3.4 Komplexe Polynome

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Polynomdivision ausführen.
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* Wie man die Polynomdivision ausführt.
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* Das Verhältnis zwischen den Faktoren und Nullstellen eines Polynomes verstehen.
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* In welchem Verhältnis die Faktoren und Nullstellen eines Polynomes stehen.
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* Wissen, dass ein Polynom mit Grad ''n'', ''n'' Nullstellen hat.
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* Ein Polynom mit Grad ''n'' hat ''n'' Nullstellen.
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* Wissen, dass Polynome mit reellen Koeffizienten konjugiert komplexe Nullstellen haben.
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* Polynome mit reellen Koeffizienten haben konjugiert komplexe Nullstellen.
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}}
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== Polynome ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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== A - Polynome ==
Ausdrücke in der Form
Ausdrücke in der Form
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{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math> ,}}
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wo <math>n</math> eine ganze Zahl ist, nennt man ''Polynome'' mit dem Grad <math>n</math> und der Variable <math>x</math>. Die Zahl <math>a_1</math> ist der Koeffizient von <math>x</math>, <math>a_2</math> ist der Koeffizient von <math>x^2</math>, etc. Die Zahl <math>a_0</math> ist die Konstante des Polynoms.
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wobei <math>n</math> eine ganze Zahl ist, nennt man ''Polynome'' vom Grad <math>n</math> und der Variable <math>x</math>. Die Zahl <math>a_1</math> ist der Koeffizient von <math>x</math>, <math>a_2</math> ist der Koeffizient von <math>x^2</math>, etc. Die Zahl <math>a_0</math> ist die Konstante des Polynoms.
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Polynome haben viele Eigenschaften gemeinsam mit den ganzen Zahlen und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.
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Polynome haben mit den ganzen Zahlen viele Eigenschaften gemein und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.
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''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
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Vergleichen Sie folgende Zahl in der Basis 10,
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Vergleiche folgende Zahl in der Basis 10
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{{Abgesetzte Formel||<math>1353= 1\times 10^3 + 3\times 10^2 + 5\times 10 + 3</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3</math> .}}
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Mit dem Polynom <math>x</math>
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mit dem Polynom <math>p(x)</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\times x^3 + 3\times x^2 + 5\times x + 3</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3</math>}}
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und die folgenden Divisionen,
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und dann den folgenden Divisionen
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*<math>\quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad</math> nachdem <math>\ 1353= 123\times 11\,</math>,
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*<math>\quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad</math> da <math>\ 1353= 123\cdot 11\,</math>,
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*<math>\quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad</math> nachdem <math>\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,</math>.
+
*<math>\quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad</math> da <math>\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,</math>.
</div>
</div>
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Wenn <math>p(x)</math> ein Polynom mit dem Grad <math>n</math> ist, ist <math>p(x)=0</math> eine ''Polynomgleichung'' mit dem Grad <math>n</math>. Falls <math>p(a)=0</math> für die Zahl <math>x=a</math>, nennt man <math>x=a</math> eine ''Wurzel'' oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
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Wenn <math>p(x)</math> ein Polynom vom Grad <math>n</math> ist, ist <math>p(x)=0</math> eine ''Polynomgleichung'' vom Grad <math>n</math>. Falls <math>p(a)=0</math> für die Zahl <math>x=a</math>, nennt man <math>x=a</math> eine ''Wurzel'' oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
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Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Dies ist wie bei den ganzen Zahlen, wo zum Beispiel
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Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Es ist wie bei den ganzen Zahlen, zum Beispiel
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}
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Man kann auch schreiben, dass <math>\ 37= 7\times 5+2\,</math>. Die Zahl 7 wird ''Quotient'' benannt, und die Zahl 2 wird der ''Rest'' genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.
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Man kann auch schreiben, dass <math>\ 37= 7\cdot 5+2\,</math>. Die Zahl 7 wird ''Quotient'' genannt, und die Zahl 2 wird der ''Rest'' genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.
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Gleichermassen gilt , dass wenn <math>p(x)</math> und <math>q(x)</math> Polynome sind, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> dividieren, und die Polynome <math>k(x)</math> und <math>r(x)</math> bestimmen, sodass
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Gleichermassen gilt, dass wenn <math>p(x)</math> und <math>q(x)</math> Polynome sind, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> dividieren und die Polynome <math>k(x)</math> und <math>r(x)</math> bestimmen, sodass
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)} </math>}}
oder <math>\ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,</math>. Man sagt hier, dass <math>k(x)</math> der Quotient ist, und <math>r(x)</math> der Rest.
oder <math>\ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,</math>. Man sagt hier, dass <math>k(x)</math> der Quotient ist, und <math>r(x)</math> der Rest.
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Falls der Rest null wird, also wenn <math>r(x)=0</math> sagt man, dass <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilbar ist, oder dass <math>q(x)</math> ein ''Teiler'' von <math>p(x)</math> ist. Dies schreibt man
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Falls der Rest null wird, also wenn <math>r(x)=0</math>, sagt man, dass <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilbar ist oder, dass <math>q(x)</math> ein ''Teiler'' von <math>p(x)</math> ist. Man Schreibt
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x) </math>}}
oder <math>\ p(x) = k(x)\, q(x)\,</math>.
oder <math>\ p(x) = k(x)\, q(x)\,</math>.
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== Polynomdivision ==
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== B - Polynomdivision ==
Wenn <math>p(x)</math> einen Grad hat, der höher als der Grad von <math>q(x)</math> ist, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Vielfache von <math>q(x)</math> von <math>p(x)</math> abzieht bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners <math>q(x) ist.</math>.
Wenn <math>p(x)</math> einen Grad hat, der höher als der Grad von <math>q(x)</math> ist, kann man <math>p(x)</math> durch <math>q(x)</math> teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Vielfache von <math>q(x)</math> von <math>p(x)</math> abzieht bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners <math>q(x) ist.</math>.
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Berechnen Sie <math>\ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,</math> durch Polynomdivision.
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Berechne <math>\ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,</math> durch Polynomdivision.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
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Jetzt ist es offenbar, dass <math>x^3+2x^2</math>als <math>x^2(x+2)</math> geschrieben werden kann, und dass wir den Faktor <math>(x+2)</math> kürzen können
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Dieser Term ist so gewählt, weil <math>x^3+2x^2</math>als <math>x^2(x+2)</math> geschrieben werden kann und wir dadurch den Faktor <math>(x+2)</math> kürzen können.
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
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Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden <math>x</math>-Term vom Zähler, sodass wir den <math>x^2</math>-Term beseitigen,
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Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden <math>x</math>-Term im Zähler, sodass wir den <math>x^2</math>-Term beseitigen
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante zum/vom Zähler
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Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante im Zähler
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
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Der Quotient ist also <math>x^2 -x + 1</math> und der Rest ist <math>2</math>. Nachdem der Rest nicht null ist, ist <math>q(x)= x+2</math> nicht ein Teiler von <math>p(x)=x^3 + x^2 -x +4</math>.
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Der Quotient ist also <math>x^2 -x + 1</math> und der Rest ist <math>2</math>. Da der Rest nicht null ist, ist <math>q(x)= x+2</math> kein Teiler von <math>p(x)=x^3 + x^2 -x +4</math>.
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Analog zur schriftlichen Division kann man diese Rechnung auch abgekürzt schreiben:
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<math>\phantom{-}(x^3 +\phantom{(2} x^2 -\phantom{2} x +4):(x+2) = x^2 -x +1 + \frac{2}{x+2}</math>
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<math>\underline{-(x^3+\phantom{(} 2x^2)}</math>
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<math>\phantom{-(x^3 (2} - x^2 -\phantom{2} x</math>
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<math>\phantom{-(x^3}\underline{-(-x^2 -2x)}</math>
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<math>\phantom{-(x^3+2 x^2 -2}x +4</math>
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<math>\phantom{-(x^3+2 x^2 } \underline{-( \phantom{2}x+2)}</math>
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<math> \phantom{-(x^3+2 x^2 +2x+}2</math>
</div>
</div>
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==Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen ==
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== C - Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen ==
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Wenn <math>q(x)</math> ein Teiler von <math>p(x)</math> ist, ist <math>p(x)=k(x)\, q(x)</math>. Wir haben <math>p(x)</math> also ''faktorisiert''. Man sagt, dass <math>q(x)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math> ist. Das gilt insbesonders, wenn ein Polynom <math>(x-a)</math> mit dem Grad 1 ein Teiler von <math>p(x)</math> dann ist <math>(x-a)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math> , also
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Wenn <math>q(x)</math> ein Teiler von <math>p(x)</math> ist, ist <math>p(x)=k(x)\, q(x)</math>. Wir haben <math>p(x)</math> also ''faktorisiert''. Man sagt, dass <math>q(x)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math> ist. Besonders
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wenn ein Polynom <math>(x-a)</math> mit dem Grad 1 ein Teiler von <math>p(x)</math> ist, dann ist <math>(x-a)</math> ein Faktor von <math>p(x)</math>, also
{{Abgesetzte Formel||<math>p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.}</math>}}
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Nachdem <math>\ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ </math> bedeutet dies dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
+
Da <math>\ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ </math>, bedeutet dies, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
<div class="regel">
<div class="regel">
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<math>(x-a)</math> ist ein Teiler vom Polynom <math>p(x)</math> genau dann wenn <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
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<math>(x-a)</math> ist ein Teiler vom Polynom <math>p(x)</math> genau dann, wenn <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist.
</div>
</div>
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Beachten Sie dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wissen wir dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist, wissen wir also auch dass <math>p(x)</math> durch <math>(x-a)</math> teilbar ist.
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Beachten Sie, dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wenn wir wissen, dass <math>x=a</math> eine Nullstelle von <math>p(x)</math> ist, wissen wir also auch, dass <math>p(x)</math> durch <math>(x-a)</math> teilbar ist.
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Das Polynom <math>p(x) = x^2-6x+8</math> kann wie
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Das Polynom <math>p(x) = x^2-6x+8</math> kann so
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)</math>}}
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in Faktoren zerlegt werden, und hat daher die Nullstellen <math>x=2</math> und <math>x=4</math> (und keine anderen Nullstellen).Dies sind genau die Nullstellen die wir erhalten wenn wir die Gleichung <math>\ x^2-6x+8 = 0\,</math> lösen.
+
in Faktoren zerlegt werden und hat daher die Nullstellen <math>x=2</math> und <math>x=4</math> (und keine anderen Nullstellen). Dies sind genau die Nullstellen, die wir erhalten, wenn wir die Gleichung <math>\ x^2-6x+8 = 0\,</math> lösen.
</div>
</div>
Zeile 143: Zeile 162:
<ol type="a">
<ol type="a">
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<li> Zerlegen Sie das Polynom <math>\ x^2-3x-10\,</math> in seine Faktoren.
+
<li> Zerlege das Polynom <math>\ x^2-3x-10\,</math> in seine Faktoren.
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<br>
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{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}</math>}}
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also. <math>x=-2</math> und <math>x=5</math>. Daher ist <math>\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,</math>.
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also <math>x=-2</math> und <math>x=5</math>. Daher ist <math>\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,</math>.
</li>
</li>
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<li> Zerlegen Sie das Polynom <math>\ x^2+6x+9\,</math> in seine Faktoren.
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<li> Zerlege das Polynom <math>\ x^2+6x+9\,</math> in seine Faktoren.
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Dieses Polynom hat eine doppelte Wurzel
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Dieses Polynom hat eine doppelte Nullstelle
{{Abgesetzte Formel||<math>x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3</math>}}
Zeile 163: Zeile 182:
</li>
</li>
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<li>Zerlegen Sie das Polynom <math>\ x^2 -4x+5\,</math> in seine Faktoren.
+
<li>Zerlege das Polynom <math>\ x^2 -4x+5\,</math> in seine Faktoren.
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<br>
Zeile 170: Zeile 189:
{{Abgesetzte Formel||<math>x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i</math>}}
-
und die Faktoren sind also <math>\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,</math>.
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und die Faktoren sind daher<math>\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,</math>.
</li>
</li>
Zeile 181: Zeile 200:
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Bestimmen Sie ein kubisches Polynom mit den Nullstellen <math>1</math>, <math>-1</math> und <math>3</math>.
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Bestimme ein kubisches Polynom mit den Nullstellen <math>1</math>, <math>-1</math> und <math>3</math>.
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Das Polynom hat die Faktoren <math>(x-1)</math>, <math>(x+1)</math> und <math>(x-3)</math>. Multiplizieren wir diese Faktoren, erhalten wir das ersuchte Polynom
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Das Polynom hat die Faktoren <math>(x-1)</math>, <math>(x+1)</math> und <math>(x-3)</math>. Multiplizieren wir diese Faktoren, erhalten wir das gesuchte Polynom
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 191: Zeile 210:
-
== Fundamentalsatz der Algebra ==
+
== D - Fundamentalsatz der Algebra ==
-
Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt um quadratische Gleichungen wie <math>x^2=-1</math> zu lösen. Wir können uns fragen ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann, oder ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist dass die komplexe Zahlen ausreichend sind. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss zeigte im Jahr 1799 das ''Fundamentalsatz der Algebra'':
+
Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt, um quadratische Gleichungen wie <math>x^2=-1</math> zu lösen. Wir können uns fragen, ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann oder, ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist, dass die komplexen Zahlen ausreichen. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bewies im Jahr 1799 den ''Fundamentalsatz der Algebra'':
<div class="regel">
<div class="regel">
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</div>
</div>
-
Nachdem aber jede Nullstelle einen Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:
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Da aber jede Nullstelle einem Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:
<div class="regel">
<div class="regel">
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Jedes Polynom mit dem grad <math>n\ge1</math> hat genau <math>n</math> Nullstellen wenn man jede Nullstelle mit seiner Multiplizität rechnet.
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Jedes Polynom mit dem Grad <math>n\ge1</math> hat genau <math>n</math> Nullstellen, wenn man jede Nullstelle mit seiner Multiplizität rechnet.
</div>
</div>
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(Multiplizität bedeutet dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache nullstelle dreimal. etc.)
+
(Multiplizität bedeutet, dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache Nullstelle dreimal, etc.)
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Beachten Sie dass der Satz nur sagt dass die komplexe Nullstellen existieren, und nicht wie man sie findet. Im allgemeinen ist es sehr schwierig die Nullstellen eines Polynomes zu finden. Wenn man die Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten sucht, kann man benutzen dass die Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auftreten.
+
Beachten Sie, dass der Satz nur sagt, dass komplexe Nullstellen existieren und nicht, wie man sie findet. Im Allgemeinen ist es sehr schwierig, die Nullstellen eines Polynomes zu finden. Wenn man die Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten sucht, hilft uns das Wissen, dass die Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auftreten.
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Zeigen Sie dass das Polynom <math>p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5</math> die Nullstellen <math>x=i</math> und <math>x = 2-i</math> hat. Bestimmen Sie dadurch alle Nullstellen.
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Zeige, dass das Polynom <math>p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5</math> die Nullstellen <math>x=i</math> und <math>x = 2-i</math> hat. Bestimme damit alle Nullstellen.
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Wir haben dass
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Gegeben ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
Zeile 234: Zeile 253:
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Nachdem das Polynom reelle Koeffizienten hat, können wir direkt sagen dass die anderen Nullstellen die konjugiert komplexen Nullstellen sind, also <math>z=-i</math> und <math>z=2+i</math>.
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Da das Polynom reelle Koeffizienten hat, können wir direkt sagen, dass die anderen Nullstellen die konjugiert komplexen Nullstellen sind, also <math>z=-i</math> und <math>z=2+i</math>.
</div>
</div>
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Eine Folges des Fundamentalsatz der Algebra ist dass alle Polynome in lineare komplexe Faktoren zerlegt werden können. Dies gilt natürlich auch für Polynome mit reellen Koeffizienten, nur können wir dann die konjugiert komplexen Faktoren, zu reellen quadratischen Faktoren multiplizieren. Das Polynom wird in diesem Fall aus linearen und quadratischen Faktoren bestehen.
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Eine Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra ist, dass alle Polynome in lineare komplexe Faktoren zerlegt werden können. Dies gilt natürlich auch für Polynome mit reellen Koeffizienten, nur können wir dann die konjugiert komplexen Faktoren zu reellen quadratischen Faktoren multiplizieren. Das Polynom wird in diesem Fall aus linearen und quadratischen Faktoren bestehen.
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''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
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Zeige, dass <math>x=1</math> eine Nullstelle von <math>p(x)= x^3+x^2-2</math> ist. Zerlegen Sie danach <math>p(x)</math> in reelle Polynome und zerlegen sie dann <math>p(x)</math> in lineare Faktoren.
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Zeigen Sie dass <math>x=1</math> eine Nullstelle von <math>p(x)= x^3+x^2-2</math> ist. Zerlegen Sie danach <math>p(x)</math> in reelle Polynome, und zerlegen sie dann schließlich <math>p(x)</math> in lineare Faktoren.
 
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Da <math>\ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ </math>, ist <math>x=1</math> eine Nullstelle des Polynoms. Laut dem Fundamentalsatz der Algebra ist daher <math>x-1</math> ein Faktor von <math>p(x)</math>, also ist <math>p(x)</math> durch <math>x-1</math> teilbar. Wir teilen daher <math>p(x)</math> durch <math>x-1</math>
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Nachdem <math>\ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ </math> ist <math>x=1</math> eine Nullstelle des Polynoms. Laut den Fundamentalsatz der Algebra ist daher <math>x-1</math> ein Faktor von <math>p(x)</math>, also ist <math>p(x)</math> durch <math>x-1</math> teilbar. Wir teilen daher <math>p(x)</math> durch <math>x-1</math>,
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Also ist <math>\ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,</math>, und dies ist die Antwort der ersten Frage.
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Also ist <math>\ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,</math>. Das ist die Antwort auf die erste Frage.
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i</math>}}
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und daher hat das Polynom die komplexen, linearen Faktoren;
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und daher hat das Polynom die komplexen linearen Faktoren
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
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Inhalt:

  • Polynomdivision
  • Fundamentalsatz der Algebra

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man die Polynomdivision ausführt.
  • In welchem Verhältnis die Faktoren und Nullstellen eines Polynomes stehen.
  • Ein Polynom mit Grad n hat n Nullstellen.
  • Polynome mit reellen Koeffizienten haben konjugiert komplexe Nullstellen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Polynome

Ausdrücke in der Form

\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0 ,

wobei \displaystyle n eine ganze Zahl ist, nennt man Polynome vom Grad \displaystyle n und der Variable \displaystyle x. Die Zahl \displaystyle a_1 ist der Koeffizient von \displaystyle x, \displaystyle a_2 ist der Koeffizient von \displaystyle x^2, etc. Die Zahl \displaystyle a_0 ist die Konstante des Polynoms.


Polynome haben mit den ganzen Zahlen viele Eigenschaften gemein und sind deshalb in der Mathematik höchst interessant.


Beispiel 1

Vergleiche folgende Zahl in der Basis 10

\displaystyle 1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3 .

mit dem Polynom \displaystyle p(x)

\displaystyle x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3

und dann den folgenden Divisionen

  • \displaystyle \quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad da \displaystyle \ 1353= 123\cdot 11\,,
  • \displaystyle \quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad da \displaystyle \ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,.

Wenn \displaystyle p(x) ein Polynom vom Grad \displaystyle n ist, ist \displaystyle p(x)=0 eine Polynomgleichung vom Grad \displaystyle n. Falls \displaystyle p(a)=0 für die Zahl \displaystyle x=a, nennt man \displaystyle x=a eine Wurzel oder Lösung der Gleichung. Man sagt auch, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

Das Beispiel zeigt, dass Polynome wie ganze Zahlen dividiert werden können. Meistens erhält man nach einer Polynomdivision nicht ein ganzes Polynom. Es ist wie bei den ganzen Zahlen, zum Beispiel

\displaystyle \frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}

Man kann auch schreiben, dass \displaystyle \ 37= 7\cdot 5+2\,. Die Zahl 7 wird Quotient genannt, und die Zahl 2 wird der Rest genannt. Man sagt, dass die Division von 37 durch 5 den Quotienten 7 und den Rest 2 ergibt.


Gleichermassen gilt, dass wenn \displaystyle p(x) und \displaystyle q(x) Polynome sind, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) dividieren und die Polynome \displaystyle k(x) und \displaystyle r(x) bestimmen, sodass

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}

oder \displaystyle \ p(x)= k(x)\, q(x)+r(x)\,. Man sagt hier, dass \displaystyle k(x) der Quotient ist, und \displaystyle r(x) der Rest.

Falls der Rest null wird, also wenn \displaystyle r(x)=0, sagt man, dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilbar ist oder, dass \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist. Man Schreibt

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)

oder \displaystyle \ p(x) = k(x)\, q(x)\,.


B - Polynomdivision

Wenn \displaystyle p(x) einen Grad hat, der höher als der Grad von \displaystyle q(x) ist, kann man \displaystyle p(x) durch \displaystyle q(x) teilen. Dies kann man zum Beispiel machen, indem man Vielfache von \displaystyle q(x) von \displaystyle p(x) abzieht bis der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners \displaystyle q(x) ist..


Beispiel 2


Berechne \displaystyle \ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\, durch Polynomdivision.


Der erster Schritt ist, dass wir einen passenden \displaystyle x^2-Term zum Zähler addieren und subtrahieren

\displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}

Dieser Term ist so gewählt, weil \displaystyle x^3+2x^2als \displaystyle x^2(x+2) geschrieben werden kann und wir dadurch den Faktor \displaystyle (x+2) kürzen können.

\displaystyle \frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}

Jetzt addieren und subtrahieren wir einen passenden \displaystyle x-Term im Zähler, sodass wir den \displaystyle x^2-Term beseitigen

\displaystyle \begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}

Im letzten Schritt addieren und subtrahieren wir eine Konstante im Zähler

\displaystyle x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}

und wir erhalten

\displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}


Der Quotient ist also \displaystyle x^2 -x + 1 und der Rest ist \displaystyle 2. Da der Rest nicht null ist, ist \displaystyle q(x)= x+2 kein Teiler von \displaystyle p(x)=x^3 + x^2 -x +4.

Analog zur schriftlichen Division kann man diese Rechnung auch abgekürzt schreiben:

\displaystyle \phantom{-}(x^3 +\phantom{(2} x^2 -\phantom{2} x +4):(x+2) = x^2 -x +1 + \frac{2}{x+2}

\displaystyle \underline{-(x^3+\phantom{(} 2x^2)}

\displaystyle \phantom{-(x^3 (2} - x^2 -\phantom{2} x

\displaystyle \phantom{-(x^3}\underline{-(-x^2 -2x)}

\displaystyle \phantom{-(x^3+2 x^2 -2}x +4

\displaystyle \phantom{-(x^3+2 x^2 } \underline{-( \phantom{2}x+2)}

\displaystyle \phantom{-(x^3+2 x^2 +2x+}2


C - Das Verhältnis zwischen Faktoren und Nullstellen

Wenn \displaystyle q(x) ein Teiler von \displaystyle p(x) ist, ist \displaystyle p(x)=k(x)\, q(x). Wir haben \displaystyle p(x) also faktorisiert. Man sagt, dass \displaystyle q(x) ein Faktor von \displaystyle p(x) ist. Besonders wenn ein Polynom \displaystyle (x-a) mit dem Grad 1 ein Teiler von \displaystyle p(x) ist, dann ist \displaystyle (x-a) ein Faktor von \displaystyle p(x), also

\displaystyle p(x)= q(x)\, (x-a)\,\mbox{.}

Da \displaystyle \ p(a)=q(a)\, (a-a)= q(a)\times 0 = 0\ , bedeutet dies, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

\displaystyle (x-a) ist ein Teiler vom Polynom \displaystyle p(x) genau dann, wenn \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist.

Beachten Sie, dass dieser Satz in beide Richtungen gilt. Wenn wir wissen, dass \displaystyle x=a eine Nullstelle von \displaystyle p(x) ist, wissen wir also auch, dass \displaystyle p(x) durch \displaystyle (x-a) teilbar ist.


Beispiel 3


Das Polynom \displaystyle p(x) = x^2-6x+8 kann so

\displaystyle x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)

in Faktoren zerlegt werden und hat daher die Nullstellen \displaystyle x=2 und \displaystyle x=4 (und keine anderen Nullstellen). Dies sind genau die Nullstellen, die wir erhalten, wenn wir die Gleichung \displaystyle \ x^2-6x+8 = 0\, lösen.

Beispiel 4


  1. Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2-3x-10\, in seine Faktoren.

    Indem wir die Nullstellen des Polynoms bestimmen, erhalten wir auch die Faktoren. Die quadratische Gleichung \displaystyle \ x^2-3x-10=0\ hat die Lösungen
    \displaystyle x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}

    also \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=5. Daher ist \displaystyle \ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,.

  2. Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2+6x+9\, in seine Faktoren.

    Dieses Polynom hat eine doppelte Nullstelle
    \displaystyle x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3

    und daher ist \displaystyle \ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,.

  3. Zerlege das Polynom \displaystyle \ x^2 -4x+5\, in seine Faktoren.

    Dieses Polynom hat zwei komplexe Wurzeln
    \displaystyle x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i

    und die Faktoren sind daher\displaystyle \ (x-(2-i))(x-(2+i))\,.

Beispiel 5


Bestimme ein kubisches Polynom mit den Nullstellen \displaystyle 1, \displaystyle -1 und \displaystyle 3.

Das Polynom hat die Faktoren \displaystyle (x-1), \displaystyle (x+1) und \displaystyle (x-3). Multiplizieren wir diese Faktoren, erhalten wir das gesuchte Polynom

\displaystyle (x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}


D - Fundamentalsatz der Algebra

Am Anfang dieses Abschnittes haben wir die komplexen Zahlen eingeführt, um quadratische Gleichungen wie \displaystyle x^2=-1 zu lösen. Wir können uns fragen, ob man mit den komplexen Zahlen alle Polynomgleichungen lösen kann oder, ob man dazu andere Zahlen als die komplexen benötigt. Die Antwort ist, dass die komplexen Zahlen ausreichen. Der deutsche Mathematiker Carl Friedrich Gauss bewies im Jahr 1799 den Fundamentalsatz der Algebra:

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes Polynom mit dem Grad \displaystyle n\ge1 und komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

Da aber jede Nullstelle einem Faktor im Polynom entspricht, können wir das Gesetz erweitern:

Jedes Polynom mit dem Grad \displaystyle n\ge1 hat genau \displaystyle n Nullstellen, wenn man jede Nullstelle mit seiner Multiplizität rechnet.

(Multiplizität bedeutet, dass eine doppelte Nullstelle zweimal zählt, eine dreifache Nullstelle dreimal, etc.)


Beachten Sie, dass der Satz nur sagt, dass komplexe Nullstellen existieren und nicht, wie man sie findet. Im Allgemeinen ist es sehr schwierig, die Nullstellen eines Polynomes zu finden. Wenn man die Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten sucht, hilft uns das Wissen, dass die Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auftreten.


Beispiel 6


Zeige, dass das Polynom \displaystyle p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5 die Nullstellen \displaystyle x=i und \displaystyle x = 2-i hat. Bestimme damit alle Nullstellen.


Gegeben ist

\displaystyle \begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}

Um den letzten Ausdruck zu berechnen, müssen wir die Quadrate berechnen:

\displaystyle \begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*}

Dies ergibt

\displaystyle \begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*}

und daher sind \displaystyle i und \displaystyle 2-i Nullstellen des Polynoms.


Da das Polynom reelle Koeffizienten hat, können wir direkt sagen, dass die anderen Nullstellen die konjugiert komplexen Nullstellen sind, also \displaystyle z=-i und \displaystyle z=2+i.

Eine Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra ist, dass alle Polynome in lineare komplexe Faktoren zerlegt werden können. Dies gilt natürlich auch für Polynome mit reellen Koeffizienten, nur können wir dann die konjugiert komplexen Faktoren zu reellen quadratischen Faktoren multiplizieren. Das Polynom wird in diesem Fall aus linearen und quadratischen Faktoren bestehen.


Beispiel 7

Zeige, dass \displaystyle x=1 eine Nullstelle von \displaystyle p(x)= x^3+x^2-2 ist. Zerlegen Sie danach \displaystyle p(x) in reelle Polynome und zerlegen sie dann \displaystyle p(x) in lineare Faktoren.


Da \displaystyle \ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ , ist \displaystyle x=1 eine Nullstelle des Polynoms. Laut dem Fundamentalsatz der Algebra ist daher \displaystyle x-1 ein Faktor von \displaystyle p(x), also ist \displaystyle p(x) durch \displaystyle x-1 teilbar. Wir teilen daher \displaystyle p(x) durch \displaystyle x-1

\displaystyle \begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}

Also ist \displaystyle \ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,. Das ist die Antwort auf die erste Frage.


Jetzt müssen wir nur noch \displaystyle x^2+2x+2 in seine Faktoren zerlegen. Die Gleichung \displaystyle x^2+2x+2=0 hat die Lösungen

\displaystyle x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i

und daher hat das Polynom die komplexen linearen Faktoren

\displaystyle \begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}



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