2.2 Integration durch Substitution

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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* Wann Integration durch Substitution möglich ist.
* Wann Integration durch Substitution möglich ist.
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
== A - Integration durch Substitution ==
== A - Integration durch Substitution ==
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wobei ''F'' eine Stammfunktion von ''f'' ist. Wir vergleichen diese Formel mit der normalen Intagrationsformel
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wobei ''F'' eine Stammfunktion von ''f'' ist, d.h. es gilt <math> F^{\, \prime} =f </math>.
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Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand <math> f </math> hat die Stammfunktion <math> F </math> und <math> u </math> ist die Integrationsvariable
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}</math>}}
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und sehen, dass wir die Variable <math>u(x)</math> mit der Variable <math>u</math> ersetzt haben und den Term <math>u'(x)\, dx</math> mit <math>du</math>. Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Variable) mit dem einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Variable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.
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Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable <math> u </math> durch die Funktion <math> u(x) </math>. Dadurch verändert sich <math> f(u) </math> zu <math> f(u(x)) </math> und <math> du </math> zu <math> d u(x) </math>. Wir wissen aber eigentlich nicht, was <math> du(x) </math> ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre <math> \frac{dx}{dx} =1 </math> wie bei "normalen" Brüchen.
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{{Abgesetzte Formel||<math>du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx </math>}}
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Also ist das unbekannte <math> du(x) </math> dasselbe wie das bekannte <math> u^{\, \prime}(x)\, dx </math>: Beim Integrieren mit der Integrationsvariable <math> x </math> wird der Integrand mit <math> u^{\, \prime}(x) </math> multipliziert. Also haben wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}</math>}}
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Daher kann man den komplizierteren Integranden <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ersetzen (mit <math>x</math> als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck <math>f(u)</math> (mit <math>u</math> als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form <math>f(u(x)) \, u'(x)</math> ist.
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Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass <math>u(x)</math> im Intervall differenzierbar ist, für alle <math>u</math> im Intervall.
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Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass <math>u(x)</math> im Intervall <math> (a,b) </math> differenzierbar ist.
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== B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution ==
== B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution ==
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Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder berechnet man das Integral und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.
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Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder substituiert man <math> u = u(x) </math>, berechnet eine Stammfunktion in u und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.
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'' Methode 1''
'' Methode 1''
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Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\,dx</math>
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Wir substituieren <math>u=e^x</math> , und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math> du= e^x\,dx = u \, dx </math> bzw <math> dx = \frac{1}{u} \, du </math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align*}</math>}}
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Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable <math> u </math>
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Wir müssen die Integrationsgrenzen hier wie <math>x = 0</math> und <math>x = 2</math> schreiben, nachdem <math>x</math> nicht die Integrationsvariable ist. Folgende Schreibweise ist falsch:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln |1+u| </math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ etc.}</math>}}
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Jetzt schreiben wir wieder <math> u(x) </math> statt <math> u </math> und setzen die Integrationsgrenzen ein.
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{{Abgesetzte Formel||<math> \Bigl[\,\ln |1+ u(x) |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}</math>}}
'' Methode 2''
'' Methode 2''
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Wir substituieren <math>u=e^x</math> und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\, dx</math>. Die Integrationsgrenze <math>x=0</math> entspricht <math>u=e^0 = 1</math> und <math>x=2</math> entspricht <math>u=e^2</math>
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Wir substituieren <math>u=e^x</math> und dies ergibt <math>u'= e^x</math> und <math>du= e^x\, dx</math>. Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn <math> x </math> von 0 bis 2 läuft, läuft <math> u=u(x) </math> von <math> u(0) = e^0=1 </math> bis <math>u(2)=e^2</math>.
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
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Betrachte folgende Rechnungen:
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Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat.
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}
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Diese Rechnung ist aber falsch, nachdem <math>f(u)=1/u^2</math> nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (nicht wenn <math>x=0</math>).
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Die Rechnung muss falsch sein, weil links ein Integral steht mit einem positiven Integrand. Das Integral wird also positiv sein. Auf der rechten Seite steht jedoch eine negative Zahl.
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Der Fehler bei der Rechnung ist, dass die Substitution angewendet wurde f&uuml;r <math>f(u)=1/u^2</math> und diese Funktion nicht im ganzen Intervall <math>[-1,1]</math> definiert ist (<math>f(0)</math> ist nicht definiert: Division durch Null).
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Es ist notwendig, dass die Funktion <math>f(u(x))</math> überall im Intervall definiert und kontinuierlich ist. Ansonsten wird die Substitution <math>u=u(x)</math> nicht gültig sein.
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Wenn man die Substitutionsregel anwenden m&ouml;chte, muss die &auml;ussere Funktion <math> f </math> stetig sein und die innere Funktion <math> u </math> stetig differenzierbar.
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Integration durch Substitution

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie die Formel für die Integration durch Substitution hergeleitet wird.
  • Wie man Integrale mit Integration durch Substitution löst.
  • Wie man die Integrationsgrenzen bei der Substitution richtig ändert.
  • Wann Integration durch Substitution möglich ist.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Integration durch Substitution

Wenn man eine Funktion nicht direkt integrieren kann, kann man die Funktion manchmal durch eine Substitution integrieren. Die Formel für die Integration durch Substitution ist einfach die Kettenregel für Ableitungen rückwärts.

Die Kettenregel \displaystyle \ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \, u'(x)\ kann in Integralform geschrieben werden:

\displaystyle \int f^{\,\prime}(u(x)) \, u'(x) \, dx = f(u(x)) + C

oder

\displaystyle \int f(u(x)) \, u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}

wobei F eine Stammfunktion von f ist, d.h. es gilt \displaystyle F^{\, \prime} =f .

Wir zeigen eine eigenenständige Herleitung dieser Integrationsformel: Wir beginnen mit der normalen Intagrationsformel. Der Integrand \displaystyle f hat die Stammfunktion \displaystyle F und \displaystyle u ist die Integrationsvariable

\displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{.}

Wir ersetzen jetzt die Integrationsvariable \displaystyle u durch die Funktion \displaystyle u(x) . Dadurch verändert sich \displaystyle f(u) zu \displaystyle f(u(x)) und \displaystyle du zu \displaystyle d u(x) . Wir wissen aber eigentlich nicht, was \displaystyle du(x) ist. In der nächsten Zeile tun wir so, als wäre \displaystyle \frac{dx}{dx} =1 wie bei "normalen" Brüchen.

\displaystyle du(x) = \frac{dx}{dx} d u(x) = \frac{1}{dx} d u(x) d x = \frac{d}{dx} u(x) \, dx = u^{\, \prime} (x) \, dx

Also ist das unbekannte \displaystyle du(x) dasselbe wie das bekannte \displaystyle u^{\, \prime}(x)\, dx : Beim Integrieren mit der Integrationsvariable \displaystyle x wird der Integrand mit \displaystyle u^{\, \prime}(x) multipliziert. Also haben wir

\displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C \textrm{ mit } u(x) \textrm{ statt } u \textrm{ ergibt } \int f(u(x)) \, u^{\, \prime}(x) \, dx = F(u(x)) + C\,\mbox{.}

Daher kann man den komplizierteren Integranden \displaystyle f(u(x)) \, u'(x) ersetzen (mit \displaystyle x als Integrationsvariable) mit dem einfacheren Ausdruck \displaystyle f(u) (mit \displaystyle u als Integrationsvariable). Dies wird Substitution genannt, und kann angewendet werden, wenn der Integrand auf der Form \displaystyle f(u(x)) \, u'(x) ist.

Hinweis: Die Voraussetzung, um die Integration durch Substitution zu verwenden ist, dass \displaystyle u(x) im Intervall \displaystyle (a,b) differenzierbar ist.


Beispiel 1

Berechne das Integral \displaystyle \ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx.

Wenn wir die Substitution \displaystyle u(x)= x^2 machen, erhalten wir \displaystyle u'(x)= 2x. Durch die Substitution wird \displaystyle e^{x^2}, \displaystyle e^u und \displaystyle u'(x)\,dx, also \displaystyle 2x\,dx wird \displaystyle du

\displaystyle \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}

Beispiel 2

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int (x^3 + 1)^3 \, x^2 \, dx.

Wir substituieren, \displaystyle u=x^3 + 1.Dies ergibt \displaystyle u'=3x^2, oder \displaystyle du= 3x^2\, dx, und daher ist

\displaystyle \begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}

Beispiel 3

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int \tan x \, dx\,\mbox{,}\ \ wo \displaystyle -\pi/2 < x < \pi/2.

Wir schreiben \displaystyle \tan x wie \displaystyle \sin x/\cos x und machen die Substitution \displaystyle u=\cos x,

\displaystyle \begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}

B - Die Integrationsgrenzen bei Substitution

Wenn man bestimmte Integrale berechnet, gibt es zwei Methoden, mit den Integrationsgrenzen umzugehen. Entweder substituiert man \displaystyle u = u(x) , berechnet eine Stammfunktion in u und ersetzt danach die neue Variable mit der alten oder man ändert die Integrationsgrenzen während der Integration. Das folgende Beispiel zeigt die beiden Methoden.

Beispiel 4 Berechne das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx.


Methode 1

Wir substituieren \displaystyle u=e^x , und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\,dx = u \, dx bzw \displaystyle dx = \frac{1}{u} \, du .

Wir ermitteln eine Stammfunktion für die Integration mit der Integrationsvariable \displaystyle u

\displaystyle \int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int\frac{u}{1 + u} \, \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{1 + u} \, du = \ln |1+u|

Jetzt schreiben wir wieder \displaystyle u(x) statt \displaystyle u und setzen die Integrationsgrenzen ein.

\displaystyle \Bigl[\,\ln |1+ u(x) |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}


Methode 2

Wir substituieren \displaystyle u=e^x und dies ergibt \displaystyle u'= e^x und \displaystyle du= e^x\, dx. Die Integrationsgrenzen verändern sich durch die Substitution: Wenn \displaystyle x von 0 bis 2 läuft, läuft \displaystyle u=u(x) von \displaystyle u(0) = e^0=1 bis \displaystyle u(2)=e^2.

\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}

Beispiel 5

Bestimme das Integral \displaystyle \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx.

Durch die Substitution \displaystyle u=\sin x erhalten wir \displaystyle du=\cos x\,dx und die Integrationsgrenzen sind daher \displaystyle u=\sin 0=0 und \displaystyle u=\sin(\pi/2)=1. Das Integral ist daher

\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}


[Image]

Das linke Bild zeigt die Funktion sin³x cos x und die rechte Figur zeigt die Funktion u³ die wir nach der Substitution erhalten. Durch die Substitution erhalten wir ein neues Intervall. Der Wert des Integrals ändert sich aber nicht.

Beispiel 6

Betrachte folgende Rechnungen, bei denen sich ein Fehler eingeschlichen hat.

\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}

Die Rechnung muss falsch sein, weil links ein Integral steht mit einem positiven Integrand. Das Integral wird also positiv sein. Auf der rechten Seite steht jedoch eine negative Zahl.

Der Fehler bei der Rechnung ist, dass die Substitution angewendet wurde für \displaystyle f(u)=1/u^2 und diese Funktion nicht im ganzen Intervall \displaystyle [-1,1] definiert ist (\displaystyle f(0) ist nicht definiert: Division durch Null).

Wenn man die Substitutionsregel anwenden möchte, muss die äussere Funktion \displaystyle f stetig sein und die innere Funktion \displaystyle u stetig differenzierbar.

[Image]

Graph von f(u) = 1/u²



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