Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:	+	Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
-	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder	+	# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
-	# Endpunkte.	+	# Randstellen.
-	Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert, und überall ableitbar. Also gibt es keine Extrempunkte die die Bedienungen 2 und 3 erfüllen.	+	Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extremstellen, die die Bedingungen 2 und 3 erfüllen.
-	Die Ableitung als null gesetzt ergibt folgende Gleichung	+	Die Ableitung null gesetzt, ergibt folgende Gleichung
	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 6x^2+6x-12 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 6x^2+6x-12 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	This means that if the function has several extreme points, they must be among	+	Die Funktion hat also die stationären Stellen <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>.
-	<math>x=-2</math> and <math>x=1</math>.	+
-	Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, und erhalten so die Extrempunkte.	+	Wir erstellen eine Vorzeichentabelle und erhalten so die Extremstellen.
	{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"		{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
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	|}		|}
-	Die Funktion hat also ein lokales Maxima in <math>x=-2</math> und ein lokales Minima in <math>x=1</math>.	+	Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=-2</math> und ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=1</math>.
-	Berechnen wir den Funktionswert in einigen Punkten, können wir mit Hilfe der Vorzeichentabelle die Funktion zeichnen.	+	Berechnen wir die Funktionswerte von einigen Stellen, können wir mit Hilfe der Vorzeichentabelle die Funktion zeichnen.
	[[Image:1_3_2_c.gif|center]]		[[Image:1_3_2_c.gif|center]]

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Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Randstellen.

Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extremstellen, die die Bedingungen 2 und 3 erfüllen.

Die Ableitung null gesetzt, ergibt folgende Gleichung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 6x^2+6x-12 = 0\,\textrm{.}

Dividieren wir durch 6 erhalten wir durch quadratische Ergänzung

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 = 0\,\textrm{.}

Und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}

mit den Lösungen

\displaystyle \begin{align} x &= -\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2}-\frac{3}{2} = -2\,,\\[5pt] x &= -\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2}+\frac{3}{2} = 1\,\textrm{.} \end{align}

Die Funktion hat also die stationären Stellen \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=1.

Wir erstellen eine Vorzeichentabelle und erhalten so die Extremstellen.

\displaystyle x		\displaystyle -2		\displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x)	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +
\displaystyle f(x)	\displaystyle \nearrow	\displaystyle 21	\displaystyle \searrow	\displaystyle -6	\displaystyle \nearrow

Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=-2 und ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=1.

Berechnen wir die Funktionswerte von einigen Stellen, können wir mit Hilfe der Vorzeichentabelle die Funktion zeichnen.