Lösung 1.3:4

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Die Fläche des Rechteckes ist
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Die Fläche des Rechtecks ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)\,.</math>}}
Wir wollen diese Fläche maximieren.
Wir wollen diese Fläche maximieren.
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Wir sehen dass <math>P</math> in der ersten Quadranten liegen muss, <math>x\ge 0</math>, also <math>y=1-x^2\ge 0</math>, wir erhalten damit, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das Maximu von<math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.
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Wir sehen, dass <math>P</math> im ersten Quadranten liegen muss. Also <math>x\ge 0</math> und <math>y=1-x^2\ge 0</math>. Wir wissen nun, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das Maximum von <math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.
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Lokale Extrempunkte der Fläche sind entweder:
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Lokale Extremstelle der Fläche sind entweder:
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# stationäre Punkte, mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# Singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# Endpunkte.
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# Randstellen.
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Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Endpunkte <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extrempunkte sein (offenbar lokale Minima).
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Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Randstellen <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extremstellen sein (offenbar lokale Minima).
Die Ableitung der Funktion ist
Die Ableitung der Funktion ist
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{{Abgesetzte Formel||<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,</math>}}
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und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären Punkte. Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.
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und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären Stellen. <br> Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.
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Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat im stationären Punkt den Wert
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Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat in der stationären Stelle den Wert
{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}
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also ist <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.
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also hat die Flächenfunktion an der Stelle <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.
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Also ist der optimale Punkt <math>P</math>:
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Also ist der optimale Punkt <math>P</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir nennen die x-Koordinate des Punktes \displaystyle P \displaystyle x. Die y-Koordinate ist dann \displaystyle 1-x^{2}, da \displaystyle P auf der Kurve \displaystyle y=1-x^{2} liegt.

Die Fläche des Rechtecks ist

\displaystyle A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)\,.

Wir wollen diese Fläche maximieren.

Wir sehen, dass \displaystyle P im ersten Quadranten liegen muss. Also \displaystyle x\ge 0 und \displaystyle y=1-x^2\ge 0. Wir wissen nun, dass \displaystyle x\le 1 ist. Also suchen wir das Maximum von \displaystyle A(x) im Bereich \displaystyle 0\le x\le 1\,.


Lokale Extremstelle der Fläche sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Randstellen.

Die Funktion \displaystyle A(x) = x(1-x^2) ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Randstellen \displaystyle A(0) = A(1) = 0\, können aber lokale Extremstellen sein (offenbar lokale Minima).

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,

und wir erhalten die Gleichung \displaystyle x=\pm 1/\!\sqrt{3} für die stationären Stellen.
Nur die Lösung \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} erfüllt aber \displaystyle 0\le x\le 1.

Die zweite Ableitung \displaystyle A''(x)=-6x hat in der stationären Stelle den Wert

\displaystyle A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,

also hat die Flächenfunktion an der Stelle \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} ein lokales Maximum.

Also ist der optimale Punkt \displaystyle P

\displaystyle P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}
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