Lösung 2.1:1d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>|-5|=5\,</math>, <math>\quad|3|=3\quad</math> und <math>\quad |-\pi|=\pi\,</math>.}} | {{Abgesetzte Formel||<math>|-5|=5\,</math>, <math>\quad|3|=3\quad</math> und <math>\quad |-\pi|=\pi\,</math>.}} | ||
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<math>x\ge 0</math> ist <math>y=x</math> und für <math>x\le 0</math> ist | <math>x\ge 0</math> ist <math>y=x</math> und für <math>x\le 0</math> ist | ||
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Aktuelle Version
Die Betragsfunktion \displaystyle |x| erstellt den Betrag von \displaystyle x, nimmt also das Vorzeichen von \displaystyle x weg. Zum Beispiel ist
| \displaystyle |-5|=5\,, \displaystyle \quad|3|=3\quad und \displaystyle \quad |-\pi|=\pi\,. |
Für positive \displaystyle x ändert die Betragsfunktion nichts, da \displaystyle |x|=x, während die Betragsfunktion für negative \displaystyle x das Vorzeichen von \displaystyle x, d.h. \displaystyle |x|=-x ändert.
Zeichnen wir den Graph von \displaystyle y=|x|, besteht er aus zwei Teilen. Für \displaystyle x\ge 0 ist \displaystyle y=x und für \displaystyle x\le 0 ist \displaystyle y=-x\,.
Daher ist das Integral die Fläche unter der Funktion \displaystyle y=|x| zwischen \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=2.
Da das Gebiet aus zwei Dreiecken besteht, erhalten wir
| \displaystyle \int\limits_{-1}^{2} |x|\,dx = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 = \frac{5}{2}\,\textrm{.} |
