3.3 Potenzen und Wurzeln

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Mall:Vald flik|[[3.3 Potenser och rötter|Teori]]}}
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{{Gewählter Tab|[[3.3 Potenzen und Wurzeln|Theorie]]}}
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{{Mall:Ej vald flik|[[3.3 Övningar|Övningar]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[3.3 Übungen|Übungen]]}}
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|}
|}
{{Info|
{{Info|
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'''Innehåll:'''
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'''Inhalt:'''
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* de Moivres formel
+
* Der Moivresche Satz
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* Binomiska ekvationer
+
* Quadratische Gleichungen
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* Exponentialform
+
* Exponentialfunktionen
-
* Eulers formel
+
* Quadratische Ergänzung
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* Kvadratkomplettering
+
-
* Andragradsekvationer
+
}}
}}
{{Info|
{{Info|
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'''Lärandemål:'''
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'''Lernziele:'''
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Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Beräkna potenser av komplexa tal med de Moivres formel.
+
* Wie man Potenzen von komplexen Zahlen mit dem Moivreschen Satz löst.
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* Beräkna rötter av vissa komplexa tal genom omskrivning till polär form.
+
* Wie man Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet, indem man die Zahl in Polarform bringt.
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* Lösa binomiska ekvationer.
+
* Wie man komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch ergänzt.
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* Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck.
+
* Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst.
-
* Lösa komplexa andragradsekvationer.
+
}}
}}
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== De Moivres formel ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
Räknereglerna <math>\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ </math> och <math>\ |\,zw\,| = |\,z\,|\cdot|\,w\,|\ </math> betyder att
+
== A - Moivrescher Satz==
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{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{osv.}</math>}}
+
Die Rechenregeln <math>\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ </math> und <math>\ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ </math> bedeuten, dass
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För ett godtyckligt tal <math>z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)</math> har vi därför följande samband
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}</math>}}
+
 
 +
Für eine beliebige komplexe Zahl <math>z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)</math> gilt daher, dass
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}</math>}}
-
Om <math>|\,z\,|=1</math>, (dvs. <math>z</math> ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt
+
Falls <math>|\,z\,|=1</math> (also, dass <math>z</math> am Einheitskreis liegt), erhalten wir den Sonderfall
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
vilket brukar kallas ''de Moivres formel''. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.
+
Diese Regel nennt man den ''Moivreschen Satz''. Wie wir sehen werden, ist diese Regel sehr wichtig, wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
-
Om <math>z = \frac{1+i}{\sqrt2}</math>, beräkna <math>z^3</math> och <math>z^{100}</math>.
+
Bestimme <math>z^3</math> und <math>z^{100}</math> für <math>z = \frac{1+i}{\sqrt2}</math> .
-
Skriver vi <math>z</math> i polär form <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> så ger de Moivres formel oss att
+
Wir schreiben <math>z</math> in Polarform <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> und verwenden den Moivreschen Satz
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
 +
Mit der binomischen Formel können wir den Ausdruck wie folgt erläutern:
-
På traditionellt sätt kan man med kvadreringsregeln utveckla
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}</math>}}
+
aber wir können auch den Moivreschen Satz benutzen. Dann erhalten wir:
-
och med de Moivres formel få att
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}
+
Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten
-
Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna
 
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
-
Beräkna <math>\ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,</math>.
+
Vereinfache <math>\ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,</math>.
-
 
+
Wir schreiben die Zahlen <math>\sqrt{3}+i</math>, <math>1+i\sqrt{3}</math> und <math>1+i</math> in Polarform
-
Vi skriver talen <math>\sqrt{3}+i</math>, <math>1+i\sqrt{3}</math> och <math>1+i</math> i polär form
+
*<math>\quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
*<math>\quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
*<math>\quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
-
Då får vi med de Moivres formel att
+
Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \cdot (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}\:</math>.}}
-
och detta uttryck kan förenklas genom att utföra multiplikationen och divisionen i polär form
+
Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
== Binomiska ekvationer ==
+
== B - ''n''te Wurzeln von komplexen Zahlen ==
-
Ett komplext tal <math>z</math> kallas en ''n'':te rot av det komplexa talet <math>w</math> om
+
Eine komplexe Zahl <math>z</math> wird ''n''te Wurzel von <math>w</math> genannt, falls
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
+
-
Ovanstående samband kan också ses som en ekvation där <math>z</math> är den obekante, och en sådan ekvation kallas en ''binomisk ekvation''. Lösningarna ges av att skriva båda leden i polär form och jämföra belopp och argument.
+
Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.
-
För ett givet tal <math>w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta)</math> ansätter man det sökta talet <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> och den binomiska ekvationen blir
+
Ist eine Zahl <math> w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) </math> gegeben, nimmt man an, dass <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> und erhält so die Gleichung
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}}
+
wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite angewendet haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir
-
där de Moivres formel använts i vänsterledet. För belopp och argument måste nu gälla
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
Beachte hier, dass wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.
-
Observera att vi lägger till en multipler av <math>2\pi</math> för att få med alla värden på argumentet som anger samma riktning som <math>\theta</math>. Man får då att
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}}\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}</math>}}
+
Wir erhalten also ''einen'' Wert für <math>r</math>, aber unendlich viele Werte für <math>\alpha</math>. Trotzdem gibt es nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von <math>k</math> zwischen <math>k = 0</math> und <math>k = n - 1</math> erhalten wir verschiedene Argumente für <math>z</math> und daher verschiedene Zahlen <math>z</math>. Für andere Werte von <math>k</math> wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, da die Funktionen <math>\cos \theta</math> und <math>\sin \theta</math> periodisch sind und die Periodenlänge <math>2 \pi</math> haben. Also hat eine Gleichung mit der Form <math>z^n=w</math> genau <math>n</math> Wurzeln.
-
Detta ger ''ett'' värde på <math>r</math>, men oändligt många värden på <math>\alpha</math>. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från <math>k = 0</math> till <math>k = n - 1</math> får man olika argument för <math>z</math> och därmed olika lägen för <math>z</math> i det komplexa talplanet. För övriga värden på <math>k</math> kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar. Detta resonemang visar att ekvationen <math>z^n=w</math> har exakt <math>n</math> rötter.
+
Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um <math>2\pi/n</math> unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius <math>\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}</math> verteilt und bilden ein ''n''-seitiges Polygon.
-
''Anm.'' Observera att rötternas olika argument ligger <math>2\pi/n</math> ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien <math>\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}</math> och bildar hörn i en regelbunden ''n''-hörning.
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
'''Beispiel 4'''
-
Lös den binomiska ekvationen <math>\ z^4= 16\,i\,</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ z^4= 16\,i\,</math>.
-
Skriv <math>z</math> och <math>16\,i</math> i polär form
+
Wir schreiben <math>z</math> und <math>16\,i</math> in Polarform
*<math>\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,</math>,
*<math>\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,</math>,
*<math>\quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
*<math>\quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
-
Då ger ekvationen <math>\ z^4=16\,i\ </math> att
+
Die Gleichung <math>\ z^4=16\,i\ </math> wird also
-
{{Fristående formel||<math>r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}</math>}}
-
När vi identifierar belopp och argument i båda led fås att
+
Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi\end{align*}\qquad\text{dvs.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{d.h.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}</math>}}
{| width="100%"
{| width="100%"
| width="95%"|
| width="95%"|
-
Lösningarna till ekvationen är alltså
+
Die Wurzeln der Gleichung sind daher
-
{{Fristående formel||<math>\left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr)\\[4pt]
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]
-
\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
+
\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
-
\displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
+
\displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
-
\displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr)\end{align*}\right.</math>}}
+
\displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.</math>}}
| width="5%" |
| width="5%" |
-
||{{:3.3 - Figur - Komplexa talen z₁, z₂, z₃ och z₄}}
+
||{{:3.3 - Bild - Die komplexen Zahlen z₁, z₂, z₃ und z₄}}
|}
|}
- 
</div>
</div>
-
== Exponentialform av komplexa tal ==
+
== C - Exponentialform der komplexen Zahlen==
-
Om vi behandlar <math>i</math> likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal <math>z</math> som en funktion av <math>\alpha</math> (och <math>r</math> är en konstant),
 
-
{{Fristående formel||<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}}
+
Wenn wir <math>i</math> als eine normale Zahl betrachten und die komplexe Zahl <math>z</math> wie eine Funktion von nur <math>\alpha</math> betrachten (in der <math>r</math> also konstant ist), ergibt sich
-
så får vi efter derivering
+
{{Abgesetzte Formel||<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{osv.}\end{align*}</math>}}
+
und wir erhalten durch wiederholte Ableitung
-
Den enda reella funktion med dessa egenskaper är <math>f(x)= e^{\,kx}</math>, vilket motiverar definitionen
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}</math>}}
+
Die einzigen reellen Funktionen, die dies erfüllen, sind Funktionen in der Form <math>f(x)= e^{\,kx}</math>. Daher stammt folgende Definition:
-
+
-
Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter <math>z=a+ib</math> så får man
+
-
{{Fristående formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \cdot e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Dies ist auch eine Verallgemeinerung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Ersetzen wir <math>z=a+ib</math> erhalten wir
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}}
-
Definitionen av <math>e^{\,z}</math> kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>.
+
Die Definition von <math>e^{\,z}</math> kann wie eine Kurzform der Polarform verwendet werden, da <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
-
 
+
-
För ett reellt tal <math>z</math> överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom <math>z=a+0\cdot i</math> ger att
+
Für eine reelle Zahl <math>z</math> ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. Da <math>z=a+0\cdot i</math> erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
 +
Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz.
-
Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
+
Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen.
-
vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}</math>}}
-
 
+
-
{{Fristående formel||<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}</math>}}
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
-
Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet
+
Mit den Definitionen oben erhalten wir die Formel
-
{{Fristående formel||<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}}
-
vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken: <math>e</math>, <math>\pi</math>, <math>i</math> och 1.
+
Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.
-
Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.
+
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
''' Beispiel 8'''
 +
Löse die Gleichung <math>\ (z+i)^3 = -8i</math>.
-
Lös ekvationen <math>\ (z+i)^3 = -8i</math>.
 
 +
Wir lassen <math>w = z + i</math> sein. Wir erhalten so die Gleichung <math>\ w^3=-8i\,</math>. Wir bringen als ersten Schritt <math>w</math> und <math>-8i</math> in Polarform
 +
*<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}</math>
 +
*<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}</math>
-
Sätt <math>w = z + i</math>. Vi får då den binomiska ekvationen <math>\ w^3=-8i\,</math>. Till att börja med skriver vi om <math>w</math> och <math>-8i</math> i polär form
+
In Polarform lautet die Gleichung <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math>. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir
-
*<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}</math>
+
-
*<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}</math>
+
-
Ekvationen blir i polär form <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math> och identifierar vi belopp och argument i båda led har vi att
+
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Rötterna till ekvationen blir därmed
+
Die Wurzeln der Gleichung sind daher
-
*<math>\quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\quad\vphantom{\biggl(}</math>
+
*<math>\quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
-
*<math>\quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\quad\vphantom{\Biggl(}</math>
+
*<math>\quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}</math>
-
*<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\quad\vphantom{\biggl(}</math>
+
*<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
-
dvs. <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> och <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>.
+
also sind <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> und <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 9'''
+
''' Beispiel 9'''
-
Lös ekvationen <math>\ z^2 = \overline{z}\,</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ z^2 = \overline{z}\,</math>.
-
Om <math>z=a+ib</math> har <math>|\,z\,|=r</math> och <math>\arg z = \alpha</math> så gäller att <math>\overline{z}= a-ib</math> har <math>|\,\overline{z}\,|=r</math> och <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>. Därför gäller att <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> och <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. Ekvationen kan därmed skrivas
+
Wenn für <math>z=a+ib</math>, <math>|\,z\,|=r</math> und <math>\arg z = \alpha</math> ist, ist für <math>\overline{z}= a-ib</math> <math>|\,\overline{z}\,|=r</math> und <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>. Also ist <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> und <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. Die Gleichung lautet also
-
{{Fristående formel||<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{eller}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{oder}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{.}</math>}}
-
vilket är ekvivalent med <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>, som ger efter identifikation av belopp och argument
+
Wir sehen direkt, dass <math>r=0</math> eine der Lösungen ist und daher die Lösung <math>z=0</math> ergibt. Nehmen wir an, dass <math>r\not=0</math> erhalten wir die Gleichung <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &= 1\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Lösningarna är
+
Die Wurzeln sind also
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*<math>\quad z_1 = e^0 = 1</math>
+
*<math>\quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}</math>
-
*<math>\quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\vphantom{\Biggl(}</math>
+
*<math>\quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
-
*<math>\quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i</math>
+
*<math>\quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}</math>
 +
*<math>\quad z_4 = 0\,\mbox{.}</math>
</div>
</div>
-
== Kvadratkomplettering ==
+
== D - Quadratische Ergänzung ==
-
Kvadreringsreglerna,
+
Die wohlbekannten Regeln
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{{Fristående formel||<math>\left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.</math>}}
-
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck. Exempelvis är
+
können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
+
Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Rotutdragning ger sedan att <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> och därmed att <math>x=-2\pm 3</math>, dvs. <math>x=1</math> eller <math>x=-5</math>.
+
Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> und, dass <math>x=-2\pm 3</math> und daher <math>x=1</math> oder <math>x=-5</math>.
-
Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
+
Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um eine der binomischen Formeln umgekehrt verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}}
-
Genom att addera 9 till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
+
Addieren wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Metoden kallas ''kvadratkomplettering''.
+
Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man ''quadratische Ergänzung''.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 10'''
+
''' Beispiel 10'''
-
 
+
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Lös ekvationen <math>\ x^2-6x+7=2\,</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ x^2-6x+7=2\,</math>.
 +
<br>
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<br>
 +
Der Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-6</math> und daher müssen wir die Zahl <math>(-3)^2=9</math> als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Koefficienten framför <math>x</math> är <math>-6</math> och det visar att vi måste ha talet <math>(-3)^2=9</math> som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till <math>2</math> på båda sidor åstadkommer vi detta:
+
Wir erhalten also <math>x-3=\pm 2</math>. Daher ist <math>x=1</math> oder <math>x=5</math>.
-
 
+
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\,\mbox{,}\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\,\mbox{,}\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
-
 
+
-
Rotutdragning ger sedan att <math>x-3=\pm 2</math>, vilket betyder att <math>x=1</math> och <math>x=5</math>.
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</li>
</li>
-
<li> Lös ekvationen <math>\ z^2+21=4-8z\,</math>.
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<li> Löse die Gleichung <math>\ z^2+21=4-8z\,</math>.
-
 
+
<br>
-
 
+
<br>
-
Ekvationen kan skrivas <math>z^2+8z+17=0</math>. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
+
Die Gleichung kann wie <math>z^2+8z+17=0</math> geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
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+
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\,\mbox{,}\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\,\mbox{,}\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
+
-
och därför är <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. Med andra ord är lösningarna <math>z=-4-i</math> och <math>z=-4+i</math>.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\end{align*}</math>}}
 +
und daher ist <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. Also sind die Wurzeln <math>z=-4-i</math> und <math>z=-4+i</math>.
</li>
</li>
</ol>
</ol>
Zeile 318: Zeile 313:
</div>
</div>
-
Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för ''x''" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas. Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.
+
Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des ''x''-Terms ist. Diese Methode funktioniert auch für komplexe Gleichungen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 11'''
+
''' Beispiel 11'''
-
Lös ekvationen <math>\ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,</math>.
-
Halva koefficienten för <math>x</math> är <math>-\tfrac{4}{3}</math>. Vi lägger alltså till <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> i båda led
+
Der halbe Koeffizient von <math>x</math> ist <math>-\tfrac{4}{3}</math>. Also müssen wir <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> auf beiden Seiten addieren
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Nu är det enkelt att få fram att <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> och därmed att <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, dvs. <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> och <math>x=3</math>.
+
Wir sehen, dass <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> und erhalten dadurch, dass <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, also <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> oder <math>x=3</math>.
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 12'''
+
''' Beispiel 12'''
-
Lös ekvationen <math>\ x^2+px+q=0\,</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ x^2+px+q=0\,</math>.
-
Kvadratkomplettering ger
+
Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Detta ger den vanliga formeln, ''pq-formeln'', för lösningar till andragradsekvationer
+
Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen
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{{Fristående formel||<math>x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 13'''
+
''' Beispiel 13'''
-
Lös ekvationen <math>\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,</math>.
+
Löse die Gleichung <math>\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,</math>.
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Halva koefficienten för <math>z</math> är <math>-(6+2i)</math> så vi adderar kvadraten på detta uttryck till båda led
 
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{{Fristående formel||<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}}
 
-
Räknar vi ut kvadraten <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås
+
Der halbe Koeffizient von <math>z</math> ist <math>-(6+2i)</math>. Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}}
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Efter en rotutdragning har vi att <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> och därmed är lösningarna <math>z=12+2i</math> och <math>z=2i</math>.
+
Erweitern wir die rechte Seite <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 
 +
Wir erhalten <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> und daher die Wurzeln <math>z=12+2i</math> und <math>z=2i</math>.
</div>
</div>
-
Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis
+
Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Das Ziel dabei ist, dass die Variable nur noch in der quadrierten Klammer steht, und nicht mehr außerhalb. Zum Beispiel
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 14'''
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''' Beispiel 14'''
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Kvadratkomplettera uttrycket <math>\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,</math>.
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Ergänze <math>\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,</math> quadratisch.
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Lägg till och dra ifrån termen <math>\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,</math>,
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Wir subtrahieren und addieren <math>\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,</math> vom Ausdruck,
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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== Lösning med formel ==
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== E - Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel==
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Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen <math>\sqrt{a+ib}</math>. Man kan då ansätta
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Manchmal ist es am einfachsten, quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme wie <math>\sqrt{a+ib}</math> entstehen. Man kann dann annehmen, dass
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{{Fristående formel||<math>z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}</math>}}
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Genom att kvadrera båda led får vi att
+
Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att
+
Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen, erhalten wir
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{{Fristående formel||<math>\left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.</math>}}
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Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. <math>y= b/(2x)</math> som kan sättas in i den första ekvationen.
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Diese Gleichungen löst man zum Beispiel, indem man <math>y= b/(2x)</math> in der ersten Gleichung ersetzt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 15'''
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''' Beispiel 15'''
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Beräkna <math>\ \sqrt{-3-4i}\,</math>.
+
Berechne <math>\ \sqrt{-3-4i}\,</math>.
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Sätt <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math> där <math>x</math> och <math>y</math> är reella tal. Kvadrering av båda led ger
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Wir nehmen an, dass <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math>, wobei <math>x</math> und <math>y</math> reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\end{align*}</math>}}
-
vilket leder till ekvationssystemet
+
und wir erhalten die beiden Gleichungen
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{{Fristående formel||<math>\Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Ur den andra ekvationen kan vi lösa ut <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math> och sätts detta in i den första ekvationen fås att
+
Von der zweiten Gleichung erhalten wir <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math>. Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt
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{{Fristående formel||<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}
-
Denna ekvation är en andragradsekvation i <math>x^2</math> vilket man ser lättare genom att sätta <math>t=x^2</math>
+
Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>x^2</math>, die wir am einfachsten lösen, indem wir <math>t=x^2</math> substituieren
-
{{Fristående formel||<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}
-
Lösningarna är <math>t = 1</math> och <math>t = -4</math>. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom <math>x</math> och <math>y</math> är reella tal och då kan inte <math>x^2=-4</math>. Vi får att <math>x=\pm\sqrt{1}</math>, vilket ger oss två möjligheter
+
Die Lösungen sind <math>t = 1</math> und <math>t = -4</math>. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da <math>x</math> und <math>y</math> reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen <math>x=\pm\sqrt{1}</math> und dadurch
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* <math>\ x=-1\ </math> som ger att <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>.
+
* <math>\ x=-1\ </math> ergibt, dass <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>,
-
* <math>\ x=1\ </math> som ger att <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.
+
* <math>\ x=1\ </math> ergibt, dass <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.
-
Vi har alltså kommit fram till att
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Also ist
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{{Fristående formel||<math>\sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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'''Exempel 16'''
+
''' Beispiel 16'''
<ol type="a">
<ol type="a">
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<li> Lös ekvationen <math>\ z^2-2z+10=0\,</math>.
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ z^2-2z+10=0\,</math>.
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Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12)
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+
{{Abgesetzte Formel||<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}}
-
Formeln för lösningar till en andragradsekvation (se exempel 3) ger att
+
-
 
+
-
{{Fristående formel||<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}}
+
</li>
</li>
-
<li> Lös ekvationen <math>\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}</math>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}</math>
-
 
+
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Även här ger ''pq''-formeln lösningarna direkt
+
Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten
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{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
</li>
</li>
-
<li> Lös ekvationen <math>\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}</math>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}</math>
 +
<br>
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 +
Division auf beiden Seiten durch <math>i</math> ergibt
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Division av båda led med <math>i</math> ger att
+
Durch die Lösungsformel erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Applicerar vi sedan ''pq''-formeln så fås att
+
indem wir das Beispiel 15 verwenden, um <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> zu erhalten. Die Lösungen sind daher
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ z &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ z &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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där vi använt det framräknade värdet på <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> från exempel 6. Lösningarna är alltså
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{{Fristående formel||<math>z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
</li>
</li>
</ol>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Der Moivresche Satz
  • Quadratische Gleichungen
  • Exponentialfunktionen
  • Quadratische Ergänzung

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man Potenzen von komplexen Zahlen mit dem Moivreschen Satz löst.
  • Wie man Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet, indem man die Zahl in Polarform bringt.
  • Wie man komplexe quadratische Ausdrücke quadratisch ergänzt.
  • Wie man komplexe quadratische Gleichungen löst.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Moivrescher Satz

Die Rechenregeln \displaystyle \ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ und \displaystyle \ |\,zw\,| = |\,z\,|\,|\,w\,|\ bedeuten, dass

\displaystyle \biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{etc.}


Für eine beliebige komplexe Zahl \displaystyle z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha) gilt daher, dass

\displaystyle z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}

Falls \displaystyle |\,z\,|=1 (also, dass \displaystyle z am Einheitskreis liegt), erhalten wir den Sonderfall

\displaystyle (\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{.}

Diese Regel nennt man den Moivreschen Satz. Wie wir sehen werden, ist diese Regel sehr wichtig, wenn man Potenzen und Wurzeln von komplexen Zahlen berechnet.


Beispiel 1


Bestimme \displaystyle z^3 und \displaystyle z^{100} für \displaystyle z = \frac{1+i}{\sqrt2} .


Wir schreiben \displaystyle z in Polarform \displaystyle \ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ und verwenden den Moivreschen Satz

\displaystyle \begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 2

Mit der binomischen Formel können wir den Ausdruck wie folgt erläutern:

\displaystyle \begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\,\mbox{,}\end{align*}

aber wir können auch den Moivreschen Satz benutzen. Dann erhalten wir:

\displaystyle (\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}

Da die beiden Ausdrücke gleich sind, erhalten wir, indem wir die Real- und Imaginärteile gleichsetzen, die bekannten trigonometrischen Identitäten


\displaystyle \biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3


Vereinfache \displaystyle \ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,.

Wir schreiben die Zahlen \displaystyle \sqrt{3}+i, \displaystyle 1+i\sqrt{3} und \displaystyle 1+i in Polarform

  • \displaystyle \quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Nach dem Moivreschen Satz erhalten wir

\displaystyle \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \, (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}\:.

Diesen Ausdruck können wir weiter vereinfachen, indem wir die Multiplikations- und Divisionsregeln für komplexe Zahlen in Polarform verwenden

\displaystyle \begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}


B - nte Wurzeln von komplexen Zahlen

Eine komplexe Zahl \displaystyle z wird nte Wurzel von \displaystyle w genannt, falls

\displaystyle z^n= w \mbox{.}

Lösungen dieser Wurzelgleichung erhält man, indem man beide Zahlen in Polarform bringt und deren Betrag und Argument vergleicht.

Ist eine Zahl \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) gegeben, nimmt man an, dass \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha) und erhält so die Gleichung

\displaystyle r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}

wo wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite angewendet haben. Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}

Beachte hier, dass wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zum Argument addiert haben, um alle Lösungen zu erhalten.

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}

Wir erhalten also einen Wert für \displaystyle r, aber unendlich viele Werte für \displaystyle \alpha. Trotzdem gibt es nicht unendlich viele Lösungen dieser Gleichung. Für Werte von \displaystyle k zwischen \displaystyle k = 0 und \displaystyle k = n - 1 erhalten wir verschiedene Argumente für \displaystyle z und daher verschiedene Zahlen \displaystyle z. Für andere Werte von \displaystyle k wiederholen wir nur die schon bekannten Lösungen, da die Funktionen \displaystyle \cos \theta und \displaystyle \sin \theta periodisch sind und die Periodenlänge \displaystyle 2 \pi haben. Also hat eine Gleichung mit der Form \displaystyle z^n=w genau \displaystyle n Wurzeln.

Hinweis: Beachte, dass die Argumente der Lösungen sich immer um \displaystyle 2\pi/n unterscheiden. Also sind die Lösungen gleichförmig auf dem Kreis mit dem Radius \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{|w|} verteilt und bilden ein n-seitiges Polygon.


Beispiel 4


Löse die Gleichung \displaystyle \ z^4= 16\,i\,.


Wir schreiben \displaystyle z und \displaystyle 16\,i in Polarform

  • \displaystyle \quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,,
  • \displaystyle \quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Die Gleichung \displaystyle \ z^4=16\,i\ wird also

\displaystyle r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}

Vergleichen wir das Argument und den Betrag der beiden Seiten, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{d.h.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

\displaystyle \left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]

\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.

[Image]


C - Exponentialform der komplexen Zahlen

Wenn wir \displaystyle i als eine normale Zahl betrachten und die komplexe Zahl \displaystyle z wie eine Funktion von nur \displaystyle \alpha betrachten (in der \displaystyle r also konstant ist), ergibt sich

\displaystyle f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)

und wir erhalten durch wiederholte Ableitung

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{etc.}\end{align*}

Die einzigen reellen Funktionen, die dies erfüllen, sind Funktionen in der Form \displaystyle f(x)= e^{\,kx}. Daher stammt folgende Definition:

\displaystyle e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}

Dies ist auch eine Verallgemeinerung der reellen Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Ersetzen wir \displaystyle z=a+ib erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \, e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}

Die Definition von \displaystyle e^{\,z} kann wie eine Kurzform der Polarform verwendet werden, da \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,.


Beispiel 5

Für eine reelle Zahl \displaystyle z ist die Definition dieselbe wie für die reelle Exponentialfunktion. Da \displaystyle z=a+0\cdot i erhalten wir

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}

Beispiel 6

Eine weitere Folgerung aus dieser Definition erhalten wir durch den Moivreschen Satz.

\displaystyle \bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}

Das erinnert uns an die wohlbekannte Rechenregel für Potenzen.

\displaystyle \left(a^x\right)^y = a^{x\,y}

Beispiel 7


Mit den Definitionen oben erhalten wir die Formel

\displaystyle e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1

Diese berühmte Formel wurde von Euler zu Beginn des 18. Jahrhunderts entdeckt.

Beispiel 8

Löse die Gleichung \displaystyle \ (z+i)^3 = -8i.


Wir lassen \displaystyle w = z + i sein. Wir erhalten so die Gleichung \displaystyle \ w^3=-8i\,. Wir bringen als ersten Schritt \displaystyle w und \displaystyle -8i in Polarform

  • \displaystyle \quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}

In Polarform lautet die Gleichung \displaystyle \ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ . Vergleichen wir das Argument und den Betrag der rechten und linken Seite, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Die Wurzeln der Gleichung sind daher

  • \displaystyle \quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
  • \displaystyle \quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}

also sind \displaystyle z_1 = 2i-i=i, \displaystyle z_2 = - \sqrt{3}-2i und \displaystyle z_3 = \sqrt{3}-2i.

Beispiel 9


Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2 = \overline{z}\,.


Wenn für \displaystyle z=a+ib, \displaystyle |\,z\,|=r und \displaystyle \arg z = \alpha ist, ist für \displaystyle \overline{z}= a-ib \displaystyle |\,\overline{z}\,|=r und \displaystyle \arg \overline{z} = - \alpha. Also ist \displaystyle z=r\,e^{i\alpha} und \displaystyle \overline{z} = r\,e^{-i\alpha}. Die Gleichung lautet also

\displaystyle (r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{oder}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{.}

Wir sehen direkt, dass \displaystyle r=0 eine der Lösungen ist und daher die Lösung \displaystyle z=0 ergibt. Nehmen wir an, dass \displaystyle r\not=0 erhalten wir die Gleichung \displaystyle \ r\,e^{3i\alpha} = 1\,. Vergleichen wir hier Betrag und Argument, erhalten wir

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Die Wurzeln sind also

  • \displaystyle \quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_4 = 0\,\mbox{.}


D - Quadratische Ergänzung

Die wohlbekannten Regeln

\displaystyle \left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.

können auch verwendet werden, um quadratische Ausdrücke zu vereinfachen, zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}

Dies kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen zu lösen, zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Indem wir die Wurzeln berechnen, erhalten wir, dass \displaystyle x+2=\pm\sqrt{9} und, dass \displaystyle x=-2\pm 3 und daher \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=-5.


Manchmal muss man eine Konstante addieren oder subtrahieren, um eine der binomischen Formeln umgekehrt verwenden zu können. Zum Beispiel betrachten wir die Gleichung

\displaystyle x^2+4x-5=0\,\mbox{.}

Addieren wir 9 zu beiden Seiten, erhalten wir eine passende quadratische Form

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Diese Methode, quadratische Gleichungen zu lösen, nennt man quadratische Ergänzung.


Beispiel 10

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+7=2\,.

    Der Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -6 und daher müssen wir die Zahl \displaystyle (-3)^2=9 als Konstante haben, um die quadratische Ergänzung verwenden zu können. Indem wir 2 auf beiden Seiten addieren, erhalten wir
    \displaystyle \begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}

    Wir erhalten also \displaystyle x-3=\pm 2. Daher ist \displaystyle x=1 oder \displaystyle x=5.

  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2+21=4-8z\,.

    Die Gleichung kann wie \displaystyle z^2+8z+17=0 geschrieben werden. Indem wir 1 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir
    \displaystyle \begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\end{align*}

    und daher ist \displaystyle z+4=\pm\sqrt{-1}. Also sind die Wurzeln \displaystyle z=-4-i und \displaystyle z=-4+i.

Im Allgemeinen addiert oder subtrahiert man eine Konstante, sodass die Konstante auf der linken Seite der Gleichung das Quadrat des halben Koeffizienten des x-Terms ist. Diese Methode funktioniert auch für komplexe Gleichungen.


Beispiel 11


Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,.


Der halbe Koeffizient von \displaystyle x ist \displaystyle -\tfrac{4}{3}. Also müssen wir \displaystyle \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9} auf beiden Seiten addieren

\displaystyle \begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}

Wir sehen, dass \displaystyle x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3} und erhalten dadurch, dass \displaystyle x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}, also \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} oder \displaystyle x=3.

Beispiel 12


Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2+px+q=0\,.


Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}

Dadurch erhalten wir eine allgemeine Lösungsformel für quadratische Gleichungen

\displaystyle x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}

Beispiel 13


Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,.



Der halbe Koeffizient von \displaystyle z ist \displaystyle -(6+2i). Daher addieren wir das Quadrat des Koeffizienten auf beiden Seiten der Gleichung

\displaystyle z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}

Erweitern wir die rechte Seite \displaystyle \ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ und ergänzen die linke Seite quadratisch, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}

Wir erhalten \displaystyle \ z-(6+2i)=\pm 6\ und daher die Wurzeln \displaystyle z=12+2i und \displaystyle z=2i.

Man kann auch einen Ausdruck quadratisch ergänzen, indem man dieselbe Konstante vom Ausdruck subtrahiert und addiert. Das Ziel dabei ist, dass die Variable nur noch in der quadrierten Klammer steht, und nicht mehr außerhalb. Zum Beispiel

\displaystyle \begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}


Beispiel 14


Ergänze \displaystyle \ z^2+(2-4i)z+1-3i\, quadratisch.


Wir subtrahieren und addieren \displaystyle \bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\, vom Ausdruck,

\displaystyle \begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}


E - Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel

Manchmal ist es am einfachsten, quadratische Gleichungen mit der allgemeinen Lösungsformel zu lösen. Bei komplexen Gleichungen können dann aber Terme wie \displaystyle \sqrt{a+ib} entstehen. Man kann dann annehmen, dass

\displaystyle z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}

Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}

Indem wir den Real- und Imaginärteil vergleichen, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.

Diese Gleichungen löst man zum Beispiel, indem man \displaystyle y= b/(2x) in der ersten Gleichung ersetzt.


Beispiel 15


Berechne \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.


Wir nehmen an, dass \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ , wobei \displaystyle x und \displaystyle y reelle Zahlen sind. Quadrieren wir beide Seiten, erhalten wir

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\end{align*}

und wir erhalten die beiden Gleichungen

\displaystyle \Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}

Von der zweiten Gleichung erhalten wir \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ . Das in der ersten Gleichung substituiert, ergibt

\displaystyle x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle x^2, die wir am einfachsten lösen, indem wir \displaystyle t=x^2 substituieren

\displaystyle t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}

Die Lösungen sind \displaystyle t = 1 und \displaystyle t = -4. Die letzte Lösung ist nicht gültig, da \displaystyle x und \displaystyle y reell sein müssen (nach unserer Annahme). Wir erhalten also die Lösungen \displaystyle x=\pm\sqrt{1} und dadurch

  • \displaystyle \ x=-1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
  • \displaystyle \ x=1\ ergibt, dass \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.

Also ist

\displaystyle \sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 16


  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,.

    Wir erhalten durch die allgemeine Lösungsformel (siehe Beispiel 12)
    \displaystyle z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}

    Wir verwenden wieder die Lösungsformel und erhalten
    \displaystyle \begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}
  3. Löse die Gleichung \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}

    Division auf beiden Seiten durch \displaystyle i ergibt
    \displaystyle \begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}

    Durch die Lösungsformel erhalten wir

    \displaystyle \begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\,\mbox{.}\end{align*}

    indem wir das Beispiel 15 verwenden, um \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\ zu erhalten. Die Lösungen sind daher

    \displaystyle z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}



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