Lösung 1.3:3e
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder: | Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder: | ||
| - | # stationäre Punkte | + | # stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>, |
| - | # | + | # singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder |
# Endpunkte. | # Endpunkte. | ||
| - | Wir untersuchen die einzelnen Fälle | + | Wir untersuchen die einzelnen Fälle. |
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f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt] | f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt] | ||
&= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt] | &= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt] | ||
| - | &= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{ | + | &= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| - | \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\ | + | \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,\\[5pt] |
| - | \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\ | + | \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\\[5pt] |
| - | x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\ | + | x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\, |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Also ist <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide | + | Also ist <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li> |
| - | <li>Die Funktion besteht aus | + | <li>Die Funktion besteht aus einem Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. Da beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li> |
| - | <li>Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche | + | <li>Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokale Extrempunkte betrachten.</li> |
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Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> und <math>x=3</math> einen lokalen Extrempunkt haben. | Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> und <math>x=3</math> einen lokalen Extrempunkt haben. | ||
| - | Wir | + | Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um diese Punkte zu bestimmen. |
Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen. | Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen. | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,</math>,}} |
| - | + | da <math>x^2+x-2</math> die Wurzeln <math>x=-2</math> und <math>x=1</math> hat. | |
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| - | Die Funktion hat also lokale Minima | + | Die Funktion hat also lokale Minima an den Stellen <math>x=-3</math> und <math>x=1</math> und lokale Maxima an den Stellen <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>. |
Aktuelle Version
Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
- stationäre Punkte mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
- singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
- Endpunkte.
Wir untersuchen die einzelnen Fälle.
- Wir erhalten die stationären Punkte, indem wir die Nullstellen der Ableitung bestimmen.
\displaystyle \begin{align} f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt] &= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt] &= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{} \end{align}
Die Ableitung ist null, wenn \displaystyle x^2+x-2=0 null ist, da \displaystyle e^x immer größer als null ist. Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.
Also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2 und \displaystyle x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1. Beide Punkte liegen im Intervall \displaystyle -3\le x\le 3\,.\displaystyle \begin{align} \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,\\[5pt] \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\\[5pt] x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\, \end{align}
- Die Funktion besteht aus einem Polynom \displaystyle x^2-x-1 multipliziert mit einer Exponentialfunktion \displaystyle e^x. Da beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.
- Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokale Extrempunkte betrachten.
Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten \displaystyle x=-3, \displaystyle x=-2, \displaystyle x=1 und \displaystyle x=3 einen lokalen Extrempunkt haben.
Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um diese Punkte zu bestimmen.
Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,, |
da \displaystyle x^2+x-2 die Wurzeln \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=1 hat.
| \displaystyle x | \displaystyle -3 | \displaystyle -2 | \displaystyle 1 | \displaystyle 3 | |||
| \displaystyle x+2 | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
| \displaystyle x-1 | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | \displaystyle + |
| \displaystyle e^x | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + | \displaystyle + |
Das Vorzeichen der Ableitung ist das Produkt der Faktoren oben.
| \displaystyle x | \displaystyle -3 | \displaystyle -2 | \displaystyle 1 | \displaystyle 3 | |||
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + | ||
| \displaystyle f(x) | \displaystyle 11e^{-3} | \displaystyle \nearrow | \displaystyle 5e^{-2} | \displaystyle \searrow | \displaystyle -e | \displaystyle \nearrow | \displaystyle 5e^3 |
Die Funktion hat also lokale Minima an den Stellen \displaystyle x=-3 und \displaystyle x=1 und lokale Maxima an den Stellen \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=3.
