Lösung 2.3:2c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Durch die Definition von <math>\tan x</math> erhalten wir | Durch die Definition von <math>\tan x</math> erhalten wir | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\,</math>.}} |
| - | Wir sehen hier, dass der Zähler <math>\sin x</math> | + | Wir sehen hier, dass der Zähler <math>\sin x</math> (fast) die Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution <math>u=\cos x</math>. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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&= -\int\frac{du}{u}\\[5pt] | &= -\int\frac{du}{u}\\[5pt] | ||
&= -\ln |u| + C\\[5pt] | &= -\ln |u| + C\\[5pt] | ||
| - | &= -\ln |\cos x| + C | + | &= -\ln |\cos x| + C |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Hinweis: <math>-\ln \left| \cos x \right|+C</math> ist nur eine Stammfunktion wenn <math>\cos x\ne 0</math>. | + | Hinweis: <math>-\ln \left| \cos x \right|+C</math> ist nur eine Stammfunktion, wenn <math>\cos x\ne 0</math>. |
Aktuelle Version
Durch die Definition von \displaystyle \tan x erhalten wir
| \displaystyle \int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\,. |
Wir sehen hier, dass der Zähler \displaystyle \sin x (fast) die Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution \displaystyle u=\cos x.
| \displaystyle \begin{align}
\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= \cos x\\[5pt] du &= (\cos x)'\,dx = -\sin x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= -\int\frac{du}{u}\\[5pt] &= -\ln |u| + C\\[5pt] &= -\ln |\cos x| + C \end{align} |
Hinweis: \displaystyle -\ln \left| \cos x \right|+C ist nur eine Stammfunktion, wenn \displaystyle \cos x\ne 0.
