Lösung 3.3:5c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
| (Der Versionsvergleich bezieht 2 dazwischen liegende Versionen mit ein.) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung | + | Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| - | \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2-4+3i &= 0 | + | \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2-4+3i &= 0\\[5pt] |
| - | \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\,i+\frac{9}{4}\,i^2 \Bigr) - 4 + 3i &= 0 | + | \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\,i+\frac{9}{4}\,i^2 \Bigr) - 4 + 3i &= 0\\[5pt] |
| - | \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{3}{2}\,i + \frac{9}{4} - 4 + 3i &= 0 | + | \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{3}{2}\,i + \frac{9}{4} - 4 + 3i &= 0\\[5pt] |
| - | \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - 2 + \frac{3}{2}\,i &= 0\, | + | \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - 2 + \frac{3}{2}\,i &= 0\,. |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Lassen wir <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math> erhalten wir die Gleichung | + | Lassen wir <math>w=z-\frac{1+3i}{2}</math>, erhalten wir die Gleichung |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>w=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>w^2=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}} |
Gleichungen wie diese löst man normalerweise mit dem Moivreschen Satz. In diesem Fall entsteht aber das Problem, das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir <math>w=x+iy</math> sein und versuchen <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen. | Gleichungen wie diese löst man normalerweise mit dem Moivreschen Satz. In diesem Fall entsteht aber das Problem, das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir <math>w=x+iy</math> sein und versuchen <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen. | ||
| Zeile 18: | Zeile 18: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}} | ||
| - | wir erweitern die linke Seite | + | und wir erweitern die linke Seite |
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}} | ||
| Zeile 29: | Zeile 29: | ||
\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
| - | Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung die wir verwenden können, nämlich | + | Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung, die wir verwenden können, nämlich |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i</math>.}} |
| - | Berechnen wir den | + | Berechnen wir den Betrag von beiden Seiten, erhalten wir |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}</math>,}} |
also | also | ||
| Zeile 41: | Zeile 41: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Jetzt haben wir drei Gleichungen | + | Jetzt haben wir drei Gleichungen |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
| Zeile 49: | Zeile 49: | ||
\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
| - | Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir | + | Addieren wir die erste Gleichung zur dritten, erhalten wir |
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" | {| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" | ||
|| | || | ||
| Zeile 72: | Zeile 72: | ||
|| | || | ||
||<math>{}={}</math> | ||<math>{}={}</math> | ||
| - | |align="right"|<math>\tfrac{9}{2}</math> | + | |align="right"|<math>\tfrac{9}{2}</math> . |
|} | |} | ||
| - | und | + | und das ergibt <math>x=\pm\tfrac{3}{2}</math>. |
| - | Subtrahieren wir die erste Gleichung von der | + | Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir |
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" | {| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" | ||
|| | || | ||
| Zeile 99: | Zeile 99: | ||
|align="right"|<math>2y^2</math> | |align="right"|<math>2y^2</math> | ||
||<math>{}={}</math> | ||<math>{}={}</math> | ||
| - | |align="right"|<math>\tfrac{1}{2}</math> | + | |align="right"|<math>\tfrac{1}{2}</math> . |
|} | |} | ||
| - | + | Also ist <math>y=\pm\tfrac{1}{2}</math>. Das ergibt vier mögliche Lösungen. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
| Zeile 124: | Zeile 124: | ||
\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
| - | Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung | + | Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung <math>2xy=-\tfrac{3}{2}</math>, nämlich |
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} | ||
| Zeile 133: | Zeile 133: | ||
\left\{\begin{align} | \left\{\begin{align} | ||
x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] | x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] | ||
| - | y &= \tfrac{1}{2} | + | y &= \tfrac{1}{2}\,. |
\end{align}\right.</math>}} | \end{align}\right.</math>}} | ||
Daher erhalten wir die Lösungen | Daher erhalten wir die Lösungen | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> und <math>\quad w=\frac{-3+i}{2} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{3-i}{2}\quad</math> und <math>\quad w=\frac{-3+i}{2}</math>}} |
| - | oder | + | oder in <math>z</math> |
{{Abgesetzte Formel||<math>z=2+i\quad</math> und <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>z=2+i\quad</math> und <math>\quad z=-1+2i\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben | + | Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben |
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
Aktuelle Version
Wir beginnen wie immer mit quadratischer Ergänzung
| \displaystyle \begin{align}
\Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2-4+3i &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\,i+\frac{9}{4}\,i^2 \Bigr) - 4 + 3i &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{3}{2}\,i + \frac{9}{4} - 4 + 3i &= 0\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+3i}{2}\Bigr)^2 - 2 + \frac{3}{2}\,i &= 0\,. \end{align} |
Lassen wir \displaystyle w=z-\frac{1+3i}{2}, erhalten wir die Gleichung
| \displaystyle w^2=2-\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.} |
Gleichungen wie diese löst man normalerweise mit dem Moivreschen Satz. In diesem Fall entsteht aber das Problem, das exakte Argument von der rechten Seite zu bestimmen. Auf Grund dieser Schwierigkeit lassen wir \displaystyle w=x+iy sein und versuchen \displaystyle x und \displaystyle y zu bestimmen.
Substituieren wir \displaystyle w=x+iy, erhalten wir die Gleichung
| \displaystyle (x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i |
und wir erweitern die linke Seite
| \displaystyle x^2 - y^2 + 2xyi = 2 - \frac{3}{2}\,i\,\textrm{.} |
Lassen wir den Real- und Imaginärteil gleich sein, erhalten wir die Gleichungen
| \displaystyle \left\{\begin{align}
x^2-y^2 &= 2\\[5pt] 2xy &= -\frac{3}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Hier könnten wir die Gleichungen direkt lösen, aber wir haben noch eine Gleichung, die wir verwenden können, nämlich
| \displaystyle (x+iy)^2 = 2-\frac{3}{2}\,i. |
Berechnen wir den Betrag von beiden Seiten, erhalten wir
| \displaystyle x^2 + y^2 = \sqrt{2^2+\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^2}, |
also
| \displaystyle x^2 + y^2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.} |
Jetzt haben wir drei Gleichungen
| \displaystyle \left\{\begin{align}
x^2 - y^2 &= 2\,,\\[5pt] 2xy &= -\frac{3}{2}\,,\\[5pt] x^2 + y^2 &= \frac{5}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right. |
Addieren wir die erste Gleichung zur dritten, erhalten wir
| \displaystyle x^2 | \displaystyle {}-{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle 2 | |
| \displaystyle +\ \ | \displaystyle x^2 | \displaystyle {}+{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \tfrac{5}{2} |
| \displaystyle 2x^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \tfrac{9}{2} . | |||
und das ergibt \displaystyle x=\pm\tfrac{3}{2}. Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir
| \displaystyle x^2 | \displaystyle {}+{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \tfrac{5}{2} | |
| \displaystyle -\ \ | \displaystyle \bigl(x^2 | \displaystyle {}-{} | \displaystyle y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle 2\rlap{\bigr)} |
| \displaystyle 2y^2 | \displaystyle {}={} | \displaystyle \tfrac{1}{2} . | |||
Also ist \displaystyle y=\pm\tfrac{1}{2}. Das ergibt vier mögliche Lösungen.
| \displaystyle \left\{\begin{align}
x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. |
Aber nur zwei von diesen Lösungen erfüllen die zweite Gleichung \displaystyle 2xy=-\tfrac{3}{2}, nämlich
| \displaystyle \left\{\begin{align}
x &= \tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{1}{2} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{3}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{1}{2}\,. \end{align}\right. |
Daher erhalten wir die Lösungen
| \displaystyle w=\frac{3-i}{2}\quad und \displaystyle \quad w=\frac{-3+i}{2} |
oder in \displaystyle z
| \displaystyle z=2+i\quad und \displaystyle \quad z=-1+2i\,\textrm{.} |
Wir substituieren unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, dass wir richtig gerechnet haben
\displaystyle \begin{align} z={}\rlap{2+i:}\phantom{-1+2i:}{}\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (2+i)^2 - (1+3i)(2+i) - 4 + 3i\\[5pt] &= 4+4i+i^2-(2+i+6i+3i^2)-4+3i\\[5pt] &= 4+4i-1-2-7i+3-4+3i\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z=-1+2i:\quad z^2-(1+3i)z-4+3i &= (-1+2i)^2-(1+3i)(-1+2i)-4+3i\\[5pt] &= (-1)^2-4i+4i^2-(-1+2i-3i+6i^2)-4+3i\\[5pt] &= 1-4i-4+1+i+6-4+3i\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}
