Lösung 3.1:4b - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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+			Lösung 3.1:4b
			
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  +  
  + Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
  +  
  + {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
  + z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt]
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  + &= \frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\,\textrm{.}
  + \end{align}</math>}}
  +  
  + Wir substituieren  <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,
  +  
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  + \text{Linke Seite}
  + &= (2-i)z\\[5pt]
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  + &= \frac{8+7}{5} + \frac{14-4}{5}\,i\\[5pt]
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  + &= 3+2i\\[5pt]
  + &= \text{Rechte Seite.}\end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wenn wir beide Seiten durch \displaystyle 2-i dividieren, erhalten wir  \displaystyle z auf der linken Seite,





\displaystyle z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}


Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,





\displaystyle \begin{align}
z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt]
&= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
&= \frac{6+3i+4i-2}{4+1}\\[5pt]
&= \frac{4+7i}{5}\\[5pt]
&= \frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\,\textrm{.}
\end{align}



Wir substituieren  \displaystyle z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,





\displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= (2-i)z\\[5pt]
&= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
&= 2\cdot\frac{4}{5} + 2\cdot\frac{7}{5}\,i - i\cdot\frac{4}{5} - i\cdot\frac{7}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{8}{5} + \frac{14}{5}\,i - \frac{4}{5}\,i + \frac{7}{5}\\[5pt]
&= \frac{8+7}{5} + \frac{14-4}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
&= 3+2i\\[5pt]
&= \text{Rechte Seite.}\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.1:4b“
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-{{NAVCONTENT_START}}
+Wenn wir beide Seiten durch <math>2-i</math> dividieren, erhalten wir  <math>z</math> auf der linken Seite,
-<center> [[Bild:3_1_4b.gif]] </center>
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+{{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}
+Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt]
+&= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
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+&= \frac{4+7i}{5}\\[5pt]
+&= \frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
+Wir substituieren  <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\text{Linke Seite}
+&= (2-i)z\\[5pt]
+&= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
+&= 2\cdot\frac{4}{5} + 2\cdot\frac{7}{5}\,i - i\cdot\frac{4}{5} - i\cdot\frac{7}{5}\,i\\[5pt]
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+&= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
+&= 3+2i\\[5pt]
+&= \text{Rechte Seite.}\end{align}</math>}}
 \displaystyle z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt]
&= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
&= \frac{6+3i+4i-2}{4+1}\\[5pt]
&= \frac{4+7i}{5}\\[5pt]
&= \frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\,\textrm{.}
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= (2-i)z\\[5pt]
&= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
&= 2\cdot\frac{4}{5} + 2\cdot\frac{7}{5}\,i - i\cdot\frac{4}{5} - i\cdot\frac{7}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{8}{5} + \frac{14}{5}\,i - \frac{4}{5}\,i + \frac{7}{5}\\[5pt]
&= \frac{8+7}{5} + \frac{14-4}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
&= 3+2i\\[5pt]
&= \text{Rechte Seite.}\end{align}