Lösung 2.3:1a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}} | ||
| - | + | wobei <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist. | |
| - | Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir dass | + | Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos. |
Im Integral | Im Integral | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\int 2xe^{-x}\,dx | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\int 2xe^{-x}\,dx</math>}} |
| - | ist es sinnvoll <math>f(x)=e^{-x}</math> und <math>g(x) = 2x</math> zu wählen, | + | ist es sinnvoll <math>f(x)=e^{-x}</math> und <math>g(x) = 2x</math> zu wählen, da dann <math>g'(x) = 2</math> und <math>F(x) = -e^{-x}</math>, deren Produkte wir einfach integrieren können. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Schließlich müssen wir nur noch das Integral <math>e^{-x}</math> berechnen | + | Schließlich müssen wir nur noch das Integral <math>e^{-x}</math> berechnen. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt] | &= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt] | ||
&= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt] | &= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt] | ||
| - | &= -2(x+1)e^{-x} + C | + | &= -2(x+1)e^{-x} + C |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Die Formel für partielle Integration lautet
| \displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,, |
wobei \displaystyle F(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x) ist und \displaystyle g'(x) die Ableitung von \displaystyle g(x) ist.
Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren \displaystyle f(x) und \displaystyle g(x) aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt \displaystyle F(x)g'(x) einfacher zu integrieren ist als \displaystyle f(x)g(x), sonst wäre die partielle Integration sinnlos.
Im Integral
| \displaystyle \int 2xe^{-x}\,dx |
ist es sinnvoll \displaystyle f(x)=e^{-x} und \displaystyle g(x) = 2x zu wählen, da dann \displaystyle g'(x) = 2 und \displaystyle F(x) = -e^{-x}, deren Produkte wir einfach integrieren können.
| \displaystyle \begin{align}
\int 2x\cdot e^{-x}\,dx &= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt] &= -2xe^{-x} + 2\int e^{-x}\,dx\,\textrm{.} \end{align} |
Schließlich müssen wir nur noch das Integral \displaystyle e^{-x} berechnen.
| \displaystyle \begin{align}
\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{} &= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt] &= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt] &= -2(x+1)e^{-x} + C \end{align} |
