Lösung 3.3:1c - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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+			Lösung 3.3:1c
			
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  +  
  + Dies ergibt
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>4\sqrt{3}-4i = 8\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)</math>}}
  +  
  + und durch den Moivreschen Satz erhalten wir
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
  + \bigl(4\sqrt{3}-4i\bigr)^{22}
  + &= 8^{22}\Bigl(\cos\Bigl(22\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr) + i\sin\Bigl(22\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
  + &= \bigl(2^3\bigr)^{22}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{11\pi}{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{11\pi}{3}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
  + &= 2^{3\cdot 22}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{12\pi -\pi }{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{12\pi -\pi}{3}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
  + &= 2^{66}\Bigl(\cos\Bigl(-4\pi+\frac{\pi}{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-4\pi+\frac{\pi}{3} \Bigr)\Bigr)\\[5pt]
  + &= 2^{66}\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt] 
  + &= 2^{66}\Bigl(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\\[5pt]
  + &= 2^{65}(1+i\sqrt{3}\,)\,\textrm{.}
  + \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir bringen zuerst \displaystyle 4\sqrt{3}-4i in Polarform und verwenden dann den Moivreschen Satz.

 
Dies ergibt





\displaystyle 4\sqrt{3}-4i = 8\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)


und durch den Moivreschen Satz erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
\bigl(4\sqrt{3}-4i\bigr)^{22}
&= 8^{22}\Bigl(\cos\Bigl(22\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr) + i\sin\Bigl(22\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= \bigl(2^3\bigr)^{22}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{11\pi}{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{11\pi}{3}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= 2^{3\cdot 22}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{12\pi -\pi }{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{12\pi -\pi}{3}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= 2^{66}\Bigl(\cos\Bigl(-4\pi+\frac{\pi}{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-4\pi+\frac{\pi}{3} \Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= 2^{66}\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt] 
&= 2^{66}\Bigl(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\\[5pt]
&= 2^{65}(1+i\sqrt{3}\,)\,\textrm{.}
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.3:1c“
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+Wir bringen zuerst <math>4\sqrt{3}-4i</math> in Polarform und verwenden dann den Moivreschen Satz.
-<center> [[Bild:3_3_1c.gif]] </center>
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+<center>[[Image:3_3_1_c.gif]] [[Image:3_3_1_c_text.gif]]</center>
+Dies ergibt
+{{Abgesetzte Formel||<math>4\sqrt{3}-4i = 8\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)</math>}}
+und durch den Moivreschen Satz erhalten wir
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\bigl(4\sqrt{3}-4i\bigr)^{22}
+&= 8^{22}\Bigl(\cos\Bigl(22\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr) + i\sin\Bigl(22\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
+&= \bigl(2^3\bigr)^{22}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{11\pi}{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{11\pi}{3}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
+&= 2^{3\cdot 22}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{12\pi -\pi }{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{12\pi -\pi}{3}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
+&= 2^{66}\Bigl(\cos\Bigl(-4\pi+\frac{\pi}{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-4\pi+\frac{\pi}{3} \Bigr)\Bigr)\\[5pt]
+&= 2^{66}\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
+&= 2^{66}\Bigl(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\\[5pt]
+&= 2^{65}(1+i\sqrt{3}\,)\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
 \displaystyle 4\sqrt{3}-4i = 8\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)
 \displaystyle \begin{align}
\bigl(4\sqrt{3}-4i\bigr)^{22}
&= 8^{22}\Bigl(\cos\Bigl(22\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr) + i\sin\Bigl(22\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{6}\Bigr)\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= \bigl(2^3\bigr)^{22}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{11\pi}{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{11\pi}{3}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= 2^{3\cdot 22}\Bigl(\cos\Bigl(-\frac{12\pi -\pi }{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-\frac{12\pi -\pi}{3}\Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= 2^{66}\Bigl(\cos\Bigl(-4\pi+\frac{\pi}{3}\Bigr) + i\sin\Bigl(-4\pi+\frac{\pi}{3} \Bigr)\Bigr)\\[5pt]
&= 2^{66}\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt] 
&= 2^{66}\Bigl(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\\[5pt]
&= 2^{65}(1+i\sqrt{3}\,)\,\textrm{.}
\end{align}