Lösung 2.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wir sehen hier, dass der Zähler <math>\sin x</math> (fast) die Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution <math>u=\cos x</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx
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&= \left\{\begin{align}
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u &= \cos x\\[5pt]
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du &= (\cos x)'\,dx = -\sin x\,dx
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&= -\int\frac{du}{u}\\[5pt]
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&= -\ln |u| + C\\[5pt]
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&= -\ln |\cos x| + C
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Hinweis: <math>-\ln \left| \cos x \right|+C</math> ist nur eine Stammfunktion, wenn <math>\cos x\ne 0</math>.

Aktuelle Version

Durch die Definition von \displaystyle \tan x erhalten wir

\displaystyle \int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\,.

Wir sehen hier, dass der Zähler \displaystyle \sin x (fast) die Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution \displaystyle u=\cos x.

\displaystyle \begin{align}

\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= \cos x\\[5pt] du &= (\cos x)'\,dx = -\sin x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= -\int\frac{du}{u}\\[5pt] &= -\ln |u| + C\\[5pt] &= -\ln |\cos x| + C \end{align}


Hinweis: \displaystyle -\ln \left| \cos x \right|+C ist nur eine Stammfunktion, wenn \displaystyle \cos x\ne 0.

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