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Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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== A - Vektoren des <math>R^3</math> ==
== A - Vektoren des <math>R^3</math> ==
-
BESCHREIBUNG
+
BESCHREIBUNG
 +
 
 +
Vektoren, Vektoraddition, skalare Multiplikation (sp&auml;ter wird das auf allgemeinen Vektorr&auml;umen ausgedehnt / verallgemeinert)
 +
 
 +
== B - Karthesisches Koordinatensystem ==
 +
 
 +
Rechtssystem definieren (wird unten benutzt).
== C - (Standart-)Skalarprodukt im <math>R^3</math> ("Punktprodukt")==
== C - (Standart-)Skalarprodukt im <math>R^3</math> ("Punktprodukt")==
Zeile 27: Zeile 33:
<div class="regel">
<div class="regel">
-
Fuer <math>\vec{v}= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w}= \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}</math>:
+
Für <math>\vec{v}= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w}= \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}</math>:
<br><math><\vec{v},\vec{w}>:= v_1w_1+ v_2w_2+v_3w_3=\vec{v} \cdot \vec{w}</math>
<br><math><\vec{v},\vec{w}>:= v_1w_1+ v_2w_2+v_3w_3=\vec{v} \cdot \vec{w}</math>
Zeile 34: Zeile 40:
<br>(analog im <math>R^2</math>
<br>(analog im <math>R^2</math>
-
<br><math><\vec{v},\vec{w}>= <\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}>= v_1w_1+ v_2w_2</math>)
+
<math><\vec{v},\vec{w}>= <\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}>= v_1w_1+ v_2w_2</math>)
-
Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobie man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhaelt, waehrend man bei der skalaren Multiplikation einen Vekotor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhaehlt.
+
Zwei Besipiele einf&uuml;gen <math> R^2 , R^3 </math>.
-
==Wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts==
+
Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobei man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhält, während man bei der skalaren Multiplikation einen Vektor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhählt.
-
Mit dem Skalarprodukt lassen sich Winkel und Laenge zweier Vektoren miteinander verknuepfen. Hierbei gilt
+
'''Wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts'''
 +
 
 +
Mit dem Skalarprodukt lassen sich Winkel und Länge zweier Vektoren miteinander verknüpfen. Hierbei gilt
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 46: Zeile 54:
</div>
</div>
-
Eine Begruendung hierfuer ist:
+
<div class="exempel">
 +
''' Beispiel 1'''
 +
<br>
 +
<math>\cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}=\dfrac{<\vec{v},\vec{w}>}{||\vec{v}|| ||\vec{w}||}</math>
 +
<math>\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} ,\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math>
 +
<math>\cos{\angle(\vec{a},\vec{b})}= \dfrac{2\cdot 3 + (-3)\cdot 1+ 1\cdot 4}{\sqrt{4+9+1} \sqrt{9+1+16}}= \dfrac{7}{\sqrt{14} \sqrt{26}} \approx 0,3669</math>
 +
 
 +
<br><math>\Rightarrow</math> Winkel zwischen a,b : <math>\angle(a,b) \approx 68,48^{\circ}</math>
 +
</div>
 +
 
 +
Diesen Zusammenhang kann man folgendermasen begründen:
 +
 
Betrachte die Vektoren <math>\vec{v},\vec{w}</math>
Betrachte die Vektoren <math>\vec{v},\vec{w}</math>
-
BILD
+
BILD (Vektoren v und w, w ist parallel zur x-Achse)
-
<math>\vec{w}= \begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix}</math>
+
<br><math>\vec{w}= \begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix}</math> , <math>\vec{v}= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>
-
<math>\vec{v}= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>
+
<br><math>||\vec{v}||= \sqrt{a^2+b^2}</math> <math>||\vec{w}||=||\vec{w} ||</math>
-
<math>||\vec{v}||= \sqrt{a^2+b^2}</math>
+
-
<math>\cos{\gamma}= \dfrac{Ankathete}{Hypothenuse}=\dfrac{a}{||\vec{v}||}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \Leftrightarrow a=||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma} </math>
+
-
<bar>Dann ist
+
-
<math><\vec{v},\vec{w}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma} \\ b \end{pmatrix}>= ||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}+ 0 \cdot b=||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}</math>
+
-
Die Begruendung ist fuer alle Vektoren gueltig, da man die Vektoren so drehen kann, dass <math> \vec{w}</math> parallel zur x-Achse ist und <math> \vec{v}</math> in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unveraendert. In der Linearen Algebra fuer Ingenieure wird dieses auch nochmal genauer erklaert.
+
<br><math>\cos{\gamma}= \dfrac{Ankathete}{Hypothenuse}=\dfrac{a}{||\vec{v}||}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \Leftrightarrow a=||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma} </math>
 +
<br>Dann ist
-
==Folgerungen==
+
<br><math><\vec{v},\vec{w}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma} \\ b \end{pmatrix}>= ||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}+ 0 \cdot b</math>
-
Aus diesem Zusammenhang zwischen Winkel und Laenge lassen sich folgende Schluesse aus dem Skalarprodukt ziehen.
+
<br><math>\phantom{<\vec{v},\vec{w}>}=||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}</math>
 +
 
 +
Die Begründung ist für alle Vektoren gültig, da man alle Vektoren <math>\vec{v}, \vec{w} \in R^3</math> so drehen kann, dass <math> \vec{w}</math> parallel zur x-Achse ist und <math> \vec{v}</math> in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unverändert.
 +
 
 +
'''Folgerungen'''
 +
 
 +
Aus diesem Zusammenhang zwischen Winkel und Länge lassen sich folgende Schlüsse aus dem Skalarprodukt ziehen.
<ol>
<ol>
<li>
<li>
-
Fuer <math>\vec{v}, \vec{w} \ne 0</math> ist
+
<div class="regel">
-
<math> <\vec{v}, \vec{w}>=0 \Leftrightarrow \cos{\angle \vec{v}, \vec{w}}=0</math><math>\Leftrightarrow \vec{v} \perp \vec{w}</math>
+
Für <math>\vec{v}, \vec{w} \ne 0</math> ist
-
"<math> \vec{v}</math> orthogonal zu <math> \vec{w}</math>"
+
<br><math> <\vec{v}, \vec{w}>=0 </math>
 +
<br><math>\Leftrightarrow \cos{\angle \vec{v}, \vec{w}}=0</math>
 +
<br><math>\Leftrightarrow \vec{v} \perp \vec{w}</math>
 +
<br>"<math> \vec{v}</math> orthogonal zu <math> \vec{w}</math>"
 +
</div>
</li>
</li>
<li>
<li>
-
Fuer <math>\vec{v}= \vec{w}</math> ist
+
<div class="regel">
 +
Für <math>\vec{v}= \vec{w}</math> ist
<math><\vec{v},\vec{v}>=||\vec{v}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{0}=||\vec{v}||^2</math>
<math><\vec{v},\vec{v}>=||\vec{v}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{0}=||\vec{v}||^2</math>
-
also
+
<br>also
-
<math>||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}</math>
+
<math>||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}</math> </div>
-
(vgl. <math>||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2}</math> in <math> R^2</math>, Pytagoras 3D)
+
<br>(vgl. den Satz des Pythagoras <math>||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2}</math> in <math> R^2</math>. Die obige Formel l&auml;sst sich also als Analogon zum Satz des Pytagoras im 3 dimensonalen Raum interpretieren.)
</li>
</li>
</ol>
</ol>
<div class="regel">
<div class="regel">
-
Das Skalarprodukt macht Aussagen ueber
+
Das Skalarprodukt macht Aussagen über
<ul>
<ul>
-
<li>die Laenge(Norm) des Vektors wenn <math>\vec{v}=\vec{}w</math>
+
<li>die Länge(Norm) des Vektors wenn <math>\vec{v}=\vec{w}</math>
-
<li>Winkelgroesse, die von den Vektoren eingeschlossen wird
+
<li>Winkelgröße, die von den Vektoren eingeschlossen wird
-
<li>eine schnelle Moeglichkeit um heraus zu finden ob Winkel senkrecht zueinander sind
+
<li>eine schnelle Möglichkeit um heraus zu finden ob Winkel senkrecht zueinander sind
</ul>
</ul>
</div>
</div>
-
 
+
== D - Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")==
-
<div class="exempel">
+
Eine weitere Möglichkeit Vektoren aus dem <math> R^3 </math> zu verknüpfen bietet das das Kreuzprodukt.
-
''' Beispiel '''
+
-
<math>\cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}=\dfrac{<\vec{v},\vec{w}>}{||\vec{v}|| ||\vec{w}||}</math>
+
-
<math>\vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} ,\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math>
+
-
<math>\cos{\angle(\vec{a},\vec{b})}= \dfrac{2\cdot 3 + (-3)\cdot 1+ 1\cdot 4}{\sqrt{4+9+1} \sqrt{9+1+16}}= \dfrac{7}{\sqrt{14} \sqrt{26}} \approx 0,3669</math>
+
-
<math>\Rightarrow</math> Winkel zwischen a,b : <math>\angle(a,b) \approx 68,48^{\circ}</math>
+
-
</div>
+
-
 
+
-
== Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")==
+
-
Eine weitere Moeglichkeit Vektoren zu verknuepfen bietet das das Kreuzprodukt.
+
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 101: Zeile 119:
<math>\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}</math>.
<math>\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}</math>.
</div>
</div>
 +
 +
Beispiele einf&uuml;gen. Einfach zum Ausrechnen. Dann Bsp. fuer: Parallele Vektoren haben Kreuzprodukt Null
'''Eigenschaften von <math>\vec{u}=\vec{v} \times \vec{w}</math>'''
'''Eigenschaften von <math>\vec{u}=\vec{v} \times \vec{w}</math>'''
Zeile 106: Zeile 126:
<li>
<li>
<math>\vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}</math>
<math>\vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}</math>
 +
 +
<br>Begründung:
 +
 +
<math> <\vec{u}, \vec{v}>= <\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}>= v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3</math>
 +
<math>=v_1w_3v_2-v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_2w_1v_3=0</math>
 +
<br>Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> 0 ergibt wissen wir, dass die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind. Dieses macht die Suche nach einem orthogonalen Vektor einfach.
 +
<br>Das gleiche gilt analog für <math> <\vec{u}, \vec{w}></math>.
 +
<br>
</li>
</li>
<li>
<li>
<math>||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}</math>
<math>||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}</math>
 +
<br>
 +
Bemerkung:
 +
 +
<math>||\vec{u}||</math> ist der Flächeninhalt des von <math>\vec{v}, \vec{w}</math> aufgespannten Parallelogramms.
 +
BILD (mit <math>h = ||\vec{w} || \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}</math>)
</li>
</li>
<li>
<li>
Zeile 118: Zeile 151:
<li>
<li>
<math>\vec{w} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{w} </math>
<math>\vec{w} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{w} </math>
 +
Bild
</li>
</li>
</ol>
</ol>
-
'''Bemerkungen und Beweise'''
+
<div class="exempel">
 +
'''Beispiel 2 a) '''
 +
BILD
 +
Winkelbeschleunigung.
 +
</div>
-
zu 1.
+
<div class="exempel">
-
 
+
'''Beispiel 2 b)'''
-
<math> <\vec{u}, \vec{v}>= <\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}>= v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3</math>
+
-
<math>=v_1w_3v_2-v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_2w_1v_3=0</math>
+
-
Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}</math> 0 ergibt wissen wir, dass die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind. Dieses macht die Suche nach einem orthogonalen Vektor einfach.
+
-
 
+
-
 
+
-
Dieses gilt analog fuer <math> <\vec{u}, \vec{w}></math>.
+
-
 
+
-
zu 2.
+
-
 
+
-
<math>||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w})}</math>
+
-
<br>ist der Flaecheninhalt des von <math>\vec{v}, \vec{w}</math> aufgespannten Parallelogramms.
+
-
<math>h = ||\vec{w} || \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}</math>
+
BILD
BILD
 +
Ladung q mit Geschw. <math> \vec{v}</math> in Feld <math> \vec{B}</math>
 +
<math> \vec{F}= q \vec{v} \times \vec{B}</math>.
 +
</div>
-
zu 3.
 
-
sparen
 
-
zu 4.
+
== E - Spatprodukt ==
-
aus (2) oder Def
+
<div class="regel">
 +
Für <math> \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \in R ^3 </math> setze
-
zu 5.
+
<math>\begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} = <(\vec{a} \times \vec{b}),\vec{c}></math>.
-
Def.
+
<br>Das Ergebnis ist ein Skalar.
-
Bild
+
</div>
-
 
+
-
 
+
-
Beispiel fuer Kreuzprodukt
+
-
 
+
-
BILD
+
-
Ladung q mit Geschw. <math> \vec{v}</math> in Feld <math> \vec{B}</math>
+
-
<math> \vec{F}= q \vec{v} \times \vec{B}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
== Spatprodukt ==
+
-
Fuer <math> \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \in R ^3 </math> setze
+
-
 
+
-
<math>\begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} = <(\vec{a} \times \vec{b}),\vec{c}></math>. Ergebnis: Skalar
+
<br><math>||\vec{a} \times \vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})}</math>
<br><math>||\vec{a} \times \vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})}</math>
<br><math>=||\vec{a} ||\cdot ||\vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})} \sin{(\vec{a} , \vec{b})}</math>
<br><math>=||\vec{a} ||\cdot ||\vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})} \sin{(\vec{a} , \vec{b})}</math>
Zeile 169: Zeile 184:
Bild(Vektoren a, b und c und deren Spat)
Bild(Vektoren a, b und c und deren Spat)
-
== Funktionen ==
+
== F - Funktionen ==
-
bisher: <math> f : R \rightarrow R</math>
+
Bisher wurden Funktionen normalerweise nur als <math> f : R \rightarrow R</math>
-
<math> x \mapsto f(x)</math>
+
<math> x \mapsto f(x)</math> definiert.
-
<math>Wertebereich \rightarrow Bildbereich</math>
+
Wertebereich <math>\rightarrow</math> Bildbereich
-
("<math>\rightarrow </math>" "ist Funktion von ... nach ...")
+
<br>("<math>\rightarrow </math>" "ist Funktion von ... nach ...")
-
("<math>\mapsto </math>" bildet Element x ab auf f(x))
+
<br>("<math>\mapsto </math>" bildet Element x ab auf f(x))
-
nuetzlich:
+
Allerdings sind größere Werte-/Bildbereiche für einge Themen sehr nützlich.
-
groessere Werte-/Bildbereiche.
+
 
 +
<div class="exempel">
 +
'''Beispiel 3'''
-
Beispiele
 
Raumkurven (als Funktion der Zeit)
Raumkurven (als Funktion der Zeit)
<ol type="a">
<ol type="a">
 +
<li> Flugkurve / Bewegung entlang einer Gerade im Raum.
 +
<br><math>f: R \rightarrow R^3</math>
 +
<br><math>t \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\1 \\2 \end{pmatrix} + t\, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}</math>
 +
</li>
<li>
<li>
Flugkurven eine UFOs im Laufe der Zeit
Flugkurven eine UFOs im Laufe der Zeit
-
<math>f: R \rightarrow R^3</math>
+
<br><math>f: R \rightarrow R^3</math>
-
<math>t \mapsto \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}</math> (Koordinaten des UFOs zur Zeit t.
+
<br><math>t \mapsto \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}</math> <br>(Koordinaten des UFOs zur Zeit t.
-
(z.B. gerade!)
+
</li>
</li>
<li>
<li>
Position des Randpunktes R als Funktion der Zeit:
Position des Randpunktes R als Funktion der Zeit:
-
<math>f: R \rightarrow R^2</math>
+
<br><math>f: R \rightarrow R^2</math>
-
<math>t \mapsto \begin{pmatrix} \sin{(wt)} \\ \cos{(wt)} \end{pmatrix}</math>
+
<br><math>t \mapsto \begin{pmatrix} \sin{(wt)} \\ \cos{(wt)} \end{pmatrix}</math>
-
w: Frequenz der Drehung
+
<br>w: Frequenz der Drehung
BILD
BILD
Drehscheibe MP:(0,0)
Drehscheibe MP:(0,0)
</li>
</li>
-
<li>
+
</ol>
-
Satelitenfilm: Messung Wolkendichte (0- 100%) in jedem Punkt
+
</div>
-
<math>f: R^2 \rightarrow R </math> (genauer <math>\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}</math>),
+
 
-
f(x,y)= Wolkendichte in %
+
 
-
"Skalarwertig"
+
<div class="exempel">
 +
'''Beispiel 4'''
 +
 
 +
Funktionen des Ortes
 +
<ol type="a">
 +
<li> Satelitenfilm: Messung Wolkendichte (0- 100%) in jedem Punkt
 +
<br><math>f: R^2 \rightarrow R
 +
<br>f(x,y)= Wolkendichte in %
 +
<br>"Skalarwertig"
</li>
</li>
-
<li>
+
<li> wie oben: Sattellitenfilm,
-
wie oben: Sattellitenfilm,
+
<br>In jedem Punkt: Wolkengeschw.
-
In jedem Punkt: Wolkengeschw.
+
<br>f: <math> R^2 \rightarrow R^2</math>
-
f: <math> R^2 \rightarrow R^2</math>
+
<br>f(x,y)= <math>\begin{pmatrix} v_x(x,y) \\ v_y(x,y) \end{pmatrix}</math>
-
f(x,y)= <math>\begin{pmatrix} v_x(x,y) \\ v_y(x,y) \end{pmatrix}</math>
+
"Vektorwertig"
"Vektorwertig"
</li>
</li>
</ol>
</ol>
-
 
+
</div>
== 3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen==
== 3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen==
-
1. Moegliche Loesungsmengen
+
1. Mögliche Lösungsmengen
Beispiel: Schnittpunkte von zwei Geraden
Beispiel: Schnittpunkte von zwei Geraden
- 
<br><math>g: y= \frac{1}{2}x=2</math>
<br><math>g: y= \frac{1}{2}x=2</math>
<br><math>h: y= -3x+7</math>
<br><math>h: y= -3x+7</math>
-
<br>Standartform fuer Lineare Gleichungssysteme (LGS): Variablen links, Zahlen rechts
+
<br>Standartform für Lineare Gleichungssysteme (LGS): Variablen links, Zahlen rechts
<br><math>g: \frac{1}{2}x-y=-2</math>(*)
<br><math>g: \frac{1}{2}x-y=-2</math>(*)
<br><math>h: 3x+y=7</math>(*)
<br><math>h: 3x+y=7</math>(*)
-
Das Loesungspaar muss hier beide Gleichunge erfuellen. Betrachte hierfuer die Loesungsmehe von (*)
+
Das Lösungspaar muss hier beide Gleichungen erfüllen. Betrachte hierfür die Lösungsmenge von (*)
-
L={(x,y) |(x,y) erfuellt beide Gleichungen aus (*)}
+
L={(x,y) |(x,y) erfüllt beide Gleichungen aus (*)}
-
Fuer die Loesungsmenge gibt es drei Moeglichkeiten (bei ALLEN linearen Gleichungssystemen)
+
Fuer die Lösungsmenge gibt es drei Möglichkeiten (bei ALLEN linearen Gleichungssystemen)
Bild (2 Geraden g und h mit einem Schnittpunkt)
Bild (2 Geraden g und h mit einem Schnittpunkt)
-
eine Loesung
+
eine Lösung
Bild (2 Geraden g und h, die parallel zueinander sind)
Bild (2 Geraden g und h, die parallel zueinander sind)
-
keine Loesung <math> L=\not \circ </math>
+
keine Lösung <math> L=\not \circ </math>
Bild (Gerade g=h)
Bild (Gerade g=h)
-
unendlich viele Loesungen
+
unendlich viele Lösungen
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Loesungsverfahren fuer LGS'''
+
'''Lösungsverfahren für LGS'''
-
<br>Wie gewoehnlich bei linearen Gleichungen, kann man
+
<br>Wie gewöhnlich bei linearen Gleichungen, kann man
<ul>
<ul>
<li>
<li>
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Umstellen einer Gleichung
Umstellen einer Gleichung
</ul>
</ul>
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zusaetzlich jedoch kann man
+
zusätzlich jedoch kann man
<ul>
<ul>
<li>
<li>
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<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Beispiel'''
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'''Beispiel 1'''
<br>
<br>
<math>
<math>
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</div>
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-
'''Groessere Gleichungssysteme: Systematisches Loesen (1. Fall)'''
+
'''Größere Gleichungssysteme: Systematisches Lösen (1. Fall)'''
 +
 
 +
Erg&auml;nze: Erkl&auml;ren der Systematik.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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</math>
</math>
<br><br>
<br><br>
-
Obere Dreiecksform, Loesen durch Rueckwaertseinsetzen.
+
Obere Dreiecksform, Lösen durch Rückwärtseinsetzen.
<br>(III) <math>z=-\frac{8}{23}</math>
<br>(III) <math>z=-\frac{8}{23}</math>
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<br><math> L={(\frac{11}{23}, \frac{25}{23}, -\frac{175}{23})}</math>
<br><math> L={(\frac{11}{23}, \frac{25}{23}, -\frac{175}{23})}</math>
</div>
</div>
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Das Gleiche kann auch ohne Variablen aufgeschrieben werden, so spart man sich Schreibarbeit und die Gleichungen werden uebersichtlicher. Hierbei werden einfach nur die Koeffizienten von den Variablen aufgeschrieben.
+
Das Gleiche kann auch ohne Variablen aufgeschrieben werden, so spart man sich Schreibarbeit und die Gleichungen werden übersichtlicher. Hierbei werden einfach nur die Koeffizienten von den Variablen aufgeschrieben. Es muss dabei auf die Reihenfolge und Vorzeichen der Koeffizienten weiterhin geachtet werden. Alle Rechenregeln bleiben dabei erhalten.
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0 \\ -1 & 2 & 2 & | & 1 \\ \end{bmatrix}</math>
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0 \\ -1 & 2 & 2 & | & 1 \\ \end{bmatrix}</math>
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<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 0 & 23 & | & -8 \\ \end{bmatrix}</math>
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 0 & 23 & | & -8 \\ \end{bmatrix}</math>
 +
<div class="regel">
 +
<math>
 +
\begin{array}
 +
& ax & + & by & + & cz & = & k \\
 +
& dx & + & ey & + & fz & = & l \\
 +
& gx & + & hy & + & iz & = & m \\
 +
\end{array}
 +
\Leftrightarrow
 +
<math>\begin{bmatrix} a & b & c & | & k \\ d & e & f & | & l \\ g & h & i & | & m \\ \end{bmatrix}</math>
 +
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Beispiel: Keine Loesung'''
+
'''Beispiel 2'''
-
 
+
<br>Keine Lösung
-
"Widerspruchszeile" entsteht bei Umformungen.
+
Bei den Umformungen entsteht eine "Widerspruchszeile".
<math>
<math>
Zeile 345: Zeile 382:
</math>
</math>
-
<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ \end{bmatrix}</math>
+
<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ \end{bmatrix}\rightarrow </math>
-
<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ \end{bmatrix}</math>
+
<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ \end{bmatrix}\rightarrow</math>
<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ \end{bmatrix}</math>
<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ \end{bmatrix}</math>
-
Beim "Rueckeinsetzen"
+
Beim "Rückeinsetzen"
<math>x+y=1</math>
<math>x+y=1</math>
<math>y+z=1</math>
<math>y+z=1</math>
Zeile 357: Zeile 394:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
Beispiel: unendlich viele Loesungen : "Nullzeile" entsteht bei Umformungen
+
'''Beispiel 3'''
-
 
+
Unendlich viele Lösungen : Bei den Umformungen entsteht eine "Nullzeile".
<math>
<math>
\begin{array}
\begin{array}
Zeile 366: Zeile 403:
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
-
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & -3 & -12 & | & -30 \\ \end{bmatrix}</math>
+
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & -3 & -12 & | & -30 \\ \end{bmatrix} \rightarrow</math>
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ \end{bmatrix}</math>
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ \end{bmatrix}</math>
Zeile 377: Zeile 414:
</math>
</math>
-
Die Gleichungen sind unterbestimmt. Die Loesung ist hier nur in Abhaenigkeit einer (oder mehrer) Variablen festgelegt.
+
Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Die Lösung ist hier nur in Abhänigkeit einer (oder mehrer) Variablen festgelegt.
z.B.
z.B.
-
<math>x_3 \text{vorgegeben} x_2, x_1</math> festgelegt, naemlich
+
<math>x_3 \text{vorgegeben} x_2, x_1</math> festgelegt, nämlich
<math>x_2= 10 -4x_3</math>
<math>x_2= 10 -4x_3</math>
<math>x_1= 6 -2x_2-3x_3</math>
<math>x_1= 6 -2x_2-3x_3</math>
Zeile 390: Zeile 427:
</div>
</div>
-
==Marix-Vektor-Multiplikation==
+
==B - Marix-Vektor-Multiplikation==
Eine Matrix A mit n Spalten kann nach folgendem Schema mit einem Vektor mit n Zeilen multipliziert werden.
Eine Matrix A mit n Spalten kann nach folgendem Schema mit einem Vektor mit n Zeilen multipliziert werden.
-
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\cdot 1 & 5\cdot 2 & 6\cdot 3 \\ 4\cdot 4 & 5\cdot 5 & 6\cdot 6 \\ 4\cdot 7 & 5\cdot 8 & 6\cdot 9 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 32 \\ 77 \\ 122 \\ \end{bmatrix}</math>
+
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\cdot 1 + 5\cdot 2 + 6\cdot 3 \\ 4\cdot 4 + 5\cdot 5 + 6\cdot 6 \\ 4\cdot 7 + 5\cdot 8 + 6\cdot 9 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 32 \\ 77 \\ 122 \\ \end{bmatrix}</math>
Hier wird immer Zeile mal Spalte gerechnet.
Hier wird immer Zeile mal Spalte gerechnet.
-
==Zusammenhang zu LGSen==
+
==C - Zusammenhang zu LGSen==
1. Beispiel von oben:
1. Beispiel von oben:
Koeffizientenmatrix
Koeffizientenmatrix
Zeile 405: Zeile 442:
<math>A \cdot \vec{x}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1\cdot 1 & x_2\cdot 2 & x_3\cdot 3 \\ x_1\cdot 4 & x_2\cdot 5 & x_3\cdot 6 \\ x_1\cdot 7 & x_2\cdot 8 & x_3\cdot 9 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}=\vec{b}</math>
<math>A \cdot \vec{x}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1\cdot 1 & x_2\cdot 2 & x_3\cdot 3 \\ x_1\cdot 4 & x_2\cdot 5 & x_3\cdot 6 \\ x_1\cdot 7 & x_2\cdot 8 & x_3\cdot 9 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}=\vec{b}</math>
-
Loesungen eines linearen Gleichungsszstem sind also genau die Vektoren <math>\vec{x}</math> bei denen die Multiplikation mit A als Ergebnis die rechte Seite <math>\vec{b}</math> ergibt.
+
Lösungen eines linearen Gleichungsszstem sind also genau die Vektoren <math>\vec{x}</math> bei denen die Multiplikation mit A als Ergebnis die rechte Seite <math>\vec{b}</math> ergibt.
-
<math> (x_1,x_2,x_3) \text{laesst}
+
<math> (x_1,x_2,x_3) \text{l&ouml;st}
\begin{array}
\begin{array}
& x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\
& x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\
Zeile 418: Zeile 455:
</math>
</math>
-
Methoden und Interpretationen hierfuer sind zentrales Thema der Linearen Algebra.
+
Methoden und Interpretationen hierfür sind zentrales Thema der Linearen Algebra.

Aktuelle Version

Zusätzlicher Stoff im Präsenzbrückenkurs der TU Berlin

Inhalt:

  • erster Punkt
  • zweiter Punkt
  • dritter Punkt

Lernziele

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • erstes Ziel
  • zweites Ziel

Inhaltsverzeichnis

3.1. Geometrie im Raum

A - Vektoren des \displaystyle R^3

BESCHREIBUNG

Vektoren, Vektoraddition, skalare Multiplikation (später wird das auf allgemeinen Vektorräumen ausgedehnt / verallgemeinert)

B - Karthesisches Koordinatensystem

Rechtssystem definieren (wird unten benutzt).

C - (Standart-)Skalarprodukt im \displaystyle R^3 ("Punktprodukt")

Für \displaystyle \vec{v}= \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} und \displaystyle \vec{w}= \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}:


\displaystyle <\vec{v},\vec{w}>:= v_1w_1+ v_2w_2+v_3w_3=\vec{v} \cdot \vec{w}
\displaystyle <\vec{v},\vec{w}> \in R


(analog im \displaystyle R^2 \displaystyle <\vec{v},\vec{w}>= <\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}>= v_1w_1+ v_2w_2)

Zwei Besipiele einfügen \displaystyle R^2 , R^3 .

Achtung: Das Skalarprodukt nicht mit der Skalaren Multiplikation verwechseln. Bei dem Skalarprodukt werden zwei Vektoren multipliziert, wobei man ein Skalar (eine reelle Zahl) erhält, während man bei der skalaren Multiplikation einen Vektor mit einem Skalar multipliziert und einen Vektor erhählt.

Wichtige Eigenschaften des Skalarprodukts

Mit dem Skalarprodukt lassen sich Winkel und Länge zweier Vektoren miteinander verknüpfen. Hierbei gilt

\displaystyle <\vec{v},\vec{w}>=||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}

Beispiel 1
\displaystyle \cos{\angle(\vec{v},\vec{w})}=\dfrac{<\vec{v},\vec{w}>}{||\vec{v}|| ||\vec{w}||} \displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} ,\vec{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \displaystyle \cos{\angle(\vec{a},\vec{b})}= \dfrac{2\cdot 3 + (-3)\cdot 1+ 1\cdot 4}{\sqrt{4+9+1} \sqrt{9+1+16}}= \dfrac{7}{\sqrt{14} \sqrt{26}} \approx 0,3669


\displaystyle \Rightarrow Winkel zwischen a,b : \displaystyle \angle(a,b) \approx 68,48^{\circ}

Diesen Zusammenhang kann man folgendermasen begründen:

Betrachte die Vektoren \displaystyle \vec{v},\vec{w} 

BILD (Vektoren v und w, w ist parallel zur x-Achse)


\displaystyle \vec{w}= \begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix} , \displaystyle \vec{v}= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
\displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{a^2+b^2} \displaystyle ||\vec{w}||=||\vec{w} ||


\displaystyle \cos{\gamma}= \dfrac{Ankathete}{Hypothenuse}=\dfrac{a}{||\vec{v}||}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \Leftrightarrow a=||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}
Dann ist


\displaystyle <\vec{v},\vec{w}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}>=<\begin{pmatrix} ||\vec{w} || \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma} \\ b \end{pmatrix}>= ||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}+ 0 \cdot b


\displaystyle \phantom{<\vec{v},\vec{w}>}=||\vec{w} || \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\gamma}

Die Begründung ist für alle Vektoren gültig, da man alle Vektoren \displaystyle \vec{v}, \vec{w} \in R^3 so drehen kann, dass \displaystyle \vec{w} parallel zur x-Achse ist und \displaystyle \vec{v} in der x-y-Ebene. Dabei bleibt das Skalarprodukt und die Winkel unverändert.

Folgerungen

Aus diesem Zusammenhang zwischen Winkel und Länge lassen sich folgende Schlüsse aus dem Skalarprodukt ziehen.

  1. Für \displaystyle \vec{v}, \vec{w} \ne 0 ist
    \displaystyle <\vec{v}, \vec{w}>=0
    \displaystyle \Leftrightarrow \cos{\angle \vec{v}, \vec{w}}=0
    \displaystyle \Leftrightarrow \vec{v} \perp \vec{w}
    "\displaystyle \vec{v} orthogonal zu \displaystyle \vec{w}"

  2. Für \displaystyle \vec{v}= \vec{w} ist \displaystyle <\vec{v},\vec{v}>=||\vec{v}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{0}=||\vec{v}||^2
    also

    \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}


    (vgl. den Satz des Pythagoras \displaystyle ||\vec{v}||= \sqrt{v_1^2+v_2^2} in \displaystyle R^2. Die obige Formel lässt sich also als Analogon zum Satz des Pytagoras im 3 dimensonalen Raum interpretieren.)

Das Skalarprodukt macht Aussagen über

  • die Länge(Norm) des Vektors wenn \displaystyle \vec{v}=\vec{w}
  • Winkelgröße, die von den Vektoren eingeschlossen wird
  • eine schnelle Möglichkeit um heraus zu finden ob Winkel senkrecht zueinander sind

D - Das Kreuzprodukt ("Vektorprodukt")

Eine weitere Möglichkeit Vektoren aus dem \displaystyle R^3 zu verknüpfen bietet das das Kreuzprodukt.

Im \displaystyle R^3 definiere \displaystyle \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}.

Beispiele einfügen. Einfach zum Ausrechnen. Dann Bsp. fuer: Parallele Vektoren haben Kreuzprodukt Null

Eigenschaften von \displaystyle \vec{u}=\vec{v} \times \vec{w}

  1. \displaystyle \vec{u} \perp \vec{v} , \vec{u} \perp \vec{w}
    Begründung: \displaystyle <\vec{u}, \vec{v}>= <\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}>= v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_1w_3v_2+v_1w_2v_3-v_2w_1v_3 \displaystyle =v_1w_3v_2-v_1w_3v_2-v_1w_2v_3+v_1w_2v_3+v_3w_1v_2-v_2w_1v_3=0
    Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren \displaystyle \vec{u} und \displaystyle \vec{v} 0 ergibt wissen wir, dass die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind. Dieses macht die Suche nach einem orthogonalen Vektor einfach.
    Das gleiche gilt analog für \displaystyle <\vec{u}, \vec{w}>.
  2. \displaystyle ||\vec{u}||= ||\vec{v}|| \cdot ||\vec{w}|| \cdot \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}}
    Bemerkung: \displaystyle ||\vec{u}|| ist der Flächeninhalt des von \displaystyle \vec{v}, \vec{w} aufgespannten Parallelogramms. BILD (mit \displaystyle h = ||\vec{w} || \sin{\angle (\vec{v} ,\vec{w}})
  3. \displaystyle \vec{v} \text{(Daumen)}, \vec{w} \text{(Zeigefinger) und } \vec{u} \text{(Mittelfinger)} sind Rechtssystem (s.o.)
  4. \displaystyle \vec{v} \times \vec{v}=\vec{0}
  5. \displaystyle \vec{w} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{w} Bild

Beispiel 2 a) BILD Winkelbeschleunigung.

Beispiel 2 b) 

BILD

Ladung q mit Geschw. \displaystyle \vec{v} in Feld \displaystyle \vec{B} \displaystyle \vec{F}= q \vec{v} \times \vec{B}.


E - Spatprodukt

Für \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} \in R ^3 setze

\displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} = <(\vec{a} \times \vec{b}),\vec{c}>.
Das Ergebnis ist ein Skalar.


\displaystyle ||\vec{a} \times \vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})}
\displaystyle =||\vec{a} ||\cdot ||\vec{b} ||\cdot ||\vec{c} || \cos{(\vec{a} \times \vec{b} , \vec{c})} \sin{(\vec{a} , \vec{b})}

\displaystyle \begin{bmatrix} \vec{a}, \vec{b} , \vec{c} \end{bmatrix} ist das Volumen von dem von \displaystyle \vec{a} , \vec{b} , \vec{c} aufgespannten Spats. 

Bild(Vektoren a, b und c und deren Spat)

F - Funktionen

Bisher wurden Funktionen normalerweise nur als \displaystyle f : R \rightarrow R \displaystyle x \mapsto f(x) definiert. Wertebereich \displaystyle \rightarrow Bildbereich
("\displaystyle \rightarrow " "ist Funktion von ... nach ...")
("\displaystyle \mapsto " bildet Element x ab auf f(x))

Allerdings sind größere Werte-/Bildbereiche für einge Themen sehr nützlich.

Beispiel 3

Raumkurven (als Funktion der Zeit)

  1. Flugkurve / Bewegung entlang einer Gerade im Raum.
    \displaystyle f: R \rightarrow R^3
    \displaystyle t \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\1 \\2 \end{pmatrix} + t\, \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}
  2. Flugkurven eine UFOs im Laufe der Zeit
    \displaystyle f: R \rightarrow R^3
    \displaystyle t \mapsto \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}
    (Koordinaten des UFOs zur Zeit t.
  3. Position des Randpunktes R als Funktion der Zeit:
    \displaystyle f: R \rightarrow R^2
    \displaystyle t \mapsto \begin{pmatrix} \sin{(wt)} \\ \cos{(wt)} \end{pmatrix}
    w: Frequenz der Drehung BILD Drehscheibe MP:(0,0)


Beispiel 4

Funktionen des Ortes

  1. Satelitenfilm: Messung Wolkendichte (0- 100%) in jedem Punkt
    \displaystyle f: R^2 \rightarrow R
    f(x,y)= Wolkendichte in %
    "Skalarwertig"
  2. wie oben: Sattellitenfilm,
    In jedem Punkt: Wolkengeschw.
    f: R^2 \rightarrow R^2
    f(x,y)= \displaystyle \begin{pmatrix} v_x(x,y) \\ v_y(x,y) \end{pmatrix} "Vektorwertig"

3.2. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1. Mögliche Lösungsmengen Beispiel: Schnittpunkte von zwei Geraden
\displaystyle g: y= \frac{1}{2}x=2
\displaystyle h: y= -3x+7
Standartform für Lineare Gleichungssysteme (LGS): Variablen links, Zahlen rechts
\displaystyle g: \frac{1}{2}x-y=-2(*)
\displaystyle h: 3x+y=7(*)

Das Lösungspaar muss hier beide Gleichungen erfüllen. Betrachte hierfür die Lösungsmenge von (*) L={(x,y) |(x,y) erfüllt beide Gleichungen aus (*)}

Fuer die Lösungsmenge gibt es drei Möglichkeiten (bei ALLEN linearen Gleichungssystemen) 

Bild (2 Geraden g und h mit einem Schnittpunkt)

eine Lösung 

Bild (2 Geraden g und h, die parallel zueinander sind)

keine Lösung \displaystyle L=\not \circ 

Bild (Gerade g=h)

unendlich viele Lösungen

Lösungsverfahren für LGS
Wie gewöhnlich bei linearen Gleichungen, kann man

  • Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl
  • Umstellen einer Gleichung

zusätzlich jedoch kann man

  • eine Gleichung durch die Summe von zwei Gleichungen aus dem LGS ersetzen.

Beispiel 1
\displaystyle \begin{array} (1) & -\frac{1}{2}x & + & y & = & 2 & | \cdot (-1) \\ (2) & 3x & + & y & = & 7 \\ & \\ \rightarrow & \frac{1}{2}x & - & y & = & -2 & \downarrow + \\ & 3x & + & y & = & 7 & \\ &\\ \rightarrow & \frac{1}{2}x & - & y & = & -2 \\ & \frac{7}{2}x & & & = & 5 &| : \left(\frac{7}{2}\right) \\ & \\ & & & x & = & \frac{10}{7}\\ \end{array}


Einsetzen in (1) \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{7} - y= -2 \displaystyle \Leftrightarrow \frac{5}{7} + 2= y \displaystyle \Leftrightarrow \frac{19}{7}= y

\displaystyle L={(\frac{10}{7}, \frac{19}{7})}

Größere Gleichungssysteme: Systematisches Lösen (1. Fall)

Ergänze: Erklären der Systematik.

\displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & 3x & - & y & + & z & = & 0 & | & (-3)\cdot (I) + (II) \\ (III) & -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 & | & (I) + (III) \\ \end{array}
Elimination der ersten Variable ab der 2. Spalte

\displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & & - & 7y & + & 4z & = & -9 & \\ (III) & & + & 4y & + & z & = & 4 & | & 4\cdot (II) + 7\cdot (III) \\ \end{array}

\displaystyle \begin{array} (I) & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ (II) & & - & 7y & + & 4z & = & -9 & \\ (III) & & & & & 23z & = & -8 & | & 4\cdot (II) + 7\cdot (III) \\ \end{array}

Obere Dreiecksform, Lösen durch Rückwärtseinsetzen.


(III) \displaystyle z=-\frac{8}{23}
(II) \displaystyle -7x-4\cdot \frac{8}{23}= -9
\displaystyle -7y = - \frac{175}{23} \displaystyle y= \frac{25}{23}
(I) \displaystyle x= -2y + z + 3
\displaystyle = \frac{50}{23} - \frac{8}{23} +3 = \frac{11}{23}


\displaystyle L={(\frac{11}{23}, \frac{25}{23}, -\frac{175}{23})}

Das Gleiche kann auch ohne Variablen aufgeschrieben werden, so spart man sich Schreibarbeit und die Gleichungen werden übersichtlicher. Hierbei werden einfach nur die Koeffizienten von den Variablen aufgeschrieben. Es muss dabei auf die Reihenfolge und Vorzeichen der Koeffizienten weiterhin geachtet werden. Alle Rechenregeln bleiben dabei erhalten.

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & -1 & 1 & | & 0 \\ -1 & 2 & 2 & | & 1 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 4 & 1 & | & 4 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 4 & | & -9 \\ 0 & 0 & 23 & | & -8 \\ \end{bmatrix}

\displaystyle \begin{array} & ax & + & by & + & cz & = & k \\ & dx & + & ey & + & fz & = & l \\ & gx & + & hy & + & iz & = & m \\ \end{array} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} a & b & c & | & k \\ d & e & f & | & l \\ g & h & i & | & m \\ \end{bmatrix}

Beispiel 2
Keine Lösung Bei den Umformungen entsteht eine "Widerspruchszeile".

\displaystyle \begin{array} & x & + & y & & & = & 1 & \\ & & & y & + & z & = & 1 & \\ & x & + & 2y & + & z & = & 3 & \\ \end{array}

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ \end{bmatrix}\rightarrow \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ \end{bmatrix}\rightarrow \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ \end{bmatrix}

Beim "Rückeinsetzen" \displaystyle x+y=1 \displaystyle y+z=1 \displaystyle 0=1 \rightarrow nie erfuellt \displaystyle L= \not \circ

Beispiel 3 Unendlich viele Lösungen : Bei den Umformungen entsteht eine "Nullzeile". \displaystyle \begin{array} & x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 6 & \\ & & & x_2 & + & 4x_3 & = & 10 & \\ & & & -3x_2 & - & 12x_3 & = & -30 & \\ \end{array} \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & -3 & -12 & | & -30 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 6 \\ 0 & 1 & 4 & | & 10 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ \end{bmatrix}

Gleichungen: \displaystyle \begin{array} & & & x_2 & + & 4x_3 & = & 10 & \\ & x_1 & + & 2x_2 & + & 3x_3 & = & 6 & \\ \end{array}

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Die Lösung ist hier nur in Abhänigkeit einer (oder mehrer) Variablen festgelegt.

z.B. \displaystyle x_3 \text{vorgegeben} x_2, x_1 festgelegt, nämlich \displaystyle x_2= 10 -4x_3 \displaystyle x_1= 6 -2x_2-3x_3 \displaystyle = 6 -2(10 -4x_3)-3x_3 \displaystyle x_1= -14+ 5x_3 \displaystyle L={(-14=5x_3, 10-4x_3, x_3)|x_3 \in R} oder \displaystyle L= {\begin{pmatrix} -14+ 5x_3 \\ 10 -4x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}| x_3 \in R}

B - Marix-Vektor-Multiplikation

Eine Matrix A mit n Spalten kann nach folgendem Schema mit einem Vektor mit n Zeilen multipliziert werden.

\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4\cdot 1 + 5\cdot 2 + 6\cdot 3 \\ 4\cdot 4 + 5\cdot 5 + 6\cdot 6 \\ 4\cdot 7 + 5\cdot 8 + 6\cdot 9 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 32 \\ 77 \\ 122 \\ \end{bmatrix}

Hier wird immer Zeile mal Spalte gerechnet.

C - Zusammenhang zu LGSen

1. Beispiel von oben: Koeffizientenmatrix \displaystyle A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix} \displaystyle b=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} "rechte Seite" A multipliziert mit einem unbekannten Vektor \displaystyle \vec{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} ergibt \displaystyle A \cdot \vec{x}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1\cdot 1 & x_2\cdot 2 & x_3\cdot 3 \\ x_1\cdot 4 & x_2\cdot 5 & x_3\cdot 6 \\ x_1\cdot 7 & x_2\cdot 8 & x_3\cdot 9 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}=\vec{b}

Lösungen eines linearen Gleichungsszstem sind also genau die Vektoren \displaystyle \vec{x} bei denen die Multiplikation mit A als Ergebnis die rechte Seite \displaystyle \vec{b} ergibt. \displaystyle (x_1,x_2,x_3) \text{löst} \begin{array} & x & + & 2y & - & z & = & 3 & \\ & 3x & - & y & + & z & = & 0 & \\ & -x & + & 2y & + & 2z & = & 1 & \\ \end{array} \Leftrightarrow A\vec{x} =\vec{b} \text{mit} A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ \end{bmatrix}, \vec{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} , \vec{b}=\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

Methoden und Interpretationen hierfür sind zentrales Thema der Linearen Algebra.

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