Lösung 2.3:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Wählen wir unsere Faktoren so dass wir <math>x^2</math> ableiten und <math>\cos x</math> integrieren, erhalten wir ein Integral mit einen linearen Term statt einen quadratischen.
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Wählen wir unsere Faktoren so, dass wir <math>x^2</math> ableiten und <math>\cos x</math> integrieren, erhalten wir ein Integral mit einem linearen Term statt einem quadratischen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten <math>2x</math>ab, und integrieren <math>\sin x</math>.
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Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten <math> 2x </math> ab und integrieren <math>\sin x</math>.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= 2x\cdot (-\cos x) - \int 2\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt]
&= 2x\cdot (-\cos x) - \int 2\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt]
&= -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx\\[5pt]
&= -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx\\[5pt]
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&= -2x\cos x + 2\sin x + C\,\textrm{.}
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&= -2x\cos x + 2\sin x + C
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wählen wir unsere Faktoren so, dass wir \displaystyle x^2 ableiten und \displaystyle \cos x integrieren, erhalten wir ein Integral mit einem linearen Term statt einem quadratischen.

\displaystyle \int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}

Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten \displaystyle 2x ab und integrieren \displaystyle \sin x.

\displaystyle \begin{align}

\int 2x\cdot \sin x\,dx &= 2x\cdot (-\cos x) - \int 2\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt] &= -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx\\[5pt] &= -2x\cos x + 2\sin x + C \end{align}

Alles in allem erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int x^2\cos x\,dx &= x^2\cdot\sin x - (-2x\cos x+2\sin x+C)\\[5pt] &= x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Wenn man mehrere partielle Integrationen benötigt, rechnet man oft in Schritten bevor man die endgültige Antwort berechnet.

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