2.1 Einführung zur Integralrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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== Die Fläche unter einer Funktion ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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Wir haben im vorigen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass die Fläche zwischen der ''x''-Achse und einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.
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== A - Die Fläche unter einer Kurve ==
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Wir haben im vorigen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass die Fläche zwischen der ''x''-Achse und dem Schaubild einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.
Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen ''v-t''-Graph einzeichnen, können wir die drei unten dargestellten Fälle erhalten:
Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen ''v-t''-Graph einzeichnen, können wir die drei unten dargestellten Fälle erhalten:
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Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:
Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:
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{{Abgesetzte Formel||<math>s(6) = 5\times 6 = 30\,\mbox{m},\quad
+
{{Abgesetzte Formel||<math>s(6) = 5\cdot 6 = 30\,\mbox{m},\quad
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s(6) = 4\times 3 + 6\times 3 = 30\,\mbox{m},\quad
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s(6) = 4\cdot 3 + 6\cdot 3 = 30\,\mbox{m},\quad
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s(6) = \frac{6\times 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}</math>}}
+
s(6) = \frac{6\cdot 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}</math>}}
In allen drei Fällen sehen wir, dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter dem Graph der Funktion entspricht.
In allen drei Fällen sehen wir, dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter dem Graph der Funktion entspricht.
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== Die Bezeichnung des Integrals ==
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== B - Die Bezeichnung des Integrals ==
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Um die Fläche unter einer Funktion zu beschreiben, verwendet man das ''Integralzeichen'' <math>\,\smallint\,</math>:
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Um die Fläche unter einer Kurve zu beschreiben verwendet man das ''Integralzeichen'' <math>\,\smallint\,</math>.
<div class="tips">
<div class="tips">
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Das Integral einer positiven Funktion <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math> ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve <math>y=f(x)</math> und der ''x''-Achse und zwischen zwei Vertikalen den Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math> , und wird wie folgt geschrieben;
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Das Integral einer positiven Funktion <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math> ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve <math>y=f(x)</math> und der ''x''-Achse und zwischen zwei Vertikalen den Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math> und wird wie folgt geschrieben:
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}
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Die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> nennt man Integrationsgrenzen. Die Funktion <math>f(x)</math> nennt man Integrand, und <math>x</math> nennt man die Integrationsvariable.
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Die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> nennt man Integrationsgrenzen. Die Funktion <math>f(x)</math> nennt man Integrand und <math>x</math> nennt man die Integrationsvariable.
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{| width="100%"
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| width="95%" | Die Fläche unter der Kurve <math>y=f(x)</math> von <math>x=a</math> bis <math>x=c</math> ist gleich groß wie die Fläche vión <math>x=a</math> bis <math>x=b</math> plus die Fläche von <math>x=b</math> bis <math>x=c</math>. Dies bedeutet, dass
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| width="95%" | Die Fläche unter der Kurve <math>y=f(x)</math> von <math>x=a</math> bis <math>x=c</math> ist genauso groß wie die Fläche von <math>x=a</math> bis <math>x=b</math> plus die Fläche von <math>x=b</math> bis <math>x=c</math>. Dies bedeutet, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx
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= \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}
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= \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}
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||{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(x) von a bis b und c}}
||{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(x) von a bis b und c}}
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| width="95%" | Ein Gegenstand, dessen Geschwindigkeit <math>v(t)</math> im Graph rechts ist. Die Strecke, die der Gegenstand nach der Zeit 10&nbsp;s zurückgelegt hat, ist das Integral
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| width="95%" | Sei <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit eines Gegenstandes in Abhängigkeit von der Zeit t. Die Strecke, die nach 10&nbsp;s zurückgelegt wurde, ist gleich der Fläche unter dem Schaubild von <math>v(t)</math> zwischen 0 und 10, also gleich dem Integral von 0 bis 10.
{{Abgesetzte Formel||<math>s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}</math>}}
Hinweis: Wir nehmen hier an, dass Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.
Hinweis: Wir nehmen hier an, dass Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{9}^{10} f(t)\, dt</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{9}^{10} f(t)\, dt</math>}}
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beschreibt, wie viel Wasser während der Zehntelsekunde in den Tank fließt.
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beschreibt, wie viel Wasser während der zehnten Sekunde in den Tank fließt.
</div>
</div>
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Das Integral ist dasselbe wie die Fläche unter der Kurve (Gerade) <math>y=3</math>
Das Integral ist dasselbe wie die Fläche unter der Kurve (Gerade) <math>y=3</math>
von <math>x = 0</math> bis <math>x = 4</math>,
von <math>x = 0</math> bis <math>x = 4</math>,
-
also ein Rechteck mit der Basis 4 und der Höhe 3, <br>
+
also ein Rechteck mit der Grundseite 4 und der Höhe 3, <br>
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<center><math>\int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \times 3 = 12\,\mbox{.}</math></center></li>
+
<center><math>\int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12\,\mbox{.}</math></center></li>
</ol>
</ol>
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also ein Dreieck mit der Basis 3 und der Höhe 1.5 <br>
also ein Dreieck mit der Basis 3 und der Höhe 1.5 <br>
<center><math>\int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx
<center><math>\int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx
-
= \frac{3 \times 1\textrm{.}5}{2} = 2\textrm{.}25\,\mbox{.}</math></center></li>
+
= \frac{3 \cdot 1\textrm{.}5}{2} = 2\textrm{.}25\,\mbox{.}</math></center></li>
</ol>
</ol>
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Das Integral ist die Fläche unter der Geraden <math>y=kx</math>, von
Das Integral ist die Fläche unter der Geraden <math>y=kx</math>, von
<math>x = 0</math> bis <math>x = a</math> und daher ein Dreieck mit der Basis <math>a</math> und der Höhe <math>ka</math><br>
<math>x = 0</math> bis <math>x = a</math> und daher ein Dreieck mit der Basis <math>a</math> und der Höhe <math>ka</math><br>
-
<center><math>\int_{0}^{\,a} kx\,dx = \frac{a \times ka}{2}
+
<center><math>\int_{0}^{\,a} kx\,dx = \frac{a \cdot ka}{2}
= \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}</math></center></li>
= \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}</math></center></li>
</ol>
</ol>
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</div>
</div>
-
 
+
== C - Stammfunktionen und unbestimmte Integrale ==
-
== Stammfunktionen und unbestimmte Integrale ==
+
Die Funktion <math>F</math> ist eine ''Stammfunktion'' von <math>f</math> falls <math>F'(x) = f(x)</math> in einen bestimmten Intervall. Falls <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, ist es leicht zu sehen, dass auch <math>F(x) + C</math> eine Stammfunktion ist für eine beliebige Konstante <math>C</math>. Man kann auch zeigen, dass die Funktion <math>F(x) + C</math> alle möglichen Stammfunktionen von <math>f(x)</math> bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als ''unbestimmtes Integral'' bezeichnet und man schreibt
Die Funktion <math>F</math> ist eine ''Stammfunktion'' von <math>f</math> falls <math>F'(x) = f(x)</math> in einen bestimmten Intervall. Falls <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, ist es leicht zu sehen, dass auch <math>F(x) + C</math> eine Stammfunktion ist für eine beliebige Konstante <math>C</math>. Man kann auch zeigen, dass die Funktion <math>F(x) + C</math> alle möglichen Stammfunktionen von <math>f(x)</math> bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als ''unbestimmtes Integral'' bezeichnet und man schreibt
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<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
'''Beispiel 6'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>F(x) = x^3 + \cos x - 5</math> ist die Stammfunktion von
<li><math>F(x) = x^3 + \cos x - 5</math> ist die Stammfunktion von
<math>f(x) = 3x^2 - \sin x</math>, nachdem
<math>f(x) = 3x^2 - \sin x</math>, nachdem
-
{{Abgesetzte Formel||<math>F'(x) = D\,(x^3+\cos x-5) = 3x^2-\sin x-0
+
{{Abgesetzte Formel||<math>F'(x) = D\,(x^3+\cos x-5) = 3x^2-\sin x-0
-
= f(x)\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
= f(x)\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li><math>G(t) = e^{3t + 1} + \ln t</math> ist die Stammfunktion von <math>g(t)= 3 e^{3t + 1} + 1/t</math>, nachdem
+
<li><math>G(t) = e^{3t + 1} + \ln t</math> ist die Stammfunktion von <math>g(t)= 3 e^{3t + 1} + 1/t</math>, weil
-
{{Abgesetzte Formel||<math>G'(t) = D\,\bigl(e^{3t+1}+\ln t\bigr)
+
{{Abgesetzte Formel||<math>G'(t) = D\,\bigl(e^{3t+1}+\ln t\bigr)
-
= e^{3t+1}\times 3+\frac{1}{t} = g(t)\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
= e^{3t+1}\cdot 3+\frac{1}{t} = g(t)\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li><math>F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x + C\,</math>, wo <math>C</math> eine beliebige Konstante ist.</li>
+
<li><math>F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x + C\,</math> ist eine Stammfunktion von <math>f(x)=x^{3}-1</math>, wobei <math>C</math> eine beliebige Konstante ist, weil {{Abgesetzte Formel||<math>F'(x)=D\,(\frac{1}{4}x^4 - x + C)=x^{3}-1=f(x)\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
 
+
== D - Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen ==
-
== Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen ==
+
Wir wissen bereits, dass die Fläche unter einer Funktion dem Integral der Funktion entspricht.
Wir wissen bereits, dass die Fläche unter einer Funktion dem Integral der Funktion entspricht.
-
Wir nehmen an, dass <math>f</math> kontinuierlich in einem Intervall ist. Der Wert des Integrals <math>\ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ </math> hängt dann von den Integrationsgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> ab. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie <math>x</math> statt <math>b</math> ist, wird das Integral eine Funktion von <math>x</math> sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable <math>t</math> statt <math>x</math>:
+
Wir nehmen an, dass <math>f</math> stetig in einem Intervall ist. Der Wert des Integrals <math>\ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ </math> hängt dann von den Integrationsgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> ab. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie <math>x</math> statt <math>b</math> ist, wird das Integral eine Funktion von <math>x</math> sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable <math>t</math> statt <math>x</math>:
<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(t) von t = a bis t = x}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(t) von t = a bis t = x}}</center>
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<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(t) von t = a bis t = x + h}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(t) von t = a bis t = x + h}}</center>
-
Die gesamte Fläche under der Kurve von <math>t=a</math> bis <math>t=x+h</math> ist <math>A(x+h)</math> und ist ungefähr <math>t=x</math> plus die Fläche des Rechtecks zwischen <math>t=x</math> und <math>t=x+h</math>, also
+
Die gesamte Fläche under der Kurve von <math>t=a</math> bis <math>t=x+h</math> ist <math>A(x+h)</math> und ist ungefähr <math>A(x)</math> plus die Fläche des Rechtecks zwischen <math>t=x</math> und <math>t=x+h</math>, also
{{Abgesetzte Formel||<math>A(x+h)\approx A(x)+h\, f(c)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>A(x+h)\approx A(x)+h\, f(c)</math>}}
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-
== Integrale berechnen ==
+
== E - Integrale berechnen ==
-
Um mit Hilfe der Stammfunktionen das Integral zu berechnen, notieren wir zuerst, dass, wenn <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, ist
+
Wir wollen mit Hilfe der Stammfunktionen das Integral berechnen. Wenn <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, dann ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C</math>}}
-
wobei die Konstante <math>C</math> so gewählt werden muss, dass die rechte Seite null ist, wenn <math>b=a</math> und die linke Seite daher auch null ist. Also ist
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Wenn <math> b=a </math> ist, ist die linke Seite null (Die Fläche unter dem Graphen der Funktion zwischen a und a). Darum muss die Konstante <math>C</math> so gewählt werden, dass für <math>b=a</math> die rechte Seite ebenfalls null ist. Also ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0</math>}}
-
und wir erhalten <math>C=-F(a)</math>. Wenn wir zusammenfassen, ergibt sich, dass
+
dass <math>C=-F(a)</math> sein muss. Wenn wir zusammenfassen, ergibt sich, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt
-
= F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
+
= F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
Wir können natürlich hier die Integrationsvariable <math>x</math> wählen und erhalten dann
Wir können natürlich hier die Integrationsvariable <math>x</math> wählen und erhalten dann
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx
-
= F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
+
= F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
Die Berechnung von Integralen erfolgt in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt gewöhnlich
Die Berechnung von Integralen erfolgt in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt gewöhnlich
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx
-
= \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
+
= \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
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''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
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Die Fläche zwischen der Funktion <math>y=2x - x^2</math> und der ''x''-Achse kann durch den Integral
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Die Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion <math>y=2x - x^2</math> und der ''x''-Achse kann durch das Integral
{| width="100%"
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{}</math>}}
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berechnet werden. Nachdem <math>x^2-x^3/3</math> die Stammfunktion des Integranden ist, ist der Integral
+
berechnet werden. Nachdem <math>x^2-x^3/3</math> die Stammfunktion des Integranden ist, ist das Integral
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
Die Fläche ist also <math>\frac{4}{3}</math>
+
Die Fläche ist also <math>\frac{4}{3}</math>.
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||{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = 2x - x² von x = 0 bis x = 2}}
||{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = 2x - x² von x = 0 bis x = 2}}
Zeile 287: Zeile 286:
-
== Stammfunktionen ==
+
== F - Stammfunktionen ==
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Um häufige Funktionen abzuleiten, gibt es generelle Ableitungsregeln. Die umgekehrte Rechenoperation durchzuführen ist aber viel komplizierter, nachdem es keine generellen Regeln für die Stammfunktionen gibt. In manchen Fällen kann man aber die Stammfunktionen bestimmen, indem man die Ableitung ''rückwärts'' ausführt.
+
Um häufige Funktionen abzuleiten, gibt es generelle Ableitungsregeln. Die umgekehrte Rechenoperation durchzuführen ist aber viel komplizierter, nachdem es keine generellen Regeln für die Stammfunktionen gibt. In manchen Fällen kann man aber die Stammfunktionen bestimmen, indem man die Ableitung ''rückwärts'' ausführt: d.h. man sucht eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist.
-
Mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln erhalten wir folgende Stammfunktionen,
+
Mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln erhalten wir folgende Stammfunktionen
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{where }\ n \ne -1\\[6pt] \int x^{-1} \, dx &= \ln |x| + C\\[6pt] \int e^x \, dx &= e^x + C\\[6pt] \int \cos x \, dx &= \sin x + C\\[6pt] \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \end{align*}</math>}}
+
{| class="wikitable" border="1"
 +
|-
 +
! Integral und Stammfunktion
 +
! Begründung (durch Ableitung)
 +
|-
 +
| <math> \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{für }\ n \ne -1 </math>
 +
| <math> \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \right) = x^n </math>
 +
|-
 +
| <math> \int x^{-1} \, dx = \ln |x| + C </math>
 +
| <math> \left( \ln |x| + C \right)^{\, \prime} = \frac{1}{|x|} \cdot \text{ sgn } (x) = \frac{1}{x} </math> für <math> x \not= 0 </math>
 +
|-
 +
| <math> \int e^x \, dx = e^x + C </math>
 +
| <math> D \left( e^x + C \right) = e^x </math>
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|-
 +
| <math> \int \cos x \, dx = \sin x + C </math>
 +
| <math> \frac{d}{dx} \left( \sin x + C \right) = \cos x </math>
 +
|-
 +
| <math> \int \sin x \, dx = -\cos x + C </math>
 +
| <math> \left( -\cos x + C \right)^{\, \prime} = \sin x</math>
 +
|-
 +
|}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 318: Zeile 337:
</div>
</div>
-
 
+
== G - Lineare Substitution ==
-
== Für die innere Ableitung kompensieren ==
+
Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet, dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung einer solchen Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.
Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet, dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung einer solchen Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.
Zeile 329: Zeile 347:
<li><math>\int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C</math></li>
<li><math>\int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C</math></li>
<li><math>\int \sin 5x \, dx = - \frac{ \cos 5x}{5} + C</math></li>
<li><math>\int \sin 5x \, dx = - \frac{ \cos 5x}{5} + C</math></li>
-
<li><math>\int (2x +1)^4 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{5 \times 2} + C</math></li>
+
<li><math>\int (2x +1)^4 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{5 \cdot 2} + C = \frac{(2x+1)^5}{10} + C</math></li>
</ol>
</ol>
Zeile 347: Zeile 365:
-
== Integrationsregeln ==
+
== H - Integrationsregeln ==
Durch die Definition des Integrals, kann man einfach zeigen, dass:
Durch die Definition des Integrals, kann man einfach zeigen, dass:
-
# <math>\int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
+
1. <math>\int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math> <br>
-
# <math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
+
Beim Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert das Integral das Vorzeichen.<br>
-
# <math>\int_{a}^{\,b} k \, f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
+
 
-
# <math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>
+
2. <math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math> <br>
 +
Die Summe der Integrale (mit denselben Integrationsgrenzen) ist das Integral über die Summe der Integranden.<br>
 +
 
 +
3. <math>\int_{a}^{\,b} k \, f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math><br>
 +
Das Integral über ein Vielfaches des Integranden ist das Vielfache des Integrals über den einfachen Integranden.<br>
 +
 
 +
4. <math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math><br>
 +
Die Summe der Integrale mit demselben Integranden über direkt nebeneinander liegende Intervalle ist gleich dem Integral über das Gesamtinterval.
Außerdem haben Integrale, wo die Funktion negativ ist, ein negatives Vorzeichen, sind aber ansonsten gleich:
Außerdem haben Integrale, wo die Funktion negativ ist, ein negatives Vorzeichen, sind aber ansonsten gleich:
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<math>\qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2}
<math>\qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2}
\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
-
<math>\qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\times 2^4-2^3+2^2+3\times 2\bigr)
+
<math>\qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 2^4-2^3+2^2+3\cdot 2\bigr)
-
- \bigl(\tfrac{1}{4}\times 1^4 - 1^3 + 1^2
+
- \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2
-
+ 3\times 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
+
+ 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
<math>\qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}</math><br/>
<math>\qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}</math><br/>
{|
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| align="center" |{{:2.1 - Bild - Die Fläche under der Kurve y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 und y = x³ - 3x² + 2x + 3}}
+
| align="center" |{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 und y = x³ - 3x² + 2x + 3}}
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||<small> Das linke Bild zeigt die Fläche unter der Funktion ''f''(''x'')&nbsp;= ''x''³&nbsp;- 3''x''²&nbsp;+ 2''x''&nbsp;+&nbsp;1. Das mittlere Bild zeigt die Fläche unter der Funktion ''g''(''x'')&nbsp;=&nbsp;2. Das rechte Bild zeigt die Fläche unter der Summe der beiden Funktionen, also ''f''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''g''(''x'').</small>
+
||<small> Das linke Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Funktion ''f''(''x'')&nbsp;= ''x''³&nbsp;- 3''x''²&nbsp;+ 2''x''&nbsp;+&nbsp;1. Das mittlere Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Funktion ''g''(''x'')&nbsp;=&nbsp;2. Das rechte Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Summe der beiden Funktionen, also ''f''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''g''(''x'').</small>
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= \int_{1}^{3} 3/2 \, dx</math><br/>
= \int_{1}^{3} 3/2 \, dx</math><br/>
<math>\qquad{} = \Bigl[\,\tfrac{3}{2}x\,\Bigr]_{1}^{3}
<math>\qquad{} = \Bigl[\,\tfrac{3}{2}x\,\Bigr]_{1}^{3}
-
= \tfrac{3}{2}\times 3 - \tfrac{3}{2}\times 1 = 3</math><br/>
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= \tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = 3</math><br/>
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| align="center" |{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = x²/2 - 2x, y = 2x - x²/2 + 3/2 und y = 3/2}}
| align="center" |{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = x²/2 - 2x, y = 2x - x²/2 + 3/2 und y = 3/2}}
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||<small>Die Funktion ''f''(''x'')&nbsp;= ''x''²/2&nbsp;- 2''x'' (siehe linkes Bild) und die Funktion ''g''(''x'')&nbsp;= 2''x''&nbsp;- ''x''²/2&nbsp;+ 3/2 (siehe mittleres Bild) sind Spiegelungen voneinander in der Geraden ''y''&nbsp;= 3/4.
||<small>Die Funktion ''f''(''x'')&nbsp;= ''x''²/2&nbsp;- 2''x'' (siehe linkes Bild) und die Funktion ''g''(''x'')&nbsp;= 2''x''&nbsp;- ''x''²/2&nbsp;+ 3/2 (siehe mittleres Bild) sind Spiegelungen voneinander in der Geraden ''y''&nbsp;= 3/4.
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Also ist die Summe ''f''(''x'')&nbsp;+ ''g''(''x'') =&nbsp;3/2, also eine Konstante. Daher ist das Integral der Summe ein Rechteck mit der Basis &nbsp;2 und der Höhe &nbsp;3/2 (siehe rechtes Bild). </small>
+
Also ist die Summe ''f''(''x'')&nbsp;+ ''g''(''x'') =&nbsp;3/2, also eine Konstante. Daher ist das Integral der Summe ein Rechteck mit der Grundseite &nbsp;2 und der Höhe &nbsp;3/2 (siehe rechtes Bild). </small>
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== Die Fläche zwischen Funktionen ==
+
== I - Die Fläche zwischen Funktionen ==
Wenn <math>f(x) \ge g(x)</math> in einem Intervall <math>a\le x\le b</math> ist, ist die Fläche zwischen den beiden Funktionen in diesem Intervall
Wenn <math>f(x) \ge g(x)</math> in einem Intervall <math>a\le x\le b</math> ist, ist die Fläche zwischen den beiden Funktionen in diesem Intervall
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx
-
- \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}</math>}}
+
- \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}</math>}}
oder vereinfacht
oder vereinfacht
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<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = f(x) und y = g(x)}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = f(x) und y = g(x)}}</center>
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-
||<small>Wenn ''f''(''x'') und ''g''(''x'') beide positiv sind, und ''f''(''x'') größer ist als ''g''(''x''), ist die Fläche zwischen ''f'' and ''g'' (siehe linkes Bild), der Unterschied in Fläche von den Flächen unter den Funktionen ''f'' (siehe mittleres Bild) und ''g'' (siehe rechtes Bild).</small>
+
||<small>Wenn ''f''(''x'') und ''g''(''x'') beide positiv sind und ''f''(''x'') größer ist als ''g''(''x''), ist die Fläche zwischen ''f'' und ''g'' (siehe linkes Bild), der Unterschied in Fläche von den Flächen unter den Schaubildern der Funktionen ''f'' (siehe mittleres Bild) und ''g'' (siehe rechtes Bild).</small>
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<center>{{:2.1 - Bild - Ein Gebiet in die y-Richtung verschoben}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Ein Gebiet in die y-Richtung verschoben}}</center>
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-
||<small>Die Fläche zwischen den beiden Funktionen ändert sich nicht wenn wir beide Funktionen in die ''y''-Richtung verschieben. Die Fläche zwischen den Funktionen f(x9 und g(x) ist dasselbe wie die Fläche zwischen den Funktionen f(x) - 3 und g(x) - 3 (siehe mittleres Bild), sowohl wie zwischen den Funktionen f(x) - 6 und g(x) - 6 (siehe rechtes Bild).</small>
+
||<small>Die Fläche zwischen den beiden Graphen der Funktionen ändert sich nicht wenn wir beide Funktionen in die ''y''-Richtung verschieben. Die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) und g(x) ist dasselbe wie die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) - 3 und g(x) - 3 (siehe mittleres Bild), als auch zwischen den Funktionen f(x) - 6 und g(x) - 6 (siehe rechtes Bild).</small>
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''' Beispiel 12'''
''' Beispiel 12'''
-
Berechne die Fläche zwischen den Kurven <math>y=e^x + 1</math> und <math>y=1 - x^2/2</math> und den Geraden <math>x = –1</math> und <math>x = 1</math>.
+
Berechne die Fläche zwischen den Kurven <math>y=e^x + 1</math> und <math>y=1 - \frac{x^2}{2} </math> und den Geraden <math>x = –1</math> und <math>x = 1</math>.
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Nachdem <math>e^x + 1 > 1 - x^2/2</math> im ganzen Intervall ist, ist die Fläche:
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Da <math>e^x + 1 > 1 - \frac{x^2}{2} </math> im ganzen Intervall gilt, berechnen wir die die Fläche so:
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''' Beispiel 13'''
''' Beispiel 13'''
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Berechne die Fläche des endlichen Gebietes zwischen den Funktionen <math>y= x^2</math> und <math>y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}</math>.
+
Berechne die Fläche des endlichen Gebietes zwischen den Graphen der Funktionen <math>y= x^2</math> und <math>y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}</math>.
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Die Schnittpunkte der Kurven erhalten wir, wenn deren ''y''-Werte gleich sind,
Die Schnittpunkte der Kurven erhalten wir, wenn deren ''y''-Werte gleich sind,
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{or}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{oder}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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| width="95%" | Zwischen <math>x=0</math> und <math>x=1</math>, <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2</math> ist die Fläche zwischen den Funktionen
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| width="95%" | Zwischen <math>x=0</math> und <math>x=1</math> ist <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2</math> und wir berechnen die Fläche zwischen den Kurven als
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx &= \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1}\\
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx &= \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1}\\
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''' Beispiel 14'''
''' Beispiel 14'''
-
Berechne die Fläche des begrenzten Gebietes zwischen den Funktionen <math>y=\frac{1}{x^2}</math>, <math>y=x</math> und <math>y = 2</math>.
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Berechne die Fläche des begrenzten Gebietes zwischen den Graphen der Funktionen <math>y=\frac{1}{x^2}</math>, <math>y=x</math> und <math>y = 2</math>.
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In der Figur sehen wir, dass die Funktionen unser Gebiet in zwei Teilgebiete aufteilen. Die Fläche des gesamten Gebiets ist die Summe der Flächen der beiden Teilgebiete,
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In der Abbildung sehen wir, dass die Funktionen unser Gebiet in zwei Teilgebiete <math> A_1 </math> und <math> A_2 </math> aufteilen. Die Fläche des gesamten Gebiets ist die Summe der Flächen der beiden Teilgebiete,
{{Abgesetzte Formel||<math>A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx
{{Abgesetzte Formel||<math>A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx
-
\quad\text{and}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}</math>}}
+
\quad\text{und}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}</math>}}
Wir suchen zuerst die Schnittstellen <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math>:
Wir suchen zuerst die Schnittstellen <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math>:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x^2} = 2
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x^2} = 2
-
\quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2}
+
\quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2}
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\quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}</math>}}
+
\quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \, \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}</math>}}
:(Die negative Wurzel ist für uns uninteressant.)
:(Die negative Wurzel ist für uns uninteressant.)
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x^2} = x
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x^2} = x
-
\quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1
+
\quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1
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\quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}</math>}}
+
\quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}</math>}}
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* Die Schnittstelle <math>x=a</math> erhalten wir durch die Gleichung <math>x = 2</math>.
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* Die Schnittstelle <math>x=c</math> erhalten wir durch die Gleichung <math>x = 2</math>.
Das Integral ist also
Das Integral ist also
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Die Definition des Integrals.
  • Das Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen.
  • Stammfunktionen für \displaystyle x^\alpha, \displaystyle 1/x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x und \displaystyle \sin x.
  • Stammfunktionen für Summen und Differenzen von Funktionen.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man Integrale als Flächen interpretiert.
  • Es gibt andere Interpretationen des Integrals wie Dichte/Masse, Geschwindigkeit/Strecke, Kraft/Energie, etc.
  • Wie man Stammfunktionen für \displaystyle x^\alpha, \displaystyle 1/x, \displaystyle e^{kx}, \displaystyle \cos kx, \displaystyle \sin kx und Summen/Differenzen von solchen Termen bestimmt.
  • Wie man die Fläche unter einer Funktion berechnet.
  • Wie man die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnet.
  • Nicht alle Funktionen haben eine analytische Stammfunktion wie zum Beispiel \displaystyle e^{x^2} , \displaystyle (\sin x)/x, \displaystyle \sin \sin x, etc.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Die Fläche unter einer Kurve

Wir haben im vorigen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass die Fläche zwischen der x-Achse und dem Schaubild einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.

Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen v-t-Graph einzeichnen, können wir die drei unten dargestellten Fälle erhalten:


[Image]

[Image]

[Image]

Das Objekt bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit 5. Das Objekt bewegt sich zuerst mit der Geschwindigkeit 4 bis zur Zeit t = 3, wo es plötzlich die Geschwindigkeit 6 erhält. Die Geschwindigkeit wächst linear.

Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:

\displaystyle s(6) = 5\cdot 6 = 30\,\mbox{m},\quad

s(6) = 4\cdot 3 + 6\cdot 3 = 30\,\mbox{m},\quad s(6) = \frac{6\cdot 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}

In allen drei Fällen sehen wir, dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter dem Graph der Funktion entspricht.

Hier werden noch einige Beispiele gezeigt, was die Fläche unter einem Graph bedeuten kann.

Beispiel 1


[Image]

[Image]

[Image]

Eine Solarzelle mit der Leistung p liefert die Energie, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist. Die Kraft F die entlang einer Strecke wirkt, leistet die Arbeit, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist. Ein Kondensator, der mit dem Strom i geladen wird, enthält eine Ladung, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist.


B - Die Bezeichnung des Integrals

Um die Fläche unter einer Kurve zu beschreiben verwendet man das Integralzeichen \displaystyle \,\smallint\,.

Das Integral einer positiven Funktion \displaystyle f(x) von \displaystyle a bis \displaystyle b ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve \displaystyle y=f(x) und der x-Achse und zwischen zwei Vertikalen den Geraden \displaystyle x=a und \displaystyle x=b und wird wie folgt geschrieben:

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Die Zahlen \displaystyle a und \displaystyle b nennt man Integrationsgrenzen. Die Funktion \displaystyle f(x) nennt man Integrand und \displaystyle x nennt man die Integrationsvariable.

Beispiel 2

Die Fläche unter der Kurve \displaystyle y=f(x) von \displaystyle x=a bis \displaystyle x=c ist genauso groß wie die Fläche von \displaystyle x=a bis \displaystyle x=b plus die Fläche von \displaystyle x=b bis \displaystyle x=c. Dies bedeutet, dass
\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx

= \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

[Image]

Beispiel 3

Sei \displaystyle v(t) die Geschwindigkeit eines Gegenstandes in Abhängigkeit von der Zeit t. Die Strecke, die nach 10 s zurückgelegt wurde, ist gleich der Fläche unter dem Schaubild von \displaystyle v(t) zwischen 0 und 10, also gleich dem Integral von 0 bis 10.
\displaystyle s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}

Hinweis: Wir nehmen hier an, dass Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.

[Image]

Beispiel 4

Wasser fließt in einen Tank mit der Geschwindigkeit \displaystyle f(t) Liter/s zur Zeit \displaystyle t. Das Integral

\displaystyle \int_{9}^{10} f(t)\, dt

beschreibt, wie viel Wasser während der zehnten Sekunde in den Tank fließt.

Beispiel 5 Berechnen Sie das Integral

  1. \displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx.

    Das Integral ist dasselbe wie die Fläche unter der Kurve (Gerade) \displaystyle y=3 von \displaystyle x = 0 bis \displaystyle x = 4, also ein Rechteck mit der Grundseite 4 und der Höhe 3,
    \displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12\,\mbox{.}

[Image]

  1. \displaystyle \int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx.

    Das Integral ist die Fläche unter der Kurve \displaystyle y=x/2-1 von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 5, also ein Dreieck mit der Basis 3 und der Höhe 1.5
    \displaystyle \int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx = \frac{3 \cdot 1\textrm{.}5}{2} = 2\textrm{.}25\,\mbox{.}

[Image]

  1. \displaystyle \int_{0}^{a} kx \, dx\,\mbox{} \quad wobei \displaystyle k>0\,.

    Das Integral ist die Fläche unter der Geraden \displaystyle y=kx, von \displaystyle x = 0 bis \displaystyle x = a und daher ein Dreieck mit der Basis \displaystyle a und der Höhe \displaystyle ka
    \displaystyle \int_{0}^{\,a} kx\,dx = \frac{a \cdot ka}{2} = \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}

[Image]

C - Stammfunktionen und unbestimmte Integrale

Die Funktion \displaystyle F ist eine Stammfunktion von \displaystyle f falls \displaystyle F'(x) = f(x) in einen bestimmten Intervall. Falls \displaystyle F(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x) ist, ist es leicht zu sehen, dass auch \displaystyle F(x) + C eine Stammfunktion ist für eine beliebige Konstante \displaystyle C. Man kann auch zeigen, dass die Funktion \displaystyle F(x) + C alle möglichen Stammfunktionen von \displaystyle f(x) bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und man schreibt

\displaystyle \int f(x)\, dx\,\mbox{.}

Beispiel 6

  1. \displaystyle F(x) = x^3 + \cos x - 5 ist die Stammfunktion von \displaystyle f(x) = 3x^2 - \sin x, nachdem
    \displaystyle F'(x) = D\,(x^3+\cos x-5) = 3x^2-\sin x-0

    = f(x)\,\mbox{.}

  2. \displaystyle G(t) = e^{3t + 1} + \ln t ist die Stammfunktion von \displaystyle g(t)= 3 e^{3t + 1} + 1/t, weil
    \displaystyle G'(t) = D\,\bigl(e^{3t+1}+\ln t\bigr)

    = e^{3t+1}\cdot 3+\frac{1}{t} = g(t)\,\mbox{.}

  3. \displaystyle F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x + C\, ist eine Stammfunktion von \displaystyle f(x)=x^{3}-1, wobei \displaystyle C eine beliebige Konstante ist, weil
    \displaystyle F'(x)=D\,(\frac{1}{4}x^4 - x + C)=x^{3}-1=f(x)\mbox{.}

D - Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen

Wir wissen bereits, dass die Fläche unter einer Funktion dem Integral der Funktion entspricht.

Wir nehmen an, dass \displaystyle f stetig in einem Intervall ist. Der Wert des Integrals \displaystyle \ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ hängt dann von den Integrationsgrenzen \displaystyle a und \displaystyle b ab. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie \displaystyle x statt \displaystyle b ist, wird das Integral eine Funktion von \displaystyle x sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable \displaystyle t statt \displaystyle x:

[Image]

\displaystyle A(x) = \int_{a}^{\,x} f(t) \, dt\,\mbox{.}

Wir werden jetzt zeigen, dass \displaystyle A die Stammfunktion von \displaystyle f ist.

[Image]

Die gesamte Fläche under der Kurve von \displaystyle t=a bis \displaystyle t=x+h ist \displaystyle A(x+h) und ist ungefähr \displaystyle A(x) plus die Fläche des Rechtecks zwischen \displaystyle t=x und \displaystyle t=x+h, also

\displaystyle A(x+h)\approx A(x)+h\, f(c)

wo \displaystyle c eine Zahl zwischen \displaystyle x und \displaystyle x+h ist. Wir können den Ausdruck als

\displaystyle \frac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(c)\,\mbox{.}

schreiben. Lassen wir \displaystyle h \rightarrow 0, bekommen wir auf der linken Seite \displaystyle A'(x), und die rechte Seite wird \displaystyle f(x) und daher ist

\displaystyle A'(x) = f(x)\,\mbox{.}

Also ist die Funktion \displaystyle A(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x).


E - Integrale berechnen

Wir wollen mit Hilfe der Stammfunktionen das Integral berechnen. Wenn \displaystyle F eine Stammfunktion von \displaystyle f ist, dann ist

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C

Wenn \displaystyle b=a ist, ist die linke Seite null (Die Fläche unter dem Graphen der Funktion zwischen a und a). Darum muss die Konstante \displaystyle C so gewählt werden, dass für \displaystyle b=a die rechte Seite ebenfalls null ist. Also ergibt

\displaystyle \int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0

dass \displaystyle C=-F(a) sein muss. Wenn wir zusammenfassen, ergibt sich, dass

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt

= F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Wir können natürlich hier die Integrationsvariable \displaystyle x wählen und erhalten dann

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx

= F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Die Berechnung von Integralen erfolgt in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt gewöhnlich

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx

= \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}


Beispiel 7

Die Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion \displaystyle y=2x - x^2 und der x-Achse kann durch das Integral

\displaystyle \int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{}

berechnet werden. Nachdem \displaystyle x^2-x^3/3 die Stammfunktion des Integranden ist, ist das Integral

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align*}

Die Fläche ist also \displaystyle \frac{4}{3}.

[Image]

Hinweis: Das Integral hat keine Einheit, aber die Fläche kann eine Einheit haben.


F - Stammfunktionen

Um häufige Funktionen abzuleiten, gibt es generelle Ableitungsregeln. Die umgekehrte Rechenoperation durchzuführen ist aber viel komplizierter, nachdem es keine generellen Regeln für die Stammfunktionen gibt. In manchen Fällen kann man aber die Stammfunktionen bestimmen, indem man die Ableitung rückwärts ausführt: d.h. man sucht eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist.

Mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln erhalten wir folgende Stammfunktionen

Integral und Stammfunktion Begründung (durch Ableitung)
\displaystyle \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{für }\ n \ne -1 \displaystyle \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \right) = x^n
\displaystyle \int x^{-1} \, dx = \ln |x| + C \displaystyle \left( \ln |x| + C \right)^{\, \prime} = \frac{1}{|x|} \cdot \text{ sgn } (x) = \frac{1}{x} für \displaystyle x \not= 0
\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C \displaystyle D \left( e^x + C \right) = e^x
\displaystyle \int \cos x \, dx = \sin x + C \displaystyle \frac{d}{dx} \left( \sin x + C \right) = \cos x
\displaystyle \int \sin x \, dx = -\cos x + C \displaystyle \left( -\cos x + C \right)^{\, \prime} = \sin x

Beispiel 8

  1. \displaystyle \int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{4x^2}{2} - 7x + C
    \displaystyle \phantom{\int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx}{} = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + 2x^2 - 7x + C
  2. \displaystyle \int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx = \int \Bigl( 3x^{-2} - \frac{1}{2} x^{-3} \Bigr) dx = \frac{3x^{-1}}{-1} - \frac{1}{2} \, \frac{x^{-2}}{(-2)} + C
    \displaystyle \phantom{\int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx}{} = - 3x^{-1} + \tfrac{1}{4}x^{-2} + C = -\frac{3}{x} + \frac{1}{4x^2} + C\vphantom{\Biggl(}
  3. \displaystyle \int \frac{2}{3x} \,dx = \int \frac{2}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \tfrac{2}{3} \ln |x| + C
  4. \displaystyle \int ( e^x - \cos x - \sin x ) \, dx = e^x - \sin x + \cos x +C

G - Lineare Substitution

Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet, dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung einer solchen Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.

Beispiel 9

  1. \displaystyle \int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C
  2. \displaystyle \int \sin 5x \, dx = - \frac{ \cos 5x}{5} + C
  3. \displaystyle \int (2x +1)^4 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{5 \cdot 2} + C = \frac{(2x+1)^5}{10} + C

Beispiel 10

  1. \displaystyle \int \sin kx \, dx = - \frac{\cos kx}{k} + C
  2. \displaystyle \int \cos kx \, dx = \frac{\sin kx }{k} + C
  3. \displaystyle \int e^{kx} \, dx = \displaystyle \frac{e^{kx}}{k} + C

Diese Methode funktioniert also nur dann, wenn die innere Ableitung eine Konstante ist.


H - Integrationsregeln

Durch die Definition des Integrals, kann man einfach zeigen, dass:

1. \displaystyle \int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
Beim Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert das Integral das Vorzeichen.

2. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
Die Summe der Integrale (mit denselben Integrationsgrenzen) ist das Integral über die Summe der Integranden.

3. \displaystyle \int_{a}^{\,b} k \, f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
Das Integral über ein Vielfaches des Integranden ist das Vielfache des Integrals über den einfachen Integranden.

4. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}
Die Summe der Integrale mit demselben Integranden über direkt nebeneinander liegende Intervalle ist gleich dem Integral über das Gesamtinterval.

Außerdem haben Integrale, wo die Funktion negativ ist, ein negatives Vorzeichen, sind aber ansonsten gleich:

\displaystyle \begin{align*}A_1 &= \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx,\\[6pt] A_2 &= -\int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.} \end{align*}

[Image]

Die gesamte Fläche ist \displaystyle \ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,.

Hinweis: Der Wert eines Integrals kann sehr wohl negativ sein, nur die Fläche ist immer positiv.


Beispiel 11

  1. \displaystyle \int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} 2 \, dx =\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1+2) \, dx
    \displaystyle \qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggr)^2}
    \displaystyle \qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 2^4-2^3+2^2+3\cdot 2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2 + 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}
    \displaystyle \qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}
    2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 und y = x³ - 3x² + 2x + 3
    Das linke Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1. Das mittlere Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Funktion g(x) = 2. Das rechte Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Summe der beiden Funktionen, also f(x) + g(x).


  1. \displaystyle \int_{1}^{3} (x^2/2 - 2x) \, dx + \int_{1}^{3} (2x - x^2/2 + 3/2) \, dx = \int_{1}^{3} 3/2 \, dx
    \displaystyle \qquad{} = \Bigl[\,\tfrac{3}{2}x\,\Bigr]_{1}^{3} = \tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = 3

    [Image]

    Die Funktion f(x) = x²/2 - 2x (siehe linkes Bild) und die Funktion g(x) = 2x - x²/2 + 3/2 (siehe mittleres Bild) sind Spiegelungen voneinander in der Geraden y = 3/4.

    Also ist die Summe f(x) + g(x) = 3/2, also eine Konstante. Daher ist das Integral der Summe ein Rechteck mit der Grundseite  2 und der Höhe  3/2 (siehe rechtes Bild).


  1. \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \qquad{}= \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx = \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \qquad{}= \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = \tfrac{2}{3}(3 - \ln 2) = 2 - \tfrac{2}{3}\ln 2


  1. \displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2} = \bigl(\tfrac{8}{3} - 2\bigr) - \bigl(\tfrac{-1}{3} + 1 \bigr) = 0

    [Image]

    Die Figur zeigt die Funktion f(x) = x² - 1 und die Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen.


I - Die Fläche zwischen Funktionen

Wenn \displaystyle f(x) \ge g(x) in einem Intervall \displaystyle a\le x\le b ist, ist die Fläche zwischen den beiden Funktionen in diesem Intervall

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx

- \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}

oder vereinfacht

\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\,\mbox{.}

[Image]

Wenn f(x) und g(x) beide positiv sind und f(x) größer ist als g(x), ist die Fläche zwischen f und g (siehe linkes Bild), der Unterschied in Fläche von den Flächen unter den Schaubildern der Funktionen f (siehe mittleres Bild) und g (siehe rechtes Bild).

Es ist egal, ob \displaystyle f(x) < 0 oder \displaystyle g(x) < 0 so lange \displaystyle f(x) \ge g(x). Der Wert der Fläche ist unabhängig davon, ob die Funktionen positiv oder negativ sind. Dies wird aus folgenden Bildern ersichtlich:

[Image]

Die Fläche zwischen den beiden Graphen der Funktionen ändert sich nicht wenn wir beide Funktionen in die y-Richtung verschieben. Die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) und g(x) ist dasselbe wie die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) - 3 und g(x) - 3 (siehe mittleres Bild), als auch zwischen den Funktionen f(x) - 6 und g(x) - 6 (siehe rechtes Bild).

Beispiel 12

Berechne die Fläche zwischen den Kurven \displaystyle y=e^x + 1 und \displaystyle y=1 - \frac{x^2}{2} und den Geraden \displaystyle x = –1 und \displaystyle x = 1.

Da \displaystyle e^x + 1 > 1 - \frac{x^2}{2} im ganzen Intervall gilt, berechnen wir die die Fläche so:

\displaystyle \begin{align*} &\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr)\vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \end{align*}

[Image]

Beispiel 13

Berechne die Fläche des endlichen Gebietes zwischen den Graphen der Funktionen \displaystyle y= x^2 und \displaystyle y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}.

Die Schnittpunkte der Kurven erhalten wir, wenn deren y-Werte gleich sind,

\displaystyle \begin{align*} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{oder}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align*}
Zwischen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=1 ist \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2 und wir berechnen die Fläche zwischen den Kurven als
\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx &= \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1}\\

&{}= \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &{}= \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3} - (0-0)\\[4pt] &{}= \tfrac{5}{12}\ \end{align*}

[Image]

Beispiel 14

Berechne die Fläche des begrenzten Gebietes zwischen den Graphen der Funktionen \displaystyle y=\frac{1}{x^2}, \displaystyle y=x und \displaystyle y = 2.

In der Abbildung sehen wir, dass die Funktionen unser Gebiet in zwei Teilgebiete \displaystyle A_1 und \displaystyle A_2 aufteilen. Die Fläche des gesamten Gebiets ist die Summe der Flächen der beiden Teilgebiete,

\displaystyle A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx

\quad\text{und}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}

Wir suchen zuerst die Schnittstellen \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=c:

[Image]

  • Die Schnittstelle \displaystyle x=a erhalten wir durch die Gleichung
\displaystyle \frac{1}{x^2} = 2

\quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \, \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}

(Die negative Wurzel ist für uns uninteressant.)
  • Die Schnittstelle \displaystyle x=b erhalten wir durch die Gleichung
\displaystyle \frac{1}{x^2} = x

\quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}

  • Die Schnittstelle \displaystyle x=c erhalten wir durch die Gleichung \displaystyle x = 2.

Das Integral ist also

\displaystyle \begin{align*} A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}\\[4pt] &= \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} = (2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\\[4pt] A_2 &= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{}

\end{align*}

und die Fläche ist

\displaystyle A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2} - 2\sqrt{2}\ .



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