Lösung 2.2:2c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| + | Wir erhalten | ||
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| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
| + | \int\limits_0^5 \sqrt{3x+1}\,dx | ||
| + | &= \left\{\begin{align} | ||
| + | u &= 3x+1\\[5pt] | ||
| + | du &= 3\,dx | ||
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| + | &= \frac{1}{3}\int\limits_1^{16} u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\biggl[\ \frac{u^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1}\ \biggr]_1^{16}\\[5pt] | ||
| + | &= \frac{1}{3}\Bigl[\ \frac{2}{3}u\sqrt{u}\ \Bigr]_1^{16} = \frac{2}{9}\bigl( 16\sqrt{16}-1\sqrt{1} \bigr)\\[8pt] | ||
| + | &= \frac{2}{9}\bigl( 16\cdot 4-1 \bigr) = \frac{2\cdot 63}{9} = 14\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Die Substitution \displaystyle u=3x+1 ergibt einen einfacheren Integrand. Da \displaystyle u=3x+1 eine lineare Funktion ist, ist das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du nur eine Konstante.
| \displaystyle du = (3x+1)'\,dx = 3\,dx |
Wir erhalten
| \displaystyle \begin{align}
\int\limits_0^5 \sqrt{3x+1}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= 3x+1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align}\right\} = \frac{1}{3}\int\limits_1^{16} \sqrt{u}\,du\\[5pt] &= \frac{1}{3}\int\limits_1^{16} u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\biggl[\ \frac{u^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1}\ \biggr]_1^{16}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\Bigl[\ \frac{2}{3}u\sqrt{u}\ \Bigr]_1^{16} = \frac{2}{9}\bigl( 16\sqrt{16}-1\sqrt{1} \bigr)\\[8pt] &= \frac{2}{9}\bigl( 16\cdot 4-1 \bigr) = \frac{2\cdot 63}{9} = 14\,\textrm{.} \end{align} |
