</math>.
+
Die Funktion unten hat vier lokale Extrema: Lokale Maxima in <math>x=c</math> und <math>x=e</math>, und lokale Minima in <math>x=a</math> und <math>x=d</math>.
-
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x), där f har extrempunkter i x = a, b, c, d, e}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) wo f Extremwerte in den Stellen x = a, b, c, d, e annimmt}}</center>
-
+
-
I <math>x=a</math>, <math>x=b</math> och <math>x=d</math> är <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, men det är endast i <math>x=a</math> och <math>x=d</math> som vi har extrempunkter, eftersom <math>x=b</math> är en terrasspunkt.
+
In <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=d</math> ist <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, aber nur an den Stellen <math>x=a</math> und <math>x=d</math> sind Extrempunkte, da bei <math>x=b</math> ein Sattelpunkt ist.
-
I <math>x=c</math> är inte derivatan definierad (eftersom det är en spets, eller hörn, på kurvan och lutningen inte går att bestämma). Punkten <math>x=e</math> är en ändpunkt.
+
In <math>x=c</math> ist die Ableitung nicht definiert. Die Stelle <math>x=e</math> ist eine Randstelle und ordnet somit einen Endpunkt zu.
</div>
</div>
-
När man letar efter extrempunkter hos en funktion gäller det alltså att ta reda på och undersöka alla tänkbara kandidater av punkter. En lämplig arbetsgång är:
+
Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Folgende Vorgangsweise ist nützlich:
-
:# Derivera funktionen.
+
:# Die Funktion ableiten.
-
:# Kontrollera om det finns några punkter där <math>f^{\,\prime}(x)</math> inte är definierad.
+
:# Untersuchen, ob es Stellen gibt, in denen <math>f^{\,\prime}(x)</math> nicht definiert ist.
-
:# Bestäm alla punkter där <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>.
+
:# Alle Stellen finden, in denen <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> ist.
-
:# Gör en teckentabell för att få fram alla extrempunkter.
+
:# Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrema finden.
-
:# Beräkna funktionsvärdet i alla extrempunkter, samt i eventuella ändpunkter.
+
:# Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
-
Bestäm alla extrempunkter på kurvan <math>y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12</math>.
+
Bestimme die Extrema der Funktion <math>y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Funktionens derivata ges av
+
Die Ableitung der Funktion ist
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}
-
För att bestämma hur derivatans tecken varierar över tallinjen försöker vi faktorisera derivatan så långt som möjligt. Vi har redan lyckats bryta ut faktorn <math>12x</math> och vi kan faktorisera det återstående uttrycket <math>x^2+x-2</math> ytterligare genom att hitta dess nollställen
+
Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor <math>12x</math> haben wir schon und können die Funktion weiter zerlegen, indem wir die Nullstellen von <math>x^2+x-2</math> finden.
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{eller}\quad x=1.</math>}}
+
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{oder}\quad x=1.</math>}}
-
Detta betyder att <math>x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> och hela derivatan kan skrivas som
+
Also ist <math>x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> und die Ableitung ist
-
{{Fristående formel||<math>y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}</math>}}
-
Det går direkt ur denna formel att se att derivatan är noll för <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> och <math>x=1</math>. Dessutom kan vi se hur derivatans tecken varierar genom att undersöka tecknet för varje enskild faktor i produkten för olika värden på <math>x</math>
+
Die Nullstellen der Ableitung sind <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> und <math>x=1</math>. Zusätzlich können wir das Vorzeichen für jeden einzelnen Term für verschiedene <math>x</math> bestimmen.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 275: Zeile 284:
|}
|}
-
Derivatan är produkten av dessa faktorer och vi får derivatans tecken genom att multiplicera ihop faktorernas tecken i respektive intervall.
+
Multiplizieren wir die Vorzeichen in jeder Spalte, erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 308: Zeile 317:
|}
|}
-
Kurvan har alltså lokala minpunkter i <math>(–2, –20)</math> och <math>(1, 7)</math> samt lokal maxpunkt i <math>(0, 12)</math>.
+
Die Kurve hat also lokale Minima in den Punkten <math>(–2, –20)</math> und <math>(1, 7)</math> und ein lokales Maximum im Punkt <math>(0, 12)</math>.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
Bestäm alla extrempunkter på kurvan <math>y= x - x^{2/3}</math>.
+
Bestimme alle Extrema der Funktion <math>y= x - x^{2/3}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Derivatan av funktionen ges av
+
Die Ableitung der Funktion ist
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
y' = 1 - \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3}
y' = 1 - \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3}
-
\cdot \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}
+
\, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}
-
Från detta uttryck ser vi att <math>y'</math> inte är definierad för <math>x = 0</math> (vilket dock <math>y</math> är). Detta betyder att funktionen har en singulär punkt i <math>x=0</math>.
+
Von dieser Funktion sehen wir, dass <math>y'</math> für <math>x = 0</math> nicht definiert ist (obwohl <math>y</math> definiert ist). Also hat die Funktion eine singuläre Stelle in <math>x=0</math>.
-
De kritiska punkterna till funktionen ges av
+
Die stationären Stellen der Funktion erhalten wir durch
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
y'=0 \quad \Leftrightarrow \quad
y'=0 \quad \Leftrightarrow \quad
-
1= \frac {2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\quad\Leftrightarrow\quad
+
1= \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\quad\Leftrightarrow\quad
\sqrt[3]{x} = \tfrac {2}{3}\quad \Leftrightarrow \quad
\sqrt[3]{x} = \tfrac {2}{3}\quad \Leftrightarrow \quad
x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}</math>}}
x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}</math>}}
-
De enda punkter där funktionen eventuellt kan ha extrempunkter är alltså <math>x=0</math> och <math>x=\tfrac{8}{27}</math>. För att avgöra dessa punkters karaktär skriver vi upp en teckentabell:
+
Also kann die Funktion Extrema in den Stellen <math>x=0</math> und <math>x=\tfrac{8}{27}</math> haben. Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um die Stellen weiter zu untersuchen:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 347: Zeile 356:
|width="50px" align="center"| <math>y'</math>
|width="50px" align="center"| <math>y'</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
-
|width="50px" align="center"| ej def.
+
|width="50px" align="center"| nicht def.
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
Zeile 360: Zeile 369:
|}
|}
-
Kurvan har alltså en lokal maximipunkt i <math>(0, 0)</math> (en spets) och en lokal minimipunkt i <math>(\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,</math>.
+
Also hat die Funktion einen lokales Maximum im Punkt <math>(0, 0)</math> und einen lokales Minimum im Punkt <math>(\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,</math>.
-
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x - x^⅔}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x - x^⅔}}</center>
</div>
</div>
-
== Absolut min/max ==
+
== F - Globale Maxima und Minima ==
-
En funktion har ett ''absolut'' (eller ''globalt'') maximum (minimum) i en punkt om funktionsvärdet inte är större (mindre) i någon annan punkt i hela definitionsmängden. Ofta kallar man också detta för funktionens största (minsta) värde.
+
Ein globales Maximum ist ein Punkt, der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein globales Minimum ein Punkt, der einen niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.
 +
Um die globalen Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokalen Maxima und Minima bestimmen und danach den höchsten und niedrigsten Wert von diesen.
-
För att bestämma en funktions absoluta max. eller min. så måste man alltså hitta alla extrempunkter och beräkna funktionsvärdena i dessa. Om definitionsmängden har ändpunkter måste man givetvis också undersöka funktionens värde i dessa punkter.
+
Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maximum oder Minimum, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.
-
 
+
-
 
+
-
Observera att en funktion kan sakna såväl absolut max. som absolut min. Notera också att en funktion kan ha flera lokala extrempunkter utan att ha ett globalt max. eller min.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
-
<center>{{:1.3 - Figur - Två funktioner som saknar min och max resp. min}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Zwei Funktionen, wo eine weder Hoch- noch Tiefpunkt hat, und die andere keinen Tiefpunkt hat}}</center>
-
I den första figuren saknar funktionen såväl globalt maximum som globalt minimum. I den andra figuren saknar funktionen globalt minimum.
+
Die linke Funktion hat weder ein globales Maximum noch Minimum. Die rechte Funktion hat kein globales Minimum.
</div>
</div>
-
I tillämpningar ger omständigheterna ofta en begränsad definitionsmängd, dvs. man betraktar endast en del av funktionens graf. Man måste därför vara vaksam på att ett globalt max. eller min. mycket väl kan ligga i intervallets ändpunkter.
+
Wenn eine Funktion auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist, muss man beachten, dass die Endpunkte ein globales Maximum oder Minimum sein können.
-
<center>{{:1.3 - Figur - Funktion med lokala och globala extrempunkter}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Eine Kurve mit lokalen und globalen Extremwerten}}</center>
-
Funktionen ovan betraktas endast i intervallet <math>a\le x \le e</math>. Vi ser att funktionens minsta värde i detta intervall inträffar i den kritiska punkten <math>x=b</math>, medan största värdet återfinns i ändpunkten <math>x=e</math>.
+
Diese Funktion ist nur im Intervall <math>a\le x \le e</math> interessant. Wir sehen, dass das globale Minimum der Funktion an der Stelle <math>x=b</math> ist, und dass das globale Maximum an der Stelle <math>x=e</math> ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
 
+
Bestimme das Maximum und Minimum der Funktion <math>f(x) = x^3 -3x + 2</math> im Intervall <math>-0\textrm{.}5 \le x \le 1\,</math>.
-
Bestäm största och minsta värde för funktionen <math>f(x) = x^3 -3x + 2</math> i intervallet <math>-0{,}5 \le x \le 1\,</math>.
+
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-
Vi deriverar funktionen, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math>, och sätter derivatan lika med noll för att få fram alla kritiska punkter
+
Wir leiten die Funktion <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math> ab, und bestimmen so alle stationären Stellen,
-
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}}
-
Punkten <math>x = –1</math> ligger dock utanför den aktuella definitionsmängden och <math>x = 1</math> sammanfaller med definitionsmängdens ena ändpunkt. Eftersom funktionen saknar singulära punkter (funktionen är deriverbar överallt) måste funktionens största och minsta värde antas i intervallets ändpunkter,
+
Die Stelle <math>x = –1</math> liegt ausserhalb des Intervalles und <math>x = 1</math> liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Stellen, daher muss das Maximum und das Minimum an einem der Endpunkte liegen.
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} f(-0{,}5) &= 3{,}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}
-
Funktionens största värde i det givna intervallet är alltså <math>3{,}375</math>. Minsta värdet är <math>0</math> (se figuren).
+
Das Maximum der Funktion ist also <math>3\textrm{.}375</math>. Das Minimum ist <math>0</math> (siehe Figur).
-
<center>{{:1.3 - Figur - Grafen till f(x) = x³ - 3x + 2}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 3x + 2}}</center>
-
+
-
Figuren visar funktionens hela graf streckad, med den del som ligger inom det givna intervallet heldragen.
+
Die Figur zeigt den ganzen Graph der Funktion in dem Bereich, der im Intervall liegt, mit einer durchgehenden Linie.
</div>
</div>
-
== Andraderivatan ==
+
== G - Die zweite Ableitung ==
-
Tecknet på derivatan av en funktion ger oss information om huruvida funktionen är växande eller avtagande. På samma sätt kan andraderivatans tecken visa om förstaderivatan är växande eller avtagande. Detta kan man bl.a. utnyttja för att ta reda på om en given extrempunkt är en max-, eller minpunkt.
+
Das Vorzeichen der Ableitung gibt uns genügend Information darüber, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen, ob die Ableitung der Funktion monoton steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrema bestimmen.
-
Om funktionen <math>f(x)</math> har en kritisk punkt i <math>x=a</math> där <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, då gäller att
+
Falls die Funktion <math>f(x)</math> eine stationäre Stelle in <math>x=a</math> hat, in dem <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, ist
-
# Derivatan <math>f^{\,\prime}(x)</math> är strängt avtagande i en omgivning kring <math>x=a</math>.
+
# die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng monoton fallend in einer Umgebung von <math>x=a</math>,
-
# Eftersom <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> är alltså <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> till vänster om <math>x=a</math> och <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> till höger om <math>x=a</math>.
+
# <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> links von <math>x=a</math>, da <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> und deshalb auch <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> rechts von <math>x=a</math>.
-
# Detta medför att funktionen <math>f(x)</math> har en lokal maximipunkt i <math>x=a</math>.
+
Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=a</math>.
-
<center>{{:1.3 - Figur - Tangenten till funktion med negativ andraderivata}}</center>
+
 
 +
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit negativer zweiter Ableitung}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small>Om derivatan är positiv till vänster om ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' och negativ till höger om ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' så har funktionen ett lokalt maximum i ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
+
||<small> Wenn die Ableitung links von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' positiv ist, und rechts von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maximum an der Stelle ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}
|}
-
Om funktionen <math>f(x)</math> har en kritisk punkt i <math>x=a</math> där <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>, då gäller att
+
Wenn die Funktion <math>f(x)</math> eine stationäre Stelle in <math>x=a</math> hat, in dem <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>, ist
-
# Derivatan <math>f^{\,\prime}(x)</math> är strängt växande i en omgivning kring <math>x=a</math>.
+
# die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng monoton steigend in einer Umgebung von <math>x=a</math>,
-
# Eftersom <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> är alltså <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> till vänster om <math>x=a</math> och <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> till höger om <math>x=a</math>.
+
# <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> links von <math>x=a</math>, da <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> und deshalb auch <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> rechts von <math>x=a</math>.
-
# Detta medför att funktionen <math>f(x)</math> har en lokal minimipunkt i <math>x=a</math>.
+
Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=a</math>.
-
<center>{{:1.3 - Figur - Tangenten till funktion med positiv andraderivata}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit positiver zweiter Ableitung}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small>Om derivatan är negativ till vänster om ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' och positiv till höger om ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' så har funktionen ett lokalt minimum i ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
+
||<small> Wenn die Ableitung links von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' negativ ist, und rechts von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minimum an der Stelle ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}
|}
-
Om <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, får vi ingen information utan ytterligare undersökning krävs, t.ex. teckentabell.
+
Wenn <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, können wir nichts Weiteres über den stationäre Stelle sagen. In diesem Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Achtung: <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> bedeutet nicht, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> für alle Sattelpunkte gilt, gilt nicht das Umgekehrte.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
'''Beispiel 8'''
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Bestäm alla extrempunkter för funktionen <math>f(x)=x^3 -x^2 -x +2</math> och bestäm deras karaktär med hjälp av andraderivatan.
+
Bestimme alle Extrempunkte der Funktion <math>f(x)=x^3 -x^2 -x +2</math> und bestimme deren Charakter mit Hilfe der zweiten Ableitung.
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-
Funktionen är ett polynom och är därför deriverbar överallt. Om funktionen har några extrempunkter så måste de därför finnas bland de kritiska punkterna. Vi deriverar därmed funktionen, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, och sätter derivatan lika med noll
+
Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Stellen sein. Die Ableitung der Funktion ist <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, und die Nullstellen der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
-
x=1 \quad\text{eller}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
+
x=1 \quad\text{oder}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
Funktionen har kritiska punkter i <math>x = 1</math> och <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. Med hjälp av tecknet på andraderivatan <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math> kan vi bestämma vilken typ av extrempunkt respektive kritisk punkt är.
+
Die Funktion hat also die stationäre Stelle <math>x = 1</math> und <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math> bestimmen, können wir den Charakter der stationären Stellen bestimmen.
-
*För <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> har vi att <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math> och det betyder att <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> är en lokal maximipunkt.
+
 
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*För <math>x=1</math> har vi att <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math> och det betyder att <math>x=1</math> är en lokal minimipunkt.
+
* Für <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math>, also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ein lokales Maximum.
 +
* Für <math>x=1</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math>, also ist <math>x=1</math> ein lokales Minimum.
</div>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[1.3 Übungen|Übungen]]''' .

Aktuelle Version


       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Kurven zeichnen
  • Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Die Definitionen von monoton steigend, streng monoton steigend, monoton fallend, streng monoton fallend, lokales Maximum, globales Maximum, lokales Minimum und globales Minimum.
  • Wenn \displaystyle f^{\,\prime}>0 ist, dann ist \displaystyle f streng monoton steigend und wenn \displaystyle f^{\,\prime}<0 ist, dann ist \displaystyle f streng monoton fallend.
  • Wie man stationäre Stellen findet und deren Charakter bestimmt.
  • Wie man mit Hilfe von Vorzeichentabellen der Ableitung Kurven zeichnet.
  • Wie man globale Maxima und Minima einer Funktion findet.
  • Wie man den Charakter einer stationären Stelle mit der zweiten Ableitung bestimmt.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Steigende und fallende Funktionen

Man sagt, dass eine Funktion monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist. Man sagt monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.

Die formellen Definitionen lauten:

Eine Funktion f ist monoton steigend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist monoton fallend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}

Die Definition sagt uns also, dass eine Stelle rechts von einer bestimmten Stelle immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat wie die linke Stelle. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend sein.

Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe streng monoton steigend und streng monoton fallend:

Eine Funktion f ist streng monoton steigend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist streng monoton fallend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}

(Eine streng monoton steigende oder fallende Funktion kann nicht konstant sein.)

Beispiel 1

  1. Die Funktion \displaystyle y= f(x), deren Graph unten eingezeichnet ist, ist steigend im Intervall \displaystyle 0 \le x \le 6.
  2. Die Funktion \displaystyle y=-x^3\!/4 ist streng monoton fallend.
  3. Die Funktion \displaystyle y=x^2 ist streng monoton steigend für \displaystyle x \ge 0.


[Image]

[Image]

[Image]

Graph der Funktion aus a. Graph der Funktion f(x) = - x³/4 Graph der Funktion f(x) = x²

Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad \text{ für alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton steigend in } [a,b],\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad \text{für alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton fallend in } [a,b]. \end{align*}

Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.

B - Stationäre Stellen

Stellen, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 gilt, nennt man stationäre Stellen oder kritische Stellen. Wir unterscheiden drei Arten von stationären Stellen:

  • Lokale Maxima, für die \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 links von der Stelle ist und \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 rechts von der Stelle ist.
  • Lokale Minima, für die \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 links von der Stelle ist und \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 rechts von der Stelle ist.
  • Sattelpunkte, wo das Vorzeichen von \displaystyle f^{\,\prime} auf beiden Seiten des Punktes gleich ist.

Hinweis: An einer Stelle kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum liegen, ohne dass \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0; lies mehr darüber im Abschnitt Maxima und Minima.

C - Sattelpunkte

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, in dem die Ableitung einer Funktion null ist (waagerechte Tangente) jedoch die Funktion nicht ihre Monotonieverhalten verändert (die Funktion ist sowohl links als auch rechts von der Sattelstelle monoton steigend bzw. die Funktion ist sowohl links als auch recht von der Sattelstelle monoton fallend).

[Image]

Im Sattelpunkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung nicht. Die linke Kurve hat einen Sattelstelle bei x = 0. Die anderen Funktionen hingegen haben keine Sattelpunkte.


[Image]

Die Funktion hat einen lokales Minimum in \displaystyle x = -2, einen Sattelpunkt in \displaystyle x = 0 und einen lokales Maximum in \displaystyle x = 2.

D - Vorzeichentabelle

Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) betrachtet, kann man viele Informationen über die Funktion erhalten.

Um eine Funktion zu untersuchen, macht man eine sogenannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die x-Werte, bei denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0 und die Stellen, an denen die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen stationären Stellen.

Beispiel 2

Machen Sie eine Vorzeichentabelle der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -12x + 6 und zeichnen Sie die Funktion.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).

Der Faktor \displaystyle x-2 ist negativ links von \displaystyle x=2 und positiv rechts von \displaystyle x=2. Der Faktor \displaystyle x+2 ist negativ links von \displaystyle x=-2 und positiv rechts von \displaystyle x=-2. Mit Hilfe dieser Information erstellen wir eine Tabelle:

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle x-2 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +

Nachdem die Ableitung das Produkt von \displaystyle x-2 und \displaystyle x+2 ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle 22 \displaystyle \searrow \displaystyle -10 \displaystyle \nearrow

In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen angegeben, ob die Funktion streng monoton steigend \displaystyle (\,\nearrow\,\,) oder streng monoton fallend \displaystyle (\,\searrow\,\,) im Intervall ist und zusätzlich die Werte der Funktion an den stationären Stellen \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=2.

Aus der Tabelle sehen wir, dass die Funktion ein lokales Maximum in \displaystyle (–2, 22) hat und ein lokales Minimum in \displaystyle (2, –10) hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:

[Image]


E - Maxima und Minima (Extremwerte)

Eine Stelle, an der die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man lokales Maximum oder lokales Minimum. Lokale Maxima und lokale Minima nennt man auch lokale Extrema.

Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrema:

  • Eine stationäre Stelle (\displaystyle f^{\,\prime}(x)=0\,).
  • Eine Stelle, in dem die Ableitung nicht definiert ist (singuläre Stelle).
  • An der letzten Stelle des Intervalles, in dem die Funktion definiert ist.

Beispiel 3

Die Funktion unten hat vier lokale Extrema: Lokale Maxima in \displaystyle x=c und \displaystyle x=e, und lokale Minima in \displaystyle x=a und \displaystyle x=d.

[Image]

In \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=d ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0, aber nur an den Stellen \displaystyle x=a und \displaystyle x=d sind Extrempunkte, da bei \displaystyle x=b ein Sattelpunkt ist.

In \displaystyle x=c ist die Ableitung nicht definiert. Die Stelle \displaystyle x=e ist eine Randstelle und ordnet somit einen Endpunkt zu.

Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Folgende Vorgangsweise ist nützlich:

  1. Die Funktion ableiten.
  2. Untersuchen, ob es Stellen gibt, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) nicht definiert ist.
  3. Alle Stellen finden, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 ist.
  4. Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrema finden.
  5. Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.

Beispiel 4

Bestimme die Extrema der Funktion \displaystyle y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}

Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor \displaystyle 12x haben wir schon und können die Funktion weiter zerlegen, indem wir die Nullstellen von \displaystyle x^2+x-2 finden.

\displaystyle

x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{oder}\quad x=1.

Also ist \displaystyle x^2+x-2=(x+2)(x-1) und die Ableitung ist

\displaystyle y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}

Die Nullstellen der Ableitung sind \displaystyle x=-2, \displaystyle x=0 und \displaystyle x=1. Zusätzlich können wir das Vorzeichen für jeden einzelnen Term für verschiedene \displaystyle x bestimmen.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x-1 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +

Multiplizieren wir die Vorzeichen in jeder Spalte, erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \searrow \displaystyle -20 \displaystyle \nearrow \displaystyle 12 \displaystyle \searrow \displaystyle 7 \displaystyle \nearrow

Die Kurve hat also lokale Minima in den Punkten \displaystyle (–2, –20) und \displaystyle (1, 7) und ein lokales Maximum im Punkt \displaystyle (0, 12).

Beispiel 5

Bestimme alle Extrema der Funktion \displaystyle y= x - x^{2/3}.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

y' = 1 - \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}

Von dieser Funktion sehen wir, dass \displaystyle y' für \displaystyle x = 0 nicht definiert ist (obwohl \displaystyle y definiert ist). Also hat die Funktion eine singuläre Stelle in \displaystyle x=0.

Die stationären Stellen der Funktion erhalten wir durch

\displaystyle

y'=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1= \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt[3]{x} = \tfrac {2}{3}\quad \Leftrightarrow \quad x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}

Also kann die Funktion Extrema in den Stellen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=\tfrac{8}{27} haben. Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um die Stellen weiter zu untersuchen:

\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle \frac{8}{27}
\displaystyle y' \displaystyle + nicht def. \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle y \displaystyle \nearrow \displaystyle 0 \displaystyle \searrow \displaystyle -\frac{4}{27} \displaystyle \nearrow

Also hat die Funktion einen lokales Maximum im Punkt \displaystyle (0, 0) und einen lokales Minimum im Punkt \displaystyle (\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,.

[Image]


F - Globale Maxima und Minima

Ein globales Maximum ist ein Punkt, der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein globales Minimum ein Punkt, der einen niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.

Um die globalen Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokalen Maxima und Minima bestimmen und danach den höchsten und niedrigsten Wert von diesen.

Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maximum oder Minimum, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.

Beispiel 6

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Die linke Funktion hat weder ein globales Maximum noch Minimum. Die rechte Funktion hat kein globales Minimum.

Wenn eine Funktion auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist, muss man beachten, dass die Endpunkte ein globales Maximum oder Minimum sein können.

[Image]

Diese Funktion ist nur im Intervall \displaystyle a\le x \le e interessant. Wir sehen, dass das globale Minimum der Funktion an der Stelle \displaystyle x=b ist, und dass das globale Maximum an der Stelle \displaystyle x=e ist.


Beispiel 7 Bestimme das Maximum und Minimum der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -3x + 2 im Intervall \displaystyle -0\textrm{.}5 \le x \le 1\,.

Wir leiten die Funktion \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3 ab, und bestimmen so alle stationären Stellen,

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}

Die Stelle \displaystyle x = –1 liegt ausserhalb des Intervalles und \displaystyle x = 1 liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Stellen, daher muss das Maximum und das Minimum an einem der Endpunkte liegen.

\displaystyle \begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}

Das Maximum der Funktion ist also \displaystyle 3\textrm{.}375. Das Minimum ist \displaystyle 0 (siehe Figur).

[Image]

Die Figur zeigt den ganzen Graph der Funktion in dem Bereich, der im Intervall liegt, mit einer durchgehenden Linie.


G - Die zweite Ableitung

Das Vorzeichen der Ableitung gibt uns genügend Information darüber, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen, ob die Ableitung der Funktion monoton steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrema bestimmen.


Falls die Funktion \displaystyle f(x) eine stationäre Stelle in \displaystyle x=a hat, in dem \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)<0, ist

  1. die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng monoton fallend in einer Umgebung von \displaystyle x=a,
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 links von \displaystyle x=a, da \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 und deshalb auch \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 rechts von \displaystyle x=a.

Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=a.


[Image]

Wenn die Ableitung links von x = a positiv ist, und rechts von x = a negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maximum an der Stelle x = a.


Wenn die Funktion \displaystyle f(x) eine stationäre Stelle in \displaystyle x=a hat, in dem \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)>0, ist

  1. die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng monoton steigend in einer Umgebung von \displaystyle x=a,
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 links von \displaystyle x=a, da \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 und deshalb auch \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 rechts von \displaystyle x=a.

Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=a.

[Image]

Wenn die Ableitung links von x = a negativ ist, und rechts von x = a positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minimum an der Stelle x = a.


Wenn \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0, können wir nichts Weiteres über den stationäre Stelle sagen. In diesem Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Achtung: \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 bedeutet nicht, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 für alle Sattelpunkte gilt, gilt nicht das Umgekehrte.


Beispiel 8

Bestimme alle Extrempunkte der Funktion \displaystyle f(x)=x^3 -x^2 -x +2 und bestimme deren Charakter mit Hilfe der zweiten Ableitung.

Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Stellen sein. Die Ableitung der Funktion ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1, und die Nullstellen der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung

\displaystyle

f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1 \quad\text{oder}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}

Die Funktion hat also die stationäre Stelle \displaystyle x = 1 und \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2 bestimmen, können wir den Charakter der stationären Stellen bestimmen.

  • Für \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0, also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ein lokales Maximum.
  • Für \displaystyle x=1 ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(1)=4>0, also ist \displaystyle x=1 ein lokales Minimum.



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