Lösung 2.2:2c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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| - | Die Substitution <math>u=3x+1</math> | + | Die Substitution <math>u=3x+1</math> ergibt einen einfacheren Integrand. Da <math>u=3x+1</math> eine lineare Funktion ist, ist das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> nur eine Konstante. |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>du = (3x+1)'\,dx = 3\,dx | + | {{Abgesetzte Formel||<math>du = (3x+1)'\,dx = 3\,dx</math>}} |
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
Aktuelle Version
Die Substitution \displaystyle u=3x+1 ergibt einen einfacheren Integrand. Da \displaystyle u=3x+1 eine lineare Funktion ist, ist das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du nur eine Konstante.
| \displaystyle du = (3x+1)'\,dx = 3\,dx |
Wir erhalten
| \displaystyle \begin{align}
\int\limits_0^5 \sqrt{3x+1}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= 3x+1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align}\right\} = \frac{1}{3}\int\limits_1^{16} \sqrt{u}\,du\\[5pt] &= \frac{1}{3}\int\limits_1^{16} u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\biggl[\ \frac{u^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1}\ \biggr]_1^{16}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\Bigl[\ \frac{2}{3}u\sqrt{u}\ \Bigr]_1^{16} = \frac{2}{9}\bigl( 16\sqrt{16}-1\sqrt{1} \bigr)\\[8pt] &= \frac{2}{9}\bigl( 16\cdot 4-1 \bigr) = \frac{2\cdot 63}{9} = 14\,\textrm{.} \end{align} |
