Lösung 1.3:2c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Lokale | + | Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder: |
| - | # stationäre | + | # stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>, |
| - | # | + | # singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder |
| - | # | + | # Randstellen. |
| - | Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert | + | Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extremstellen, die die Bedingungen 2 und 3 erfüllen. |
Die Ableitung null gesetzt, ergibt folgende Gleichung | Die Ableitung null gesetzt, ergibt folgende Gleichung | ||
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| - | Die Funktion hat also die stationären | + | Die Funktion hat also die stationären Stellen <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>. |
| - | Wir erstellen eine Vorzeichentabelle | + | Wir erstellen eine Vorzeichentabelle und erhalten so die Extremstellen. |
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| - | Die Funktion hat also ein lokales Maximum | + | Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=-2</math> und ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=1</math>. |
| - | Berechnen wir die Funktionswerte | + | Berechnen wir die Funktionswerte von einigen Stellen, können wir mit Hilfe der Vorzeichentabelle die Funktion zeichnen. |
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Aktuelle Version
Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
- stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
- singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
- Randstellen.
Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extremstellen, die die Bedingungen 2 und 3 erfüllen.
Die Ableitung null gesetzt, ergibt folgende Gleichung
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 6x^2+6x-12 = 0\,\textrm{.} |
Dividieren wir durch 6 erhalten wir durch quadratische Ergänzung
| \displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 = 0\,\textrm{.} |
Und wir erhalten die Gleichung
| \displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4} |
mit den Lösungen
| \displaystyle \begin{align}
x &= -\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2}-\frac{3}{2} = -2\,,\\[5pt] x &= -\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2}+\frac{3}{2} = 1\,\textrm{.} \end{align} |
Die Funktion hat also die stationären Stellen \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=1.
Wir erstellen eine Vorzeichentabelle und erhalten so die Extremstellen.
| \displaystyle x | \displaystyle -2 | \displaystyle 1 | |||
| \displaystyle f^{\,\prime}(x) | \displaystyle + | \displaystyle 0 | \displaystyle - | \displaystyle 0 | \displaystyle + |
| \displaystyle f(x) | \displaystyle \nearrow | \displaystyle 21 | \displaystyle \searrow | \displaystyle -6 | \displaystyle \nearrow |
Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=-2 und ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=1.
Berechnen wir die Funktionswerte von einigen Stellen, können wir mit Hilfe der Vorzeichentabelle die Funktion zeichnen.
