Lösung 1.3:2a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> | + | Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> eine lokale Minimalstelle. |
Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen. | Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen. | ||
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Aktuelle Version
Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
- stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
- singuläre Stellen (Theorie 1.3 E), in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
- Randstellen.
Wir untersuchen alle drei Fälle.
- Die Ableitung von \displaystyle f(x)
ist null, wenn \displaystyle 2x-2=0, also für \displaystyle x=1\,.\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x-2 - Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
- Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keinen Rand und es gibt keine Randstellen.
Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen und so ist \displaystyle x=1\, die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein kann. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.
| \displaystyle x | \displaystyle 1 | ||
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + |
| \displaystyle f(x) | \displaystyle \searrow | \displaystyle 0 | \displaystyle \nearrow |
Da die Ableitung links von \displaystyle x=1 negativ ist und rechts von \displaystyle x=1 positiv, ist \displaystyle x=1 eine lokale Minimalstelle.
Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.
