Lösung 1.3:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
+
# singuläre Stellen (Theorie 1.3 E), in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
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# Endpunkte.
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# Randstellen.
Wir untersuchen alle drei Fälle.
Wir untersuchen alle drei Fälle.
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<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
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<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li>
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<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keinen Rand und es gibt keine Randstellen.</li>
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Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte und so ist <math>x=1\,</math> der einzige Punkt, der ein Extrempunkt sein könnte. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob der Punkt ein Extrempunkt ist.
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Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen und so ist <math>x=1\,</math> die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein kann. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.
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Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> ein lokales Minimum.
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Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> eine lokale Minimalstelle.
Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.
Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.
[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]
[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. singuläre Stellen (Theorie 1.3 E), in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
  3. Randstellen.

Wir untersuchen alle drei Fälle.

  1. Die Ableitung von \displaystyle f(x)
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x-2
    ist null, wenn \displaystyle 2x-2=0, also für \displaystyle x=1\,.
  2. Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
  3. Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keinen Rand und es gibt keine Randstellen.

Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen und so ist \displaystyle x=1\, die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein kann. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.

\displaystyle x \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \searrow \displaystyle 0 \displaystyle \nearrow

Da die Ableitung links von \displaystyle x=1 negativ ist und rechts von \displaystyle x=1 positiv, ist \displaystyle x=1 eine lokale Minimalstelle.

Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.

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