2.1 Einführung zur Integralrechnung

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
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* Die Definition desIntegrals.
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* Die Definition des Integrals.
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* Das verhältnis zwischen den Integral und den unbestimmten Integralen.
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* Das Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen.
* Stammfunktionen für <math>x^\alpha</math>, <math>1/x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math> und <math>\sin x</math>.
* Stammfunktionen für <math>x^\alpha</math>, <math>1/x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math> und <math>\sin x</math>.
* Stammfunktionen für Summen und Differenzen von Funktionen.
* Stammfunktionen für Summen und Differenzen von Funktionen.
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
-
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Integrale als Flächen interpretieren.
+
* Wie man Integrale als Flächen interpretiert.
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* Andere Interpretationen des Integrals zu kennen, sowie Dichtheit/Masse, Geschwindigkeit/Strecke, Kraft/Energie, etc.
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* Es gibt andere Interpretationen des Integrals wie Dichte/Masse, Geschwindigkeit/Strecke, Kraft/Energie, etc.
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* Stammfunktionen für <math>x^\alpha</math>, <math>1/x</math>, <math>e^{kx}</math>, <math>\cos kx</math>, <math>\sin kx</math> und Summen/Differenzen von solchen Termen bestimmen.
+
* Wie man Stammfunktionen für <math>x^\alpha</math>, <math>1/x</math>, <math>e^{kx}</math>, <math>\cos kx</math>, <math>\sin kx</math> und Summen/Differenzen von solchen Termen bestimmt.
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* Die Fläche under einer Funktion berechnen.
+
* Wie man die Fläche unter einer Funktion berechnet.
-
Die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen.
+
* Wie man die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnet.
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* Wissen dass nicht alle Funktionen eine analytische Stammfunktion haben, sowie zum Beispiel <math>e^{x^2} </math>, <math>(\sin x)/x</math>, <math>\sin \sin x</math>, etc.
+
* Nicht alle Funktionen haben eine analytische Stammfunktion wie zum Beispiel <math>e^{x^2} </math>, <math>(\sin x)/x</math>, <math>\sin \sin x</math>, etc.
}}
}}
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== Die Fläche unter einer Funktion ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
Wir haben im voriegen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert, und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesen Abschnitt werden wir sehen dass die Fläche zwischen der ''x''-Achse und einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.
+
== A - Die Fläche unter einer Kurve ==
-
Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen ''v-t''-Graph einzeichnen können wir z.B die drei fälle unten erhalten:
+
Wir haben im vorigen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass die Fläche zwischen der ''x''-Achse und dem Schaubild einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.
 +
 
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Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen ''v-t''-Graph einzeichnen, können wir die drei unten dargestellten Fälle erhalten:
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|-
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| valign="top" |<small> Das objekt bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit 5.</small>
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| valign="top" |<small> Das Objekt bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit 5.</small>
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| valign="top" |<small> Das Objekt bewegt sich zuerst mit der Geschwindigkeit 4 bis zur Zeit ''t''&nbsp;=&nbsp;3, wo es plötzlich die Geschwindigkeit 6 erhält.</small>
| valign="top" |<small> Das Objekt bewegt sich zuerst mit der Geschwindigkeit 4 bis zur Zeit ''t''&nbsp;=&nbsp;3, wo es plötzlich die Geschwindigkeit 6 erhält.</small>
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Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:
Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:
-
{{Abgesetzte Formel||<math>s(6) = 5\times 6 = 30\,\mbox{m},\quad
+
{{Abgesetzte Formel||<math>s(6) = 5\cdot 6 = 30\,\mbox{m},\quad
-
s(6) = 4\times 3 + 6\times 3 = 30\,\mbox{m},\quad
+
s(6) = 4\cdot 3 + 6\cdot 3 = 30\,\mbox{m},\quad
-
s(6) = \frac{6\times 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}</math>}}
+
s(6) = \frac{6\cdot 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}</math>}}
-
In allen drei Fällen sehen wir dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter den Graph der Funktion entspricht.
+
In allen drei Fällen sehen wir, dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter dem Graph der Funktion entspricht.
-
Hier werden noch einige beispiele gezeigt, was die Fläche unter einer Graph bedeuten kann.
+
Hier werden noch einige Beispiele gezeigt, was die Fläche unter einem Graph bedeuten kann.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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|-
|-
||
||
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| valign="top" |<small> Eine Sonnenzelle mit der Leistung p, liefert die Energie die proportional zur Fläche unter den Graph ist. </small>
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| valign="top" |<small> Eine Solarzelle mit der Leistung p liefert die Energie, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist. </small>
||
||
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| valign="top" |<small>Die Kraft ''F'' die entlang einer Strecke wirkt, generiert die Arbeit die proportional zur Fläche unter den Graph ist. </small>
+
| valign="top" |<small>Die Kraft ''F'' die entlang einer Strecke wirkt, leistet die Arbeit, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist. </small>
||
||
-
| valign="top" |<small> Ein Kondensator der mit den Strom ''i'' geladen wird, enthält eine Ladung die proportional zur Fläche unter den Graph ist. </small>
+
| valign="top" |<small> Ein Kondensator, der mit dem Strom ''i'' geladen wird, enthält eine Ladung, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist. </small>
||
||
|}
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== Die Bezeichnung des Integrals ==
+
== B - Die Bezeichnung des Integrals ==
-
 
+
-
Um die Fläche unter einer Funktion zu beschreiben, verwendet man das ''Integralzeichen'' <math>\,\smallint\,</math>:
+
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Um die Fläche unter einer Kurve zu beschreiben verwendet man das ''Integralzeichen'' <math>\,\smallint\,</math>.
<div class="tips">
<div class="tips">
-
Das Integral von einer positiven Funktion <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math> ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve <math>y=f(x)</math> und der ''x''-Achse und zwischen zwei vertikalen den Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math> , and is written with the notation und wird wie folgt geschrieben;
+
Das Integral einer positiven Funktion <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math> ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve <math>y=f(x)</math> und der ''x''-Achse und zwischen zwei Vertikalen den Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math> und wird wie folgt geschrieben:
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}
-
Die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> nennt man Integrationsgrenzen. Die Funktion <math>f(x)</math> nennt man Integrand, und den <math>x</math> nennt man die Integrationsvariable.
+
Die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> nennt man Integrationsgrenzen. Die Funktion <math>f(x)</math> nennt man Integrand und <math>x</math> nennt man die Integrationsvariable.
</div>
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| width="95%" | Die Fläche unter der Kurve <math>y=f(x)</math> von <math>x=a</math> bis <math>x=c</math> ist gleich groß wie die Fläche vión <math>x=a</math> bis <math>x=b</math> plus die Fläche von <math>x=b</math> bis <math>x=c</math>. Dies bedeutet dass
+
| width="95%" | Die Fläche unter der Kurve <math>y=f(x)</math> von <math>x=a</math> bis <math>x=c</math> ist genauso groß wie die Fläche von <math>x=a</math> bis <math>x=b</math> plus die Fläche von <math>x=b</math> bis <math>x=c</math>. Dies bedeutet, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx
-
= \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}
+
= \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}
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||{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(x) von a bis b und c}}
||{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(x) von a bis b und c}}
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{| width="100%"
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| width="95%" | Ein Gegenstand wessen Geschwindigkeit <math>v(t)</math> in den Graph rechts ist. Die Strecke die der Gegenstand nach der Zeit 10&nbsp;s zurückgelegt ist das Integral
+
| width="95%" | Sei <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit eines Gegenstandes in Abhängigkeit von der Zeit t. Die Strecke, die nach 10&nbsp;s zurückgelegt wurde, ist gleich der Fläche unter dem Schaubild von <math>v(t)</math> zwischen 0 und 10, also gleich dem Integral von 0 bis 10.
{{Abgesetzte Formel||<math>s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}</math>}}
-
''Note .'' Wir nehmen hier an dass die Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.
+
Hinweis: Wir nehmen hier an, dass Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.
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''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
-
Wasser fließt zu einen Tank mit der Geschwindigkeit <math>f(t)</math>&nbsp;Liter/s zur Zeit <math>t</math>. Das Integral
+
Wasser fließt in einen Tank mit der Geschwindigkeit <math>f(t)</math>&nbsp;Liter/s zur Zeit <math>t</math>. Das Integral
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{9}^{10} f(t)\, dt</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{9}^{10} f(t)\, dt</math>}}
-
beschreibt wie viel Wasser in den Tank während der zähnten Sekunde fließt.
+
beschreibt, wie viel Wasser während der zehnten Sekunde in den Tank fließt.
</div>
</div>
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> <math>\int_{0}^{4} 3 \, dx</math><br> <br>
+
<li> <math>\int_{0}^{4} 3 \, dx</math>.<br> <br>
Das Integral ist dasselbe wie die Fläche unter der Kurve (Gerade) <math>y=3</math>
Das Integral ist dasselbe wie die Fläche unter der Kurve (Gerade) <math>y=3</math>
von <math>x = 0</math> bis <math>x = 4</math>,
von <math>x = 0</math> bis <math>x = 4</math>,
-
und also ein Rechteck mit der Basis 4 und der Höhe 3, <br>
+
also ein Rechteck mit der Grundseite 4 und der Höhe 3, <br>
-
<center><math>\int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \times 3 = 12\,\mbox{.}</math></center></li>
+
<center><math>\int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12\,\mbox{.}</math></center></li>
</ol>
</ol>
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<ol type="a" start=2>
<ol type="a" start=2>
-
<li><math>\int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx</math> <br><br>
+
<li><math>\int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx</math>. <br><br>
-
Das Integral ist die Fläche unter der Kurve <math>y=x/2-1</math> von
+
Das Integral ist die Fläche unter der Kurve <math>y=x/2-1</math> von
<math>x = 2</math> bis <math>x = 5</math>,
<math>x = 2</math> bis <math>x = 5</math>,
also ein Dreieck mit der Basis 3 und der Höhe 1.5 <br>
also ein Dreieck mit der Basis 3 und der Höhe 1.5 <br>
<center><math>\int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx
<center><math>\int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx
-
= \frac{3 \times 1\textrm{.}5}{2} = 2\textrm{.}25\,\mbox{.}</math></center></li>
+
= \frac{3 \cdot 1\textrm{.}5}{2} = 2\textrm{.}25\,\mbox{.}</math></center></li>
</ol>
</ol>
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<ol type="a" start=3>
<ol type="a" start=3>
-
<li><math>\int_{0}^{a} kx \, dx\,\mbox{}\quad</math> where
+
<li><math>\int_{0}^{a} kx \, dx\,\mbox{} \quad </math> wobei
<math>k>0\,</math>.<br><br>
<math>k>0\,</math>.<br><br>
-
Das Integral ist die Fläche unter der Gerade <math>y=kx</math>, von
+
Das Integral ist die Fläche unter der Geraden <math>y=kx</math>, von
-
<math>x = 0</math> bis <math>x = a</math>, und also ein Dreieck mit der Basis <math>a</math> und der Höhe <math>ka</math><br>
+
<math>x = 0</math> bis <math>x = a</math> und daher ein Dreieck mit der Basis <math>a</math> und der Höhe <math>ka</math><br>
-
<center><math>\int_{0}^{\,a} kx\,dx = \frac{a \times ka}{2}
+
<center><math>\int_{0}^{\,a} kx\,dx = \frac{a \cdot ka}{2}
= \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}</math></center></li>
= \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}</math></center></li>
</ol>
</ol>
Zeile 188: Zeile 189:
</div>
</div>
 +
== C - Stammfunktionen und unbestimmte Integrale ==
-
== Stammfunktionen und Unbestimmte Integrale ==
+
Die Funktion <math>F</math> ist eine ''Stammfunktion'' von <math>f</math> falls <math>F'(x) = f(x)</math> in einen bestimmten Intervall. Falls <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, ist es leicht zu sehen, dass auch <math>F(x) + C</math> eine Stammfunktion ist für eine beliebige Konstante <math>C</math>. Man kann auch zeigen, dass die Funktion <math>F(x) + C</math> alle möglichen Stammfunktionen von <math>f(x)</math> bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als ''unbestimmtes Integral'' bezeichnet und man schreibt
-
 
+
-
Die Funktion <math>F</math> ist eine ''Stammfunktion'' von <math>f</math> falls <math>F'(x) = f(x)</math> in einen bestimmten Intervall. Falls <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, ist es leicht zu sehen dass auch <math>F(x) + C</math> eine Stammfunktion ist, für einen beliebigen Konstanten <math>C</math>. Man kann auch zeigen dass die Funktion <math>F(x) + C</math> alle möglichen Stammfunktionen von <math>f(x)</math> bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als ''unbestimmtes Integral'' benannt, und man schreibt
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
'''Beispiel 6'''
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>F(x) = x^3 + \cos x - 5</math> ist die Stammfunktion von
<li><math>F(x) = x^3 + \cos x - 5</math> ist die Stammfunktion von
<math>f(x) = 3x^2 - \sin x</math>, nachdem
<math>f(x) = 3x^2 - \sin x</math>, nachdem
-
{{Abgesetzte Formel||<math>F'(x) = D\,(x^3+\cos x-5) = 3x^2-\sin x-0
+
{{Abgesetzte Formel||<math>F'(x) = D\,(x^3+\cos x-5) = 3x^2-\sin x-0
-
= f(x)\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
= f(x)\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li><math>G(t) = e^{3t + 1} + \ln t</math> ist die Stammfunktion von <math>g(t)= 3 e^{3t + 1} + 1/t</math>, nachdem
+
<li><math>G(t) = e^{3t + 1} + \ln t</math> ist die Stammfunktion von <math>g(t)= 3 e^{3t + 1} + 1/t</math>, weil
-
{{Abgesetzte Formel||<math>G'(t) = D\,\bigl(e^{3t+1}+\ln t\bigr)
+
{{Abgesetzte Formel||<math>G'(t) = D\,\bigl(e^{3t+1}+\ln t\bigr)
-
= e^{3t+1}\times 3+\frac{1}{t} = g(t)\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
= e^{3t+1}\cdot 3+\frac{1}{t} = g(t)\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li><math>F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x + C\,</math>, wo <math>C</math> eine beliebige Konstante ist.</li>
+
<li><math>F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x + C\,</math> ist eine Stammfunktion von <math>f(x)=x^{3}-1</math>, wobei <math>C</math> eine beliebige Konstante ist, weil {{Abgesetzte Formel||<math>F'(x)=D\,(\frac{1}{4}x^4 - x + C)=x^{3}-1=f(x)\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
== D - Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen ==
-
== Verhältnis zwischen den Integral und den unbestimmten Integralen ==
+
Wir wissen bereits, dass die Fläche unter einer Funktion dem Integral der Funktion entspricht.
-
 
+
-
Wir haben schon entdeckt dass die Fläche unter einer Funktion das Integral der Funktion entspricht.
+
-
Wir nehmen an dass <math>f</math> kontinuierlich in einen Intervall ist. Der Wert des Integrals <math>\ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ </math> beruht dann von den Integrationsgrenzen <math>a</math> und <math>b</math>. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie <math>x</math> statt <math>b</math> ist, wird der Integral eine Funktion von <math>x</math> sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable <math>t</math> statt <math>x</math>:
+
Wir nehmen an, dass <math>f</math> stetig in einem Intervall ist. Der Wert des Integrals <math>\ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ </math> hängt dann von den Integrationsgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> ab. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie <math>x</math> statt <math>b</math> ist, wird das Integral eine Funktion von <math>x</math> sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable <math>t</math> statt <math>x</math>:
<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(t) von t = a bis t = x}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(t) von t = a bis t = x}}</center>
Zeile 221: Zeile 220:
{{Abgesetzte Formel||<math>A(x) = \int_{a}^{\,x} f(t) \, dt\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>A(x) = \int_{a}^{\,x} f(t) \, dt\,\mbox{.}</math>}}
-
Wir werden jetzt zeigen dass <math>A</math> die Stammfunktion von <math>f</math> ist.
+
Wir werden jetzt zeigen, dass <math>A</math> die Stammfunktion von <math>f</math> ist.
<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(t) von t = a bis t = x + h}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = f(t) von t = a bis t = x + h}}</center>
-
Die gesamte Fläche under der Kurve von <math>t=a</math> bis <math>t=x+h</math> ist <math>A(x+h)</math> und ist ungefähr <math>t=x</math> plus die Fläche des Rechtecks zwischen <math>t=x</math> und <math>t=x+h</math>, also
+
Die gesamte Fläche under der Kurve von <math>t=a</math> bis <math>t=x+h</math> ist <math>A(x+h)</math> und ist ungefähr <math>A(x)</math> plus die Fläche des Rechtecks zwischen <math>t=x</math> und <math>t=x+h</math>, also
{{Abgesetzte Formel||<math>A(x+h)\approx A(x)+h\, f(c)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>A(x+h)\approx A(x)+h\, f(c)</math>}}
-
wo <math>c</math> eine Zahl zwischen <math>x</math> und <math>x+h</math> ist. Wir können den Ausdruck wie
+
wo <math>c</math> eine Zahl zwischen <math>x</math> und <math>x+h</math> ist. Wir können den Ausdruck als
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(c)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(c)\,\mbox{.}</math>}}
-
schreiben. Lassen wir <math>h \rightarrow 0</math> bekommen wir auf der linken Seite <math>A'(x)</math> und die rechte Seite wird <math>f(x)</math> , und also ist
+
schreiben. Lassen wir <math>h \rightarrow 0</math>, bekommen wir auf der linken Seite <math>A'(x)</math>, und die rechte Seite wird <math>f(x)</math> und daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>A'(x) = f(x)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>A'(x) = f(x)\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 240: Zeile 239:
-
== Integrale Rechnen ==
+
== E - Integrale berechnen ==
-
Um die mit Hilfe der Stammfunktionen das Integrale zu berechnen, notieren wir zuerst dass wenn <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, ist
+
Wir wollen mit Hilfe der Stammfunktionen das Integral berechnen. Wenn <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist, dann ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C</math>}}
-
wo die Konstante <math>C</math> so gewählt werden muss dass die rechte Seite null ist wenn <math>b=a</math> und die linke Seite also null auch ist. Also ist
+
Wenn <math> b=a </math> ist, ist die linke Seite null (Die Fläche unter dem Graphen der Funktion zwischen a und a). Darum muss die Konstante <math>C</math> so gewählt werden, dass für <math>b=a</math> die rechte Seite ebenfalls null ist. Also ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0</math>}}
-
und wir erhalten <math>C=-F(a)</math>. Wenn wir zusammenfassen, haben wir, dass
+
dass <math>C=-F(a)</math> sein muss. Wenn wir zusammenfassen, ergibt sich, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt
-
= F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
+
= F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
-
Wir können natürlich hier die Integrationsvariable <math>x</math> wählen, und erhalten dann
+
Wir können natürlich hier die Integrationsvariable <math>x</math> wählen und erhalten dann
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx
-
= F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
+
= F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
-
Die rechnung von Integralen geschieht in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion, und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt meistens,
+
Die Berechnung von Integralen erfolgt in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt gewöhnlich
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx
-
= \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
+
= \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 269: Zeile 268:
''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
-
The area bounded by the curve <math>y=2x - x^2</math> and the ''x''-axis can be calculated by using the integral
+
Die Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion <math>y=2x - x^2</math> und der ''x''-Achse kann durch das Integral
{| width="100%"
{| width="100%"
| width="95%" |
| width="95%" |
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{}</math>}}
-
Since <math>x^2-x^3/3</math> is an antiderivative of the integrand, the integral's value is
+
berechnet werden. Nachdem <math>x^2-x^3/3</math> die Stammfunktion des Integranden ist, ist das Integral
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
-
The area is<math>\frac{4}{3}</math>&nbsp;u.a.
+
Die Fläche ist also <math>\frac{4}{3}</math>.
| width="5%" |
| width="5%" |
||{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = 2x - x² von x = 0 bis x = 2}}
||{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = 2x - x² von x = 0 bis x = 2}}
|}
|}
-
''Note:'' The value of the integral contains no unit. In practical applications, however, the area may have a unit.
+
Hinweis: Das Integral hat keine Einheit, aber die Fläche kann eine Einheit haben.
</div>
</div>
-
== Antidifferentiation ==
+
== F - Stammfunktionen ==
-
To differentiate common functions is not an insurmountable problem: there are general methods for doing this. To perform the reverse operation - that is, find an antiderivative (or an indefinite integral) for a given function - is much more difficult, however, and in some cases impossible! There is no systematic method that works everywhere, but by exploiting the usual rules of differentiation "in the opposite direction" and also by learning a number of special techniques and tricks one can tackle a large number of the functions that turn up.
+
Um häufige Funktionen abzuleiten, gibt es generelle Ableitungsregeln. Die umgekehrte Rechenoperation durchzuführen ist aber viel komplizierter, nachdem es keine generellen Regeln für die Stammfunktionen gibt. In manchen Fällen kann man aber die Stammfunktionen bestimmen, indem man die Ableitung ''rückwärts'' ausführt: d.h. man sucht eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist.
-
The usual rules of differentiation give
+
Mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln erhalten wir folgende Stammfunktionen
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{where }\ n \ne -1\\[6pt] \int x^{-1} \, dx &= \ln |x| + C\\[6pt] \int e^x \, dx &= e^x + C\\[6pt] \int \cos x \, dx &= \sin x + C\\[6pt] \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \end{align*}</math>}}
+
{| class="wikitable" border="1"
 +
|-
 +
! Integral und Stammfunktion
 +
! Begründung (durch Ableitung)
 +
|-
 +
| <math> \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{für }\ n \ne -1 </math>
 +
| <math> \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \right) = x^n </math>
 +
|-
 +
| <math> \int x^{-1} \, dx = \ln |x| + C </math>
 +
| <math> \left( \ln |x| + C \right)^{\, \prime} = \frac{1}{|x|} \cdot \text{ sgn } (x) = \frac{1}{x} </math> für <math> x \not= 0 </math>
 +
|-
 +
| <math> \int e^x \, dx = e^x + C </math>
 +
| <math> D \left( e^x + C \right) = e^x </math>
 +
|-
 +
| <math> \int \cos x \, dx = \sin x + C </math>
 +
| <math> \frac{d}{dx} \left( \sin x + C \right) = \cos x </math>
 +
|-
 +
| <math> \int \sin x \, dx = -\cos x + C </math>
 +
| <math> \left( -\cos x + C \right)^{\, \prime} = \sin x</math>
 +
|-
 +
|}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 318: Zeile 337:
</div>
</div>
 +
== G - Lineare Substitution ==
-
== Compensating for the ”inner derivative”==
+
Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet, dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung einer solchen Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.
-
 
+
-
When differentiating a composite function one makes use of the ''chain rule'', which means that one must '''multiply''' by the ''inner derivative''. If the inner function is linear, then the inner derivative is a constant. Thus when integrating such a composite function, one must '''divide''' by the inner derivative as a sort of compensation.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 329: Zeile 347:
<li><math>\int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C</math></li>
<li><math>\int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C</math></li>
<li><math>\int \sin 5x \, dx = - \frac{ \cos 5x}{5} + C</math></li>
<li><math>\int \sin 5x \, dx = - \frac{ \cos 5x}{5} + C</math></li>
-
<li><math>\int (2x +1)^4 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{5 \times 2} + C</math></li>
+
<li><math>\int (2x +1)^4 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{5 \cdot 2} + C = \frac{(2x+1)^5}{10} + C</math></li>
</ol>
</ol>
Zeile 344: Zeile 362:
</div>
</div>
-
Note that this way to compensate for the inner derivative only works if the inner derivative is a constant.
+
Diese Methode funktioniert also nur dann, wenn die innere Ableitung eine Konstante ist.
-
== Rules for evaluating integrals ==
+
== H - Integrationsregeln ==
-
Using the way integration has been defined here, it is easy to show the following properties of integration:
+
Durch die Definition des Integrals, kann man einfach zeigen, dass:
-
# <math>\int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
+
1. <math>\int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math> <br>
-
# <math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
+
Beim Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert das Integral das Vorzeichen.<br>
-
# <math>\int_{a}^{\,b} k \, f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
+
 
-
# <math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>
+
2. <math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math> <br>
 +
Die Summe der Integrale (mit denselben Integrationsgrenzen) ist das Integral über die Summe der Integranden.<br>
 +
 
 +
3. <math>\int_{a}^{\,b} k \, f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math><br>
 +
Das Integral über ein Vielfaches des Integranden ist das Vielfache des Integrals über den einfachen Integranden.<br>
 +
 
 +
4. <math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math><br>
 +
Die Summe der Integrale mit demselben Integranden über direkt nebeneinander liegende Intervalle ist gleich dem Integral über das Gesamtinterval.
-
Moreover, areas below the ''x''-axis are subtracted, that is, if the curve of the function lies below the ''x''-axis in a region, the integral has a negative value in this region:
+
Außerdem haben Integrale, wo die Funktion negativ ist, ein negatives Vorzeichen, sind aber ansonsten gleich:
{| align="center"
{| align="center"
Zeile 364: Zeile 389:
|}
|}
-
The total area is <math>\ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,</math>.
+
Die gesamte Fläche ist <math>\ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,</math>.
-
''Note .'' The value of a '''definite integral''' can be negative, while an '''area''' always has a positive value.
+
Hinweis: Der Wert eines Integrals kann sehr wohl negativ sein, nur die Fläche ist immer positiv.
Zeile 376: Zeile 401:
<math>\qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2}
<math>\qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2}
\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
-
<math>\qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\times 4-2^3+2^2+3\times 2\bigr)
+
<math>\qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 2^4-2^3+2^2+3\cdot 2\bigr)
-
- \bigl(\tfrac{1}{4}\times 1^4 - 1^3 + 1^2
+
- \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2
-
+ 3\times 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
+
+ 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
<math>\qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}</math><br/>
<math>\qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}</math><br/>
{|
{|
-
| align="center" |{{:2.1 - Bild - Die Fläche under der Kurve y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 und y = x³ - 3x² + 2x + 3}}
+
| align="center" |{{:2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 und y = x³ - 3x² + 2x + 3}}
|-
|-
-
||<small> The diagram on the left shows the area under the graph for ''f''(''x'')&nbsp;= ''x''³&nbsp;- 3''x''²&nbsp;+ 2''x''&nbsp;+&nbsp;1 and the middle diagram shows the area under the graph for ''g''(''x'')&nbsp;=&nbsp;2. In the diagram on the right these areas are summed and give the area under the graph for ''f''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''g''(''x'').</small>
+
||<small> Das linke Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Funktion ''f''(''x'')&nbsp;= ''x''³&nbsp;- 3''x''²&nbsp;+ 2''x''&nbsp;+&nbsp;1. Das mittlere Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Funktion ''g''(''x'')&nbsp;=&nbsp;2. Das rechte Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Summe der beiden Funktionen, also ''f''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''g''(''x'').</small>
|}
|}
</li>
</li>
Zeile 393: Zeile 418:
= \int_{1}^{3} 3/2 \, dx</math><br/>
= \int_{1}^{3} 3/2 \, dx</math><br/>
<math>\qquad{} = \Bigl[\,\tfrac{3}{2}x\,\Bigr]_{1}^{3}
<math>\qquad{} = \Bigl[\,\tfrac{3}{2}x\,\Bigr]_{1}^{3}
-
= \tfrac{3}{2}\times 3 - \tfrac{3}{2}\times 1 = 3</math><br/>
+
= \tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = 3</math><br/>
{|
{|
| align="center" |{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = x²/2 - 2x, y = 2x - x²/2 + 3/2 und y = 3/2}}
| align="center" |{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = x²/2 - 2x, y = 2x - x²/2 + 3/2 und y = 3/2}}
|-
|-
-
||<small>The graph to ''f''(''x'')&nbsp;= ''x''²/2&nbsp;- 2''x'' (diagram on the left) and the graph to ''g''(''x'')&nbsp;= 2''x''&nbsp;- ''x''²/2&nbsp;+ 3/2 (diagram in the middle) are inverted with respect to each other about the line ''y''&nbsp;= 3/4 (dotted line in the diagrams). This means the sum ''f''(''x'')&nbsp;+ ''g''(''x'') is equal to&nbsp;3/2. and is a constant. Thus the sum of the integrals is equal to the area of a rectangle with base &nbsp;2 and height&nbsp;3/2 (diagram on the right). </small>
+
||<small>Die Funktion ''f''(''x'')&nbsp;= ''x''²/2&nbsp;- 2''x'' (siehe linkes Bild) und die Funktion ''g''(''x'')&nbsp;= 2''x''&nbsp;- ''x''²/2&nbsp;+ 3/2 (siehe mittleres Bild) sind Spiegelungen voneinander in der Geraden ''y''&nbsp;= 3/4.
 +
Also ist die Summe ''f''(''x'')&nbsp;+ ''g''(''x'') =&nbsp;3/2, also eine Konstante. Daher ist das Integral der Summe ein Rechteck mit der Grundseite &nbsp;2 und der Höhe &nbsp;3/2 (siehe rechtes Bild). </small>
|}
|}
Zeile 426: Zeile 452:
| align="center" |{{:2.1 - Bild - Die Fläche under der Kurve y = x² - 1}}
| align="center" |{{:2.1 - Bild - Die Fläche under der Kurve y = x² - 1}}
|-
|-
-
||<small> The figure shows the graph of ''f''(''x'') = ''x''² - 1 and the calculation above shows that the shaded area below the ''x''-axis is equal to the shaded area above the ''x''-axis.</small>
+
||<small> Die Figur zeigt die Funktion ''f''(''x'') = ''x''² - 1 und die Flächen, die oberhalb und unterhalb der ''x''-Achse liegen.</small>
|}
|}
</li>
</li>
Zeile 434: Zeile 460:
-
== Area between curves ==
+
== I - Die Fläche zwischen Funktionen ==
-
If <math>f(x) \ge g(x)</math> in an interval <math>a\le x\le b</math> then the area between the curves is given by
+
Wenn <math>f(x) \ge g(x)</math> in einem Intervall <math>a\le x\le b</math> ist, ist die Fläche zwischen den beiden Funktionen in diesem Intervall
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx
-
- \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}</math>}}
+
- \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}</math>}}
-
which can be simplified to
+
oder vereinfacht
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 447: Zeile 473:
<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = f(x) und y = g(x)}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = f(x) und y = g(x)}}</center>
{| width="90%" align="center"
{| width="90%" align="center"
-
||<small>If ''f''(''x'') and ''g''(''x'') take positive values and ''f''(''x'') is greater than ''g''(''x''), the area between the graphs of ''f'' and ''g'' (the figure on the left) can be obtained as the difference between the area under the graph ''f'' (figure in the middle) and the area under the graph ''g'' (the figure on the right).</small>
+
||<small>Wenn ''f''(''x'') und ''g''(''x'') beide positiv sind und ''f''(''x'') größer ist als ''g''(''x''), ist die Fläche zwischen ''f'' und ''g'' (siehe linkes Bild), der Unterschied in Fläche von den Flächen unter den Schaubildern der Funktionen ''f'' (siehe mittleres Bild) und ''g'' (siehe rechtes Bild).</small>
|}
|}
-
 
+
Es ist egal, ob <math>f(x) < 0</math> oder <math>g(x) < 0</math> so lange <math>f(x) \ge g(x)</math>. Der Wert der Fläche ist unabhängig davon, ob die Funktionen positiv oder negativ sind. Dies wird aus folgenden Bildern ersichtlich:
-
Note that it does not matter whether <math>f(x) < 0</math> or <math>g(x) < 0</math> as long as <math>f(x) \ge g(x)</math>. The value of the area between the curves is independent of whether the curves are above or below the ''x''-axis, as the following figures illustrate:
+
<center>{{:2.1 - Bild - Ein Gebiet in die y-Richtung verschoben}}</center>
<center>{{:2.1 - Bild - Ein Gebiet in die y-Richtung verschoben}}</center>
{| width="90%" align="center"
{| width="90%" align="center"
-
||<small>The area between the two graphs is not affected if the graphs are moved in the ''y''-direction. The area between the graphs of f(x) and g(x) (figure on the left) is equal to the area between the graphs of f(x) - 3 and g(x) - 3 (the figure in the middle), as well as the area between the graphs of f(x) - 6 and g(x) - 6 (figure on the right).</small>
+
||<small>Die Fläche zwischen den beiden Graphen der Funktionen ändert sich nicht wenn wir beide Funktionen in die ''y''-Richtung verschieben. Die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) und g(x) ist dasselbe wie die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) - 3 und g(x) - 3 (siehe mittleres Bild), als auch zwischen den Funktionen f(x) - 6 und g(x) - 6 (siehe rechtes Bild).</small>
|}
|}
Zeile 461: Zeile 486:
''' Beispiel 12'''
''' Beispiel 12'''
-
Calculate the area bounded by the curves <math>y=e^x + 1</math> and <math>y=1 - x^2/2</math> and the lines <math>x = –1</math> and <math>x = 1</math>.
+
Berechne die Fläche zwischen den Kurven <math>y=e^x + 1</math> und <math>y=1 - \frac{x^2}{2} </math> und den Geraden <math>x = –1</math> und <math>x = 1</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Since <math>e^x + 1 > 1 - x^2/2</math> in the whole interval the area in question is given by
+
Da <math>e^x + 1 > 1 - \frac{x^2}{2} </math> im ganzen Intervall gilt, berechnen wir die die Fläche so:
{| width="100%"
{| width="100%"
| width="95%" |
| width="95%" |
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} &\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr)\vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \text{u.a.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} &\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr)\vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \end{align*}</math>}}
| width="5%" |
| width="5%" |
||{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = e^x - 1 und y = 1 - x²/2}}
||{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = e^x - 1 und y = 1 - x²/2}}
Zeile 477: Zeile 502:
''' Beispiel 13'''
''' Beispiel 13'''
-
Calculate the area of the finite region bounded by the curves <math>y= x^2</math> and <math>y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}</math>.
+
Berechne die Fläche des endlichen Gebietes zwischen den Graphen der Funktionen <math>y= x^2</math> und <math>y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The curves intersect at the points where their ''y''-values are equal
+
Die Schnittpunkte der Kurven erhalten wir, wenn deren ''y''-Werte gleich sind,
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{or}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{oder}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
{| width="100%"
{| width="100%"
-
| width="95%" | Between <math>x=0</math> and <math>x=1</math>, <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2</math> is true, thus the area is
+
| width="95%" | Zwischen <math>x=0</math> und <math>x=1</math> ist <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2</math> und wir berechnen die Fläche zwischen den Kurven als
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx &= \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1}\\
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx &= \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1}\\
&{}= \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt]
&{}= \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt]
&{}= \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3} - (0-0)\\[4pt]
&{}= \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3} - (0-0)\\[4pt]
-
&{}= \tfrac{5}{12}\ \text{u.a.}\end{align*}</math>}}
+
&{}= \tfrac{5}{12}\ \end{align*}</math>}}
| width="5%" |
| width="5%" |
||{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = ∛x und y = x²}}
||{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = ∛x und y = x²}}
Zeile 501: Zeile 526:
''' Beispiel 14'''
''' Beispiel 14'''
-
Calculate the area of the region bounded by the curve <math>y=\frac{1}{x^2}</math>and the lines <math>y=x</math> and <math>y = 2</math>.
+
Berechne die Fläche des begrenzten Gebietes zwischen den Graphen der Funktionen <math>y=\frac{1}{x^2}</math>, <math>y=x</math> und <math>y = 2</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
Zeile 507: Zeile 532:
| width="95%" |
| width="95%" |
-
In the figure on the right, the curve and the two lines have been sketched and then we see that the region can be divided into two sub-regions, each of which is located between two curves. The total area is the sum of the integrals
+
In der Abbildung sehen wir, dass die Funktionen unser Gebiet in zwei Teilgebiete <math> A_1 </math> und <math> A_2 </math> aufteilen. Die Fläche des gesamten Gebiets ist die Summe der Flächen der beiden Teilgebiete,
{{Abgesetzte Formel||<math>A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx
{{Abgesetzte Formel||<math>A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx
-
\quad\text{and}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}</math>}}
+
\quad\text{und}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}</math>}}
-
We first determine the points of intersection <math>x=a</math>, <math>x=b</math> and <math>x=c</math>:
+
Wir suchen zuerst die Schnittstellen <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=c</math>:
| width="5%" |
| width="5%" |
||{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = 1/x², y = x und y = 2}}
||{{:2.1 - Bild - Die Fläche zwischen y = 1/x², y = x und y = 2}}
|}
|}
-
* The point of intersection <math>x=a</math> is obtained from the equation
+
* Die Schnittstelle <math>x=a</math> erhalten wir durch die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x^2} = 2
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x^2} = 2
-
\quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2}
+
\quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2}
-
\quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}</math>}}
+
\quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \, \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}</math>}}
-
:(The negative root, however, is not relevant.)
+
:(Die negative Wurzel ist für uns uninteressant.)
-
* The point of intersection <math>x=b</math> is obtained from the equation
+
* Die Schnittstelle <math>x=b</math> erhalten wir durch die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x^2} = x
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x^2} = x
-
\quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1
+
\quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1
-
\quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}</math>}}
+
\quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}</math>}}
-
*The point of intersection <math>x=c</math> is obtained from the equation <math>x = 2</math>.
+
* Die Schnittstelle <math>x=c</math> erhalten wir durch die Gleichung <math>x = 2</math>.
-
The integrals are therefore
+
Das Integral ist also
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}\\[4pt] &= \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} = (2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\\[4pt] A_2 &= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{.}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}\\[4pt] &= \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} = (2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\\[4pt] A_2 &= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{}
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
-
The total area is
+
und die Fläche ist
-
{{Abgesetzte Formel||<math> A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2} - 2\sqrt{2}\ \text{u.a.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math> A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2} - 2\sqrt{2}\ . </math>}}
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Inhalt:

  • Die Definition des Integrals.
  • Das Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen.
  • Stammfunktionen für \displaystyle x^\alpha, \displaystyle 1/x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x und \displaystyle \sin x.
  • Stammfunktionen für Summen und Differenzen von Funktionen.

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Wie man Integrale als Flächen interpretiert.
  • Es gibt andere Interpretationen des Integrals wie Dichte/Masse, Geschwindigkeit/Strecke, Kraft/Energie, etc.
  • Wie man Stammfunktionen für \displaystyle x^\alpha, \displaystyle 1/x, \displaystyle e^{kx}, \displaystyle \cos kx, \displaystyle \sin kx und Summen/Differenzen von solchen Termen bestimmt.
  • Wie man die Fläche unter einer Funktion berechnet.
  • Wie man die Fläche zwischen zwei Funktionen berechnet.
  • Nicht alle Funktionen haben eine analytische Stammfunktion wie zum Beispiel \displaystyle e^{x^2} , \displaystyle (\sin x)/x, \displaystyle \sin \sin x, etc.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Die Fläche unter einer Kurve

Wir haben im vorigen Abschnitt die Ableitung von Funktionen studiert und viele interessante Eigenschaften der Ableitung gefunden. In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass die Fläche zwischen der x-Achse und dem Schaubild einer Funktion viele wichtige Eigenschaften und Anwendungen hat.

Wenn wir zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Objektes in einen v-t-Graph einzeichnen, können wir die drei unten dargestellten Fälle erhalten:


[Image]

[Image]

[Image]

Das Objekt bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit 5. Das Objekt bewegt sich zuerst mit der Geschwindigkeit 4 bis zur Zeit t = 3, wo es plötzlich die Geschwindigkeit 6 erhält. Die Geschwindigkeit wächst linear.

Die vom Objekt zurückgelegte Strecke ist in den drei Fällen:

\displaystyle s(6) = 5\cdot 6 = 30\,\mbox{m},\quad

s(6) = 4\cdot 3 + 6\cdot 3 = 30\,\mbox{m},\quad s(6) = \frac{6\cdot 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}

In allen drei Fällen sehen wir, dass die zurückgelegte Strecke der Fläche unter dem Graph der Funktion entspricht.

Hier werden noch einige Beispiele gezeigt, was die Fläche unter einem Graph bedeuten kann.

Beispiel 1


[Image]

[Image]

[Image]

Eine Solarzelle mit der Leistung p liefert die Energie, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist. Die Kraft F die entlang einer Strecke wirkt, leistet die Arbeit, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist. Ein Kondensator, der mit dem Strom i geladen wird, enthält eine Ladung, die proportional zur Fläche unter dem Graph ist.


B - Die Bezeichnung des Integrals

Um die Fläche unter einer Kurve zu beschreiben verwendet man das Integralzeichen \displaystyle \,\smallint\,.

Das Integral einer positiven Funktion \displaystyle f(x) von \displaystyle a bis \displaystyle b ist dasselbe wie die Fläche zwischen der Kurve \displaystyle y=f(x) und der x-Achse und zwischen zwei Vertikalen den Geraden \displaystyle x=a und \displaystyle x=b und wird wie folgt geschrieben:

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Die Zahlen \displaystyle a und \displaystyle b nennt man Integrationsgrenzen. Die Funktion \displaystyle f(x) nennt man Integrand und \displaystyle x nennt man die Integrationsvariable.

Beispiel 2

Die Fläche unter der Kurve \displaystyle y=f(x) von \displaystyle x=a bis \displaystyle x=c ist genauso groß wie die Fläche von \displaystyle x=a bis \displaystyle x=b plus die Fläche von \displaystyle x=b bis \displaystyle x=c. Dies bedeutet, dass
\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx

= \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

[Image]

Beispiel 3

Sei \displaystyle v(t) die Geschwindigkeit eines Gegenstandes in Abhängigkeit von der Zeit t. Die Strecke, die nach 10 s zurückgelegt wurde, ist gleich der Fläche unter dem Schaubild von \displaystyle v(t) zwischen 0 und 10, also gleich dem Integral von 0 bis 10.
\displaystyle s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}

Hinweis: Wir nehmen hier an, dass Geschwindigkeit und Strecke mit derselben Längeneinheit gemessen werden.

[Image]

Beispiel 4

Wasser fließt in einen Tank mit der Geschwindigkeit \displaystyle f(t) Liter/s zur Zeit \displaystyle t. Das Integral

\displaystyle \int_{9}^{10} f(t)\, dt

beschreibt, wie viel Wasser während der zehnten Sekunde in den Tank fließt.

Beispiel 5 Berechnen Sie das Integral

  1. \displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx.

    Das Integral ist dasselbe wie die Fläche unter der Kurve (Gerade) \displaystyle y=3 von \displaystyle x = 0 bis \displaystyle x = 4, also ein Rechteck mit der Grundseite 4 und der Höhe 3,
    \displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12\,\mbox{.}

[Image]

  1. \displaystyle \int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx.

    Das Integral ist die Fläche unter der Kurve \displaystyle y=x/2-1 von \displaystyle x = 2 bis \displaystyle x = 5, also ein Dreieck mit der Basis 3 und der Höhe 1.5
    \displaystyle \int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx = \frac{3 \cdot 1\textrm{.}5}{2} = 2\textrm{.}25\,\mbox{.}

[Image]

  1. \displaystyle \int_{0}^{a} kx \, dx\,\mbox{} \quad wobei \displaystyle k>0\,.

    Das Integral ist die Fläche unter der Geraden \displaystyle y=kx, von \displaystyle x = 0 bis \displaystyle x = a und daher ein Dreieck mit der Basis \displaystyle a und der Höhe \displaystyle ka
    \displaystyle \int_{0}^{\,a} kx\,dx = \frac{a \cdot ka}{2} = \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}

[Image]

C - Stammfunktionen und unbestimmte Integrale

Die Funktion \displaystyle F ist eine Stammfunktion von \displaystyle f falls \displaystyle F'(x) = f(x) in einen bestimmten Intervall. Falls \displaystyle F(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x) ist, ist es leicht zu sehen, dass auch \displaystyle F(x) + C eine Stammfunktion ist für eine beliebige Konstante \displaystyle C. Man kann auch zeigen, dass die Funktion \displaystyle F(x) + C alle möglichen Stammfunktionen von \displaystyle f(x) bezeichnet. Dieser Ausdruck wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und man schreibt

\displaystyle \int f(x)\, dx\,\mbox{.}

Beispiel 6

  1. \displaystyle F(x) = x^3 + \cos x - 5 ist die Stammfunktion von \displaystyle f(x) = 3x^2 - \sin x, nachdem
    \displaystyle F'(x) = D\,(x^3+\cos x-5) = 3x^2-\sin x-0

    = f(x)\,\mbox{.}

  2. \displaystyle G(t) = e^{3t + 1} + \ln t ist die Stammfunktion von \displaystyle g(t)= 3 e^{3t + 1} + 1/t, weil
    \displaystyle G'(t) = D\,\bigl(e^{3t+1}+\ln t\bigr)

    = e^{3t+1}\cdot 3+\frac{1}{t} = g(t)\,\mbox{.}

  3. \displaystyle F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x + C\, ist eine Stammfunktion von \displaystyle f(x)=x^{3}-1, wobei \displaystyle C eine beliebige Konstante ist, weil
    \displaystyle F'(x)=D\,(\frac{1}{4}x^4 - x + C)=x^{3}-1=f(x)\mbox{.}

D - Verhältnis zwischen dem Integral und den unbestimmten Integralen

Wir wissen bereits, dass die Fläche unter einer Funktion dem Integral der Funktion entspricht.

Wir nehmen an, dass \displaystyle f stetig in einem Intervall ist. Der Wert des Integrals \displaystyle \ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ hängt dann von den Integrationsgrenzen \displaystyle a und \displaystyle b ab. Lassen wir aber die obere Grenze frei sein, sodass sie \displaystyle x statt \displaystyle b ist, wird das Integral eine Funktion von \displaystyle x sein. Um dies deutlicher zu machen verwenden wir die Integrationsvariable \displaystyle t statt \displaystyle x:

[Image]

\displaystyle A(x) = \int_{a}^{\,x} f(t) \, dt\,\mbox{.}

Wir werden jetzt zeigen, dass \displaystyle A die Stammfunktion von \displaystyle f ist.

[Image]

Die gesamte Fläche under der Kurve von \displaystyle t=a bis \displaystyle t=x+h ist \displaystyle A(x+h) und ist ungefähr \displaystyle A(x) plus die Fläche des Rechtecks zwischen \displaystyle t=x und \displaystyle t=x+h, also

\displaystyle A(x+h)\approx A(x)+h\, f(c)

wo \displaystyle c eine Zahl zwischen \displaystyle x und \displaystyle x+h ist. Wir können den Ausdruck als

\displaystyle \frac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(c)\,\mbox{.}

schreiben. Lassen wir \displaystyle h \rightarrow 0, bekommen wir auf der linken Seite \displaystyle A'(x), und die rechte Seite wird \displaystyle f(x) und daher ist

\displaystyle A'(x) = f(x)\,\mbox{.}

Also ist die Funktion \displaystyle A(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x).


E - Integrale berechnen

Wir wollen mit Hilfe der Stammfunktionen das Integral berechnen. Wenn \displaystyle F eine Stammfunktion von \displaystyle f ist, dann ist

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C

Wenn \displaystyle b=a ist, ist die linke Seite null (Die Fläche unter dem Graphen der Funktion zwischen a und a). Darum muss die Konstante \displaystyle C so gewählt werden, dass für \displaystyle b=a die rechte Seite ebenfalls null ist. Also ergibt

\displaystyle \int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0

dass \displaystyle C=-F(a) sein muss. Wenn wir zusammenfassen, ergibt sich, dass

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt

= F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Wir können natürlich hier die Integrationsvariable \displaystyle x wählen und erhalten dann

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx

= F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Die Berechnung von Integralen erfolgt in zwei Schritten. Zuerst berechnet man die Stammfunktion und dann berechnet man den Wert der Stammfunktion in den Integrationsgrenzen. Man schreibt gewöhnlich

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx

= \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}


Beispiel 7

Die Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion \displaystyle y=2x - x^2 und der x-Achse kann durch das Integral

\displaystyle \int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{}

berechnet werden. Nachdem \displaystyle x^2-x^3/3 die Stammfunktion des Integranden ist, ist das Integral

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align*}

Die Fläche ist also \displaystyle \frac{4}{3}.

[Image]

Hinweis: Das Integral hat keine Einheit, aber die Fläche kann eine Einheit haben.


F - Stammfunktionen

Um häufige Funktionen abzuleiten, gibt es generelle Ableitungsregeln. Die umgekehrte Rechenoperation durchzuführen ist aber viel komplizierter, nachdem es keine generellen Regeln für die Stammfunktionen gibt. In manchen Fällen kann man aber die Stammfunktionen bestimmen, indem man die Ableitung rückwärts ausführt: d.h. man sucht eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist.

Mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln erhalten wir folgende Stammfunktionen

Integral und Stammfunktion Begründung (durch Ableitung)
\displaystyle \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{für }\ n \ne -1 \displaystyle \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \right) = x^n
\displaystyle \int x^{-1} \, dx = \ln |x| + C \displaystyle \left( \ln |x| + C \right)^{\, \prime} = \frac{1}{|x|} \cdot \text{ sgn } (x) = \frac{1}{x} für \displaystyle x \not= 0
\displaystyle \int e^x \, dx = e^x + C \displaystyle D \left( e^x + C \right) = e^x
\displaystyle \int \cos x \, dx = \sin x + C \displaystyle \frac{d}{dx} \left( \sin x + C \right) = \cos x
\displaystyle \int \sin x \, dx = -\cos x + C \displaystyle \left( -\cos x + C \right)^{\, \prime} = \sin x

Beispiel 8

  1. \displaystyle \int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{4x^2}{2} - 7x + C
    \displaystyle \phantom{\int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx}{} = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + 2x^2 - 7x + C
  2. \displaystyle \int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx = \int \Bigl( 3x^{-2} - \frac{1}{2} x^{-3} \Bigr) dx = \frac{3x^{-1}}{-1} - \frac{1}{2} \, \frac{x^{-2}}{(-2)} + C
    \displaystyle \phantom{\int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx}{} = - 3x^{-1} + \tfrac{1}{4}x^{-2} + C = -\frac{3}{x} + \frac{1}{4x^2} + C\vphantom{\Biggl(}
  3. \displaystyle \int \frac{2}{3x} \,dx = \int \frac{2}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \tfrac{2}{3} \ln |x| + C
  4. \displaystyle \int ( e^x - \cos x - \sin x ) \, dx = e^x - \sin x + \cos x +C

G - Lineare Substitution

Wenn man eine verkettete Funktion ableitet, benutzt man die Kettenregel. Dies bedeutet, dass man die äußere Ableitung der Funktion mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert. Falls die innere Funktion eine lineare Funktion ist, ist die innere Ableitung eine Konstante. Wenn wir die Ableitung einer solchen Funktion integrieren möchten, können wir einfach die Stammfunktion durch die innere Ableitung dividieren, um die innere Ableitung zu kompensieren.

Beispiel 9

  1. \displaystyle \int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C
  2. \displaystyle \int \sin 5x \, dx = - \frac{ \cos 5x}{5} + C
  3. \displaystyle \int (2x +1)^4 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{5 \cdot 2} + C = \frac{(2x+1)^5}{10} + C

Beispiel 10

  1. \displaystyle \int \sin kx \, dx = - \frac{\cos kx}{k} + C
  2. \displaystyle \int \cos kx \, dx = \frac{\sin kx }{k} + C
  3. \displaystyle \int e^{kx} \, dx = \displaystyle \frac{e^{kx}}{k} + C

Diese Methode funktioniert also nur dann, wenn die innere Ableitung eine Konstante ist.


H - Integrationsregeln

Durch die Definition des Integrals, kann man einfach zeigen, dass:

1. \displaystyle \int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
Beim Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert das Integral das Vorzeichen.

2. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
Die Summe der Integrale (mit denselben Integrationsgrenzen) ist das Integral über die Summe der Integranden.

3. \displaystyle \int_{a}^{\,b} k \, f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
Das Integral über ein Vielfaches des Integranden ist das Vielfache des Integrals über den einfachen Integranden.

4. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}
Die Summe der Integrale mit demselben Integranden über direkt nebeneinander liegende Intervalle ist gleich dem Integral über das Gesamtinterval.

Außerdem haben Integrale, wo die Funktion negativ ist, ein negatives Vorzeichen, sind aber ansonsten gleich:

\displaystyle \begin{align*}A_1 &= \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx,\\[6pt] A_2 &= -\int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.} \end{align*}

[Image]

Die gesamte Fläche ist \displaystyle \ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,.

Hinweis: Der Wert eines Integrals kann sehr wohl negativ sein, nur die Fläche ist immer positiv.


Beispiel 11

  1. \displaystyle \int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} 2 \, dx =\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1+2) \, dx
    \displaystyle \qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggr)^2}
    \displaystyle \qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 2^4-2^3+2^2+3\cdot 2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2 + 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}
    \displaystyle \qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}
    2.1 - Bild - Die Fläche unter der Kurve y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 und y = x³ - 3x² + 2x + 3
    Das linke Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1. Das mittlere Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Funktion g(x) = 2. Das rechte Bild zeigt die Fläche unter dem Schaubild der Summe der beiden Funktionen, also f(x) + g(x).


  1. \displaystyle \int_{1}^{3} (x^2/2 - 2x) \, dx + \int_{1}^{3} (2x - x^2/2 + 3/2) \, dx = \int_{1}^{3} 3/2 \, dx
    \displaystyle \qquad{} = \Bigl[\,\tfrac{3}{2}x\,\Bigr]_{1}^{3} = \tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = 3

    [Image]

    Die Funktion f(x) = x²/2 - 2x (siehe linkes Bild) und die Funktion g(x) = 2x - x²/2 + 3/2 (siehe mittleres Bild) sind Spiegelungen voneinander in der Geraden y = 3/4.

    Also ist die Summe f(x) + g(x) = 3/2, also eine Konstante. Daher ist das Integral der Summe ein Rechteck mit der Grundseite  2 und der Höhe  3/2 (siehe rechtes Bild).


  1. \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \qquad{}= \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx = \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \qquad{}= \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = \tfrac{2}{3}(3 - \ln 2) = 2 - \tfrac{2}{3}\ln 2


  1. \displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2} = \bigl(\tfrac{8}{3} - 2\bigr) - \bigl(\tfrac{-1}{3} + 1 \bigr) = 0

    [Image]

    Die Figur zeigt die Funktion f(x) = x² - 1 und die Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen.


I - Die Fläche zwischen Funktionen

Wenn \displaystyle f(x) \ge g(x) in einem Intervall \displaystyle a\le x\le b ist, ist die Fläche zwischen den beiden Funktionen in diesem Intervall

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx

- \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}

oder vereinfacht

\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\,\mbox{.}

[Image]

Wenn f(x) und g(x) beide positiv sind und f(x) größer ist als g(x), ist die Fläche zwischen f und g (siehe linkes Bild), der Unterschied in Fläche von den Flächen unter den Schaubildern der Funktionen f (siehe mittleres Bild) und g (siehe rechtes Bild).

Es ist egal, ob \displaystyle f(x) < 0 oder \displaystyle g(x) < 0 so lange \displaystyle f(x) \ge g(x). Der Wert der Fläche ist unabhängig davon, ob die Funktionen positiv oder negativ sind. Dies wird aus folgenden Bildern ersichtlich:

[Image]

Die Fläche zwischen den beiden Graphen der Funktionen ändert sich nicht wenn wir beide Funktionen in die y-Richtung verschieben. Die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) und g(x) ist dasselbe wie die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen f(x) - 3 und g(x) - 3 (siehe mittleres Bild), als auch zwischen den Funktionen f(x) - 6 und g(x) - 6 (siehe rechtes Bild).

Beispiel 12

Berechne die Fläche zwischen den Kurven \displaystyle y=e^x + 1 und \displaystyle y=1 - \frac{x^2}{2} und den Geraden \displaystyle x = –1 und \displaystyle x = 1.

Da \displaystyle e^x + 1 > 1 - \frac{x^2}{2} im ganzen Intervall gilt, berechnen wir die die Fläche so:

\displaystyle \begin{align*} &\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr)\vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \end{align*}

[Image]

Beispiel 13

Berechne die Fläche des endlichen Gebietes zwischen den Graphen der Funktionen \displaystyle y= x^2 und \displaystyle y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}.

Die Schnittpunkte der Kurven erhalten wir, wenn deren y-Werte gleich sind,

\displaystyle \begin{align*} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{oder}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align*}
Zwischen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=1 ist \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2 und wir berechnen die Fläche zwischen den Kurven als
\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx &= \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1}\\

&{}= \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt] &{}= \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3} - (0-0)\\[4pt] &{}= \tfrac{5}{12}\ \end{align*}

[Image]

Beispiel 14

Berechne die Fläche des begrenzten Gebietes zwischen den Graphen der Funktionen \displaystyle y=\frac{1}{x^2}, \displaystyle y=x und \displaystyle y = 2.

In der Abbildung sehen wir, dass die Funktionen unser Gebiet in zwei Teilgebiete \displaystyle A_1 und \displaystyle A_2 aufteilen. Die Fläche des gesamten Gebiets ist die Summe der Flächen der beiden Teilgebiete,

\displaystyle A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx

\quad\text{und}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}

Wir suchen zuerst die Schnittstellen \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=c:

[Image]

  • Die Schnittstelle \displaystyle x=a erhalten wir durch die Gleichung
\displaystyle \frac{1}{x^2} = 2

\quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \, \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}

(Die negative Wurzel ist für uns uninteressant.)
  • Die Schnittstelle \displaystyle x=b erhalten wir durch die Gleichung
\displaystyle \frac{1}{x^2} = x

\quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}

  • Die Schnittstelle \displaystyle x=c erhalten wir durch die Gleichung \displaystyle x = 2.

Das Integral ist also

\displaystyle \begin{align*} A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}\\[4pt] &= \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} = (2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\\[4pt] A_2 &= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{}

\end{align*}

und die Fläche ist

\displaystyle A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2} - 2\sqrt{2}\ .



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