ZusatzStoffTUB

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Zusätzlicher Stoff im Präsenzbrückenkurs der TU Berlin

3.1. Geometrie im Raum

A - Vektoren des \displaystyle R^3

BESCHREIBUNG

Vektoren, Vektoraddition, skalare Multiplikation (später wird das auf allgemeinen Vektorräumen ausgedehnt / verallgemeinert)

B - Karthesisches Koordinatensystem

Rechtssystem definieren (wird unten benutzt).

C - (Standart-)Skalarprodukt im \displaystyle R^3 ("Punktprodukt")

(analog im \displaystyle R^2 \displaystyle <\vec{v},\vec{w}>= <\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}>= v_1w_1+ v_2w_2)

Zwei Besipiele einfügen \displaystyle R^2 , R^3 .

Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobei man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhält, während man bei der skalaren Multiplikation einen Vektor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhählt.

Wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts

Mit dem Skalarprodukt lassen sich Winkel und Länge zweier Vektoren miteinander verknüpfen. Hierbei gilt

Diesen Zusammenhang kann man folgendermasen begründen:

Betrachte die Vektoren \displaystyle \vec{v},\vec{w}

BILD (Vektoren v und w, w ist parallel zur x-Achse)

\displaystyle \vec{w}= \begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix} , \displaystyle \vec{v}= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
\displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{a^2+b^2} \displaystyle ||\vec{w}||=||\vec{w} ||

\displaystyle \cos{\gamma}= \dfrac{Ankathete}{Hypothenuse}=\dfrac{a}{||\vec{v}||}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \Leftrightarrow a=||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}
Dann ist

\displaystyle <\vec{v},\vec{w}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma} \\ b \end{pmatrix}>= ||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}+ 0 \cdot b

\displaystyle \phantom{<\vec{v},\vec{w}>}=||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}

Die Begründung ist für alle Vektoren gültig, da man alle Vektoren \displaystyle \vec{v}, \vec{w} \in R^3 so drehen kann, dass \displaystyle \vec{w} parallel zur x-Achse ist und \displaystyle \vec{v} in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unverändert.

Folgerungen

Aus diesem Zusammenhang zwischen Winkel und Länge lassen sich folgende Schlüsse aus dem Skalarprodukt ziehen.

1. Für \displaystyle \vec{v}, \vec{w} \ne 0 ist
   \displaystyle <\vec{v}, \vec{w}>=0
   \displaystyle \Leftrightarrow \cos{\angle \vec{v}, \vec{w}}=0
   \displaystyle \Leftrightarrow \vec{v} \perp \vec{w}
   "\displaystyle \vec{v} orthogonal zu \displaystyle \vec{w}"

2. Für \displaystyle \vec{v}= \vec{w} ist \displaystyle <\vec{v},\vec{v}>=||\vec{v}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{0}=||\vec{v}||^2
   also

   \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}

   
   (vgl. den Satz des Pythagoras \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2} in \displaystyle R^2. Die obige Formel lässt sich also als Analogon zum Satz des Pytagoras im 3 dimensonalen Raum interpretieren.)

D - Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")

Eine weitere Möglichkeit Vektoren aus dem \displaystyle R^3 zu verknüpfen bietet das das Kreuzprodukt.

Beispiele einfügen. Einfach zum Ausrechnen. Dann Bsp. fuer: Parallele Vektoren haben Kreuzprodukt Null

Eigenschaften von \displaystyle \vec{u}=\vec{v} \times \vec{w}

1. \displaystyle \vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}
   Begründung: \displaystyle <\vec{u}, \vec{v}>= <\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}>= v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3 \displaystyle =v_1w_3v_2-v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_2w_1v_3=0
   Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren \displaystyle \vec{u} und \displaystyle \vec{v} 0 ergibt wissen wir, dass die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind. Dieses macht die Suche nach einem orthogonalen Vektor einfach.
   Das gleiche gilt analog für \displaystyle <\vec{u}, \vec{w}>.
   
2. \displaystyle ||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}
   Bemerkung: \displaystyle ||\vec{u}|| ist der Flächeninhalt des von \displaystyle \vec{v}, \vec{w} aufgespannten Parallelogramms. BILD (mit \displaystyle h = ||\vec{w} || \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}})
3. \displaystyle \vec{v} \text{(Daumen)}, \vec{w} \text{(Zeigefinger) und } \vec{u} \text{(Mittelfinger)} sind Rechtssystem (s.o.)
4. \displaystyle \vec{v} \times \vec{v}=\vec{0}
5. \displaystyle \vec{w} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{w} Bild

BILD

E - Spatprodukt

\displaystyle ||\vec{a} \times \vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})}
\displaystyle =||\vec{a} ||\cdot ||\vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})} \sin{(\vec{a} , \vec{b})}

\displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} ist das Volumen von dem von \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} aufgespannten Spats.

Bild(Vektoren a, b und c und deren Spat)

F - Funktionen

Bisher wurden Funktionen normalerweise nur als \displaystyle f : R \rightarrow R \displaystyle x \mapsto f(x) definiert. Wertebereich \displaystyle \rightarrow Bildbereich
("\displaystyle \rightarrow " "ist Funktion von ... nach ...")
("\displaystyle \mapsto " bildet Element x ab auf f(x))

Allerdings sind größere Werte-/Bildbereiche für einge Themen sehr nützlich.

3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1. Mögliche Lösungsmengen Beispiel: Schnittpunkte von zwei Geraden
\displaystyle g: y= \frac{1}{2}x=2
\displaystyle h: y= -3x+7
Standartform für Lineare Gleichungssysteme (LGS): Variablen links, Zahlen rechts
\displaystyle g: \frac{1}{2}x-y=-2(*)
\displaystyle h: 3x+y=7(*)

Das Lösungspaar muss hier beide Gleichungen erfüllen. Betrachte hierfür die Lösungsmenge von (*) L={(x,y) |(x,y) erfüllt beide Gleichungen aus (*)}

Fuer die Lösungsmenge gibt es drei Möglichkeiten (bei ALLEN linearen Gleichungssystemen)

Bild (2 Geraden g und h mit einem Schnittpunkt)

eine Lösung

Bild (2 Geraden g und h, die parallel zueinander sind)

keine Lösung \displaystyle L=\not \circ

Bild (Gerade g=h)

unendlich viele Lösungen

Größere Gleichungssysteme: Systematisches Lösen (1. Fall)

Ergänze: Erklären der Systematik.

Das Gleiche kann auch ohne Variablen aufgeschrieben werden, so spart man sich Schreibarbeit und die Gleichungen werden übersichtlicher. Hierbei werden einfach nur die Koeffizienten von den Variablen aufgeschrieben. Es muss dabei auf die Reihenfolge und Vorzeichen der Koeffizienten weiterhin geachtet werden. Alle Rechenregeln bleiben dabei erhalten.

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0 \\ -1 & 2 & 2 & | & 1 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 4 & 1 & | & 4 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 0 & 23 & | & -8 \\ \end{bmatrix}

B - Marix-Vektor-Multiplikation

Eine Matrix A mit n Spalten kann nach folgendem Schema mit einem Vektor mit n Zeilen multipliziert werden.

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\cdot 1 + 5\cdot 2 + 6\cdot 3 \\ 4\cdot 4 + 5\cdot 5 + 6\cdot 6 \\ 4\cdot 7 + 5\cdot 8 + 6\cdot 9 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 32 \\ 77 \\ 122 \\ \end{bmatrix}

Hier wird immer Zeile mal Spalte gerechnet.

C - Zusammenhang zu LGSen

1. Beispiel von oben: Koeffizientenmatrix \displaystyle A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \displaystyle b=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} "rechte Seite" A multipliziert mit einem unbekannten Vektor \displaystyle \vec{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} ergibt \displaystyle A \cdot \vec{x}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1\cdot 1 & x_2\cdot 2 & x_3\cdot 3 \\ x_1\cdot 4 & x_2\cdot 5 & x_3\cdot 6 \\ x_1\cdot 7 & x_2\cdot 8 & x_3\cdot 9 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}=\vec{b}

Lösungen eines linearen Gleichungsszstem sind also genau die Vektoren \displaystyle \vec{x} bei denen die Multiplikation mit A als Ergebnis die rechte Seite \displaystyle \vec{b} ergibt. \displaystyle (x_1,x_2,x_3) \text{löst} \begin{array} & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ & 3x & - & y & + & z & = & 0 & \\ & -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 & \\ \end{array} \Leftrightarrow A\vec{x} =\vec{b} \text{mit} A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix}, \vec{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} , \vec{b}=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

Methoden und Interpretationen hierfür sind zentrales Thema der Linearen Algebra.