Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:	+	Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
-	# stationäre Punkte, wo <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# Singuläre Punkte, wo die Funktion nicht ableitbar ist, oder	+	# singuläre Stellen (Theorie 1.3 E), in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
-	# Endpunkte.	+	# Randstellen.
	Wir untersuchen alle drei Fälle.		Wir untersuchen alle drei Fälle.
	<ol>		<ol>
-	<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math> ist	+	<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math>
	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
-	und ist null wenn <math>2x-2=0</math>, also wenn <math>x=1\,</math>.</li>	+	ist null, wenn <math>2x-2=0</math>, also für <math>x=1\,</math>.</li>
-	<li>Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar.</li>	+	<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
-	<li>Die Funktion ist überall definiert, und also hat unser Intervall keine Endpunkte.</li>	+	<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keinen Rand und es gibt keine Randstellen.</li>
	</ol>		</ol>
-	Also sind alle lokalen Extrempunkte auch stationäre Punkte, und also ist <math>x=1\,</math> der einziger Punkt der ein Extrempunkt sein könnte. Wir untersuchen ob der Punkt ein Extrempunkt ist, mit einer Vorzeichentabelle.	+	Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen und so ist <math>x=1\,</math> die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein kann. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.
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-	Nachdem die Ableitung lings von <math>x=1</math> negativ ist, und rechts von <math>x=1</math> positiv ist, ist <math>x=1</math> ein lokales Minima.	+	Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> eine lokale Minimalstelle.
	Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.		Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.
	[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]		[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]

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Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. singuläre Stellen (Theorie 1.3 E), in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
3. Randstellen.

Wir untersuchen alle drei Fälle.

1. Die Ableitung von \displaystyle f(x)

   \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x-2

   ist null, wenn \displaystyle 2x-2=0, also für \displaystyle x=1\,.
2. Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
3. Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keinen Rand und es gibt keine Randstellen.

Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen und so ist \displaystyle x=1\, die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein kann. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.

\displaystyle x		\displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x)	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +
\displaystyle f(x)	\displaystyle \searrow	\displaystyle 0	\displaystyle \nearrow

Da die Ableitung links von \displaystyle x=1 negativ ist und rechts von \displaystyle x=1 positiv, ist \displaystyle x=1 eine lokale Minimalstelle.

Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.