1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Die Definitionen von monoton steigend, streng monoton steigend, monoton fallend, streng monoton fallend, lokales Maximum, globales Maximum, lokales Minimum und globales Minimum.
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* The definition of strictly increasing, strictly decreasing, local maximum, local minimum, global maximum, global minimum.
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* Wenn <math>f^{\,\prime}>0</math> ist, dann ist <math>f</math> streng monoton steigend und wenn <math>f^{\,\prime}<0</math> ist, dann ist <math>f</math> streng monoton fallend.
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* That if <math>f^{\,\prime}>0</math> in an interval then <math>f</math> is strictly increasing in the interval, and that if <math>f^{\,\prime}<0</math> in an interval then <math>f</math> is strictly decreasing in the interval.
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* Wie man stationäre Stellen findet und deren Charakter bestimmt.
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* To locate stationary points and, by studying the sign of the derivative, classify them as local maxima, local minima, and stationary points of inflexion.
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* Wie man mit Hilfe von Vorzeichentabellen der Ableitung Kurven zeichnet.
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* To sketch the graph of a function by constructing a table of signs for the derivative.
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* Wie man globale Maxima und Minima einer Funktion findet.
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* To determine global and local maxima and minima by 1)&nbsp;studying the sign of the derivative, 2)&nbsp;considering points where Die Funktion is not differentiable, 3)&nbsp;examining the endpoints of the interval where Die Funktion is defined.
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* Wie man den Charakter einer stationären Stelle mit der zweiten Ableitung bestimmt.
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* To use the sign of the second derivative to distinguish between local maxima and local minima.
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}}
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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== Steigende und fallende Funktionen ==
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== A - Steigende und fallende Funktionen ==
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Man sagt dass eine Funktion steigend ist falls ihre Ableitung positiv ist, und fallend falls ihre Ableitung negativ ist.
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Man sagt, dass eine Funktion monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist. Man sagt monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.
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Die formelle Definitionen lauten:
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Die formellen Definitionen lauten:
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Eine Funktion f ist steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall:
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Eine Funktion f ist monoton steigend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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Eine Funktion f ist fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall:
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Eine Funktion f ist monoton fallend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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Die Definition sagt uns also dass ein Punkt rechts von einen bestimmten Punkt, immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat als der linke Punkt. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig steigend und fallend sein.
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Die Definition sagt uns also, dass eine Stelle rechts von einer bestimmten Stelle immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat wie die linke Stelle. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend sein.
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Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe '''streng''' steigend und '''streng''' fallend:
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Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe '''streng''' monoton steigend und '''streng''' monoton fallend:
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Eine Funktion f ist '''streng''' steigend in einen bestimmten Intervall, falls für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall:
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Eine Funktion f ist '''streng''' monoton steigend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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Eine Funktion f ist '''streng''' fallend in einen bestimmten Intervall, falls für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall:
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Eine Funktion f ist '''streng''' monoton fallend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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(Eine streng steigende oder fallend Funktion kann nicht konstant sein)
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(Eine streng monoton steigende oder fallende Funktion kann nicht konstant sein.)
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li> Die Funktion <math>y= f(x)</math> wessen Graph unten gezeichnet ist, ist fallend im Intervall <math>0 \le x \le 6</math>.</li>
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<li> Die Funktion <math>y= f(x)</math>, deren Graph unten eingezeichnet ist, ist steigend im Intervall <math>0 \le x \le 6</math>.</li>
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<li> Die Funktion <math>y=-x^3\!/4</math> ist streng fallend.</li>
+
<li> Die Funktion <math>y=-x^3\!/4</math> ist streng monoton fallend.</li>
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<li> Die Funktion <math>y=x^2</math> ist streng steigend für <math>x \ge 0</math>.</li>
+
<li> Die Funktion <math>y=x^2</math> ist streng monoton steigend für <math>x \ge 0</math>.</li>
</ol>
</ol>
Zeile 74: Zeile 74:
||{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x²}}
||{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x²}}
|-
|-
-
||<small>Graph of Die Funktion in part <br> &nbsp;a</small>
+
||<small>Graph der Funktion aus&nbsp;a.</small>
||
||
-
||<small>Graph of Die Funktion<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;''x''³/4</small>
+
||<small>Graph der Funktion ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;''x''³/4</small>
||
||
-
||<small>Graph of Die Funktion<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x²</small>
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||<small>Graph der Funktion ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x²</small>
|}
|}
</div>
</div>
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Um zu bestimmen ob eine Funktion steigend oder fallend ist, verwendet man sich von der Ableitung der Funktion. Es gilt dass:
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Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) steigend,}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) fallend.} \end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad \text{ f&uuml;r alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton steigend in } [a,b],\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad \text{f&uuml;r alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton fallend in } [a,b]. \end{align*}</math>}}
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Hinweis: Das umgekehrte gilt nicht. Eine Funktion wessen Ableitung in einen bestimmten Punkt null ist, kann sehr wohl streng steigend oder streng fallend sein. So lange die Ableitung nur in einen isolierten Punkt null ist, und nicht auf einen Intervall, kann die Funktion streng steigend oder streng fallend sein.
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Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.
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== B - Stationäre Stellen ==
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== Stationäre Punkte ==
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Stellen, in denen <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> gilt, nennt man stationäre Stellen oder kritische Stellen. Wir unterscheiden drei Arten von stationären Stellen:
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* Lokale Maxima, für die <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> links von der Stelle ist und <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> rechts von der Stelle ist.
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* Lokale Minima, für die <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> links von der Stelle ist und <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> rechts von der Stelle ist.
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* Sattelpunkte, wo das Vorzeichen von <math>f^{\,\prime}</math> auf beiden Seiten des Punktes gleich ist.
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Punkte wo <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> benennt man als stationäre Punkte, oder kritische Punkte. Es gibt drei verschiedene Arten von Stationären Punkten:
+
Hinweis: An einer Stelle kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum liegen, ohne dass <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; lies mehr darüber im Abschnitt ''[[#E - Maxima und Minima (Extremwerte)|Maxima und Minima]]''.
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* Lokaler Hochpunkt wo <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> links vom Punkt ist, und <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> rechts vom Punkt ist.
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* Lokaler Tiefpunkt wo <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> links vom Punkt ist, und <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> rechts vom Punkt ist.
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* Sattelpunkt wo <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> oder <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> auf beiden Seiten des Punktes ist.
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Hinweis: Ein Punkt kann ein lokaler Tiefpunkt oder ein lokaler Hochpunkt sein, ohne dass <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; lesen Sie mehr darüber im Abschnitt ''[[#Maxima und Minima|Maxima und Minima]]''.
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== C - Sattelpunkte ==
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== Sattelpunkte ==
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Ein Sattelpunkt ist ein Punkt wo die Ableitung einer Funktion null ist, und gleichzeitig wendet. Also sind Sattelpunkte auch lokale Hoch- oder Tiefpunkte der Ableitung.
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Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, in dem die Ableitung einer Funktion null ist (waagerechte Tangente) jedoch die Funktion nicht ihre Monotonieverhalten verändert (die Funktion ist sowohl links als auch rechts von der Sattelstelle monoton steigend bzw. die Funktion ist sowohl links als auch recht von der Sattelstelle monoton fallend).
<center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center>
{| width="85%" align="center"
{| width="85%" align="center"
-
||<small> Im Sattelpunkt ändert sich die Richtung der Ableitung. Die linke Kurve hat einen Wendepunkt wenn ''x''&nbsp;=&nbsp;0, wo die Ableitung null ist. Die anderen Funktionen im Gegensinn, haben keine Sattelpunkte.</small>
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||<small> Im Sattelpunkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung nicht. Die linke Kurve hat einen Sattelstelle bei ''x''&nbsp;=&nbsp;0. Die anderen Funktionen hingegen haben keine Sattelpunkte.</small>
|}
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Zeile 112: Zeile 110:
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - x⁵}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - x⁵}}</center>
-
Die Funktion hat einen lokalen Tiefpunkt in <math>x = -2</math>, einen Sattelpunkt in <math>x = 0</math> und einen lokalen Hochpunkt in <math>x = 2</math>.
+
Die Funktion hat einen lokales Minimum in <math>x = -2</math>, einen Sattelpunkt in <math>x = 0</math> und einen lokales Maximum in <math>x = 2</math>.
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== Vorzeichentabelle ==
+
== D - Vorzeichentabelle ==
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Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) studiert, kann man viel Information über die Funktion bekommen.
+
Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) betrachtet, kann man viele Informationen über die Funktion erhalten.
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Um die Funktion zu studieren macht man eine so genannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die ''x''-Werte wo <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, und die Punkte wo die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen Stationären Punkten.
+
Um eine Funktion zu untersuchen, macht man eine sogenannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die ''x''-Werte, bei denen <math>f^{\,\prime}(x) =0</math> und die Stellen, an denen die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen stationären Stellen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
'''Beispiel 2'''
'''Beispiel 2'''
-
Machen Sie eine Vorzeichentabelle von der Funktion <math>f(x) = x^3 -12x + 6</math> und zeichnen Sie die Funktion.
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Machen Sie eine Vorzeichentabelle der Funktion <math>f(x) = x^3 -12x + 6</math> und zeichnen Sie die Funktion.
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f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).</math>}}
f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).</math>}}
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Der Faktor <math>x-2</math> ist negativ links von <math>x=2</math> und positiv rechts von <math>x=2</math>. Der Faktor <math>x+2</math> ist negativ linkt von <math>x=-2</math> and positiv rechts von <math>x=-2</math>. Durch diese Information erschaffen wir eine Tabelle:
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Der Faktor <math>x-2</math> ist negativ links von <math>x=2</math> und positiv rechts von <math>x=2</math>. Der Faktor <math>x+2</math> ist negativ links von <math>x=-2</math> und positiv rechts von <math>x=-2</math>. Mit Hilfe dieser Information erstellen wir eine Tabelle:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 159: Zeile 156:
|}
|}
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Nachdem die Ableitung der Produkt von <math>x-2</math> und <math>x+2</math> ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:
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Nachdem die Ableitung das Produkt von <math>x-2</math> und <math>x+2</math> ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 185: Zeile 182:
|}
|}
-
In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen indiziert ob die Funktion streng steigend&nbsp;<math>(\,\nearrow\,\,)</math> oder streng fallend&nbsp;<math>(\,\searrow\,\,)</math> ist im Intervall, und zusätzlich die Werte der Funktion in den Stationären Punkten <math>x=-2</math> und <math>x=2</math>.
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In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen angegeben, ob die Funktion streng monoton steigend&nbsp;<math>(\,\nearrow\,\,)</math> oder streng monoton fallend&nbsp;<math>(\,\searrow\,\,)</math> im Intervall ist und zusätzlich die Werte der Funktion an den stationären Stellen <math>x=-2</math> und <math>x=2</math>.
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Von der Tabelle sehen wir dass die Funktion einen lokalen Hochpunkt in <math>(–2, 22)</math> hat, und einen lokalen Tiefpunkt in <math>(2, –10)</math> hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:
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Aus der Tabelle sehen wir, dass die Funktion ein lokales Maximum in <math>(–2, 22)</math> hat und ein lokales Minimum in <math>(2, –10)</math> hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 12x + 6}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 12x + 6}}</center>
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-
== Maxima und Minima (Extremwerte) ==
+
== E - Maxima und Minima (Extremwerte) ==
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Eine Stelle, an der die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man ''lokales Maximum'' oder ''lokales Minimum''. Lokale Maxima und lokale Minima nennt man auch lokale Extrema.
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A point at which a function takes on its largest or smallest value in comparison with its immediate surroundings is called a ''local maximum '' or ''local minimum'' (often abbreviated to max and min). Local maxima and minima are together known as ''extrema''.
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Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrema:
-
An extremum may occur in one of three ways:
+
:* Eine stationäre Stelle (<math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>).
-
 
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:* Eine Stelle, in dem die Ableitung nicht definiert ist ('''singuläre Stelle''').
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:* At a stationary point (where <math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>).
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:* An der letzten Stelle des Intervalles, in dem die Funktion definiert ist.
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:* At a point where the derivative does not exist (known as a ''singular point'').
+
-
:* At an endpoint to the interval where Die Funktion is defined.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 3'''
''' Beispiel 3'''
-
For Die Funktion below there are four extrema: maximum at <math>x=c</math> and <math>x=e</math>, and minimum at <math>x=a</math> and <math>x=d</math>.
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Die Funktion unten hat vier lokale Extrema: Lokale Maxima in <math>x=c</math> und <math>x=e</math>, und lokale Minima in <math>x=a</math> und <math>x=d</math>.
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<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x), wo f Extremwerten in den punkten x = a, b, c, d, e hat}}</center>
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<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) wo f Extremwerte in den Stellen x = a, b, c, d, e annimmt}}</center>
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+
-
At <math>x=a</math>, <math>x=b</math> and <math>x=d</math> one has <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, but it is only at <math>x=a</math> and <math>x=d</math> that there are extrema, since <math>x=b</math> is a stationary point of inflexion.
+
In <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=d</math> ist <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, aber nur an den Stellen <math>x=a</math> und <math>x=d</math> sind Extrempunkte, da bei <math>x=b</math> ein Sattelpunkt ist.
-
At <math>x=c</math> the derivative is not defined (as it is a cusp or corner of the curve and it is not possible to determine the slope). The point <math>x=e</math> is an endpoint.
+
In <math>x=c</math> ist die Ableitung nicht definiert. Die Stelle <math>x=e</math> ist eine Randstelle und ordnet somit einen Endpunkt zu.
</div>
</div>
-
When one is looking for the extrema of a function one must discover and examine all possible candidates for these points. An appropriate working procedures is:
+
Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Folgende Vorgangsweise ist nützlich:
-
:# Differentiate Die Funktion.
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:# Die Funktion ableiten.
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:# Check to see if there are any points where <math>f^{\,\prime}(x)</math> is not defined.
+
:# Untersuchen, ob es Stellen gibt, in denen <math>f^{\,\prime}(x)</math> nicht definiert ist.
-
:# Determine all points where <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>.
+
:# Alle Stellen finden, in denen <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> ist.
-
:# Make a table of signs to locate and classify all of the extrema.
+
:# Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrema finden.
-
:# Calculate the value of Die Funktion for all the extrema and at any endpoints.
+
:# Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
-
Determine all the extrema of the curve <math>y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12</math>.
+
Bestimme die Extrema der Funktion <math>y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
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Die Funktion's derivative is given by
+
Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}
-
In order to determine how the sign of the derivative varies along the real-number axis, we factorise the derivative as completely as possible. We have already managed to take out the factor <math>12x</math> and we can factorise further the remaining term <math>x^2+x-2</math> by identifying its zeros
+
Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor <math>12x</math> haben wir schon und können die Funktion weiter zerlegen, indem wir die Nullstellen von <math>x^2+x-2</math> finden.
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{or}\quad x=1.</math>}}
+
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{oder}\quad x=1.</math>}}
-
This means that <math>x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> and the derivative can be rewritten as
+
Also ist <math>x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> und die Ableitung ist
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}</math>}}
-
It can be seen immediately from this that the derivative is zero for <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> and <math>x=1</math>. In addition, we can see how the derivatives sign varies by examining the sign of each individual factor in the product for different values of <math>x</math>.
+
Die Nullstellen der Ableitung sind <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> und <math>x=1</math>. Zusätzlich können wir das Vorzeichen für jeden einzelnen Term für verschiedene <math>x</math> bestimmen.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 288: Zeile 284:
|}
|}
-
The derivative is the product of these factors, and we may obtain the sign of the derivative by multiplying together signs of the factors in each interval.
+
Multiplizieren wir die Vorzeichen in jeder Spalte, erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 321: Zeile 317:
|}
|}
-
The curve has thus local minima at <math>(–2, –20)</math> and <math>(1, 7)</math> and a local maximum at <math>(0, 12)</math>.
+
Die Kurve hat also lokale Minima in den Punkten <math>(–2, –20)</math> und <math>(1, 7)</math> und ein lokales Maximum im Punkt <math>(0, 12)</math>.
</div>
</div>
Zeile 328: Zeile 324:
''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
-
Determine all extrema of the curve <math>y= x - x^{2/3}</math>.
+
Bestimme alle Extrema der Funktion <math>y= x - x^{2/3}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The derivative of Die Funktion is given by
+
Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
Zeile 337: Zeile 333:
\, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}
\, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}
-
From this expression, we see that <math>y'</math> is not defined for <math>x = 0</math> (although which <math>y</math> is defined). This means that Die Funktion has a singular point at <math>x=0</math>.
+
Von dieser Funktion sehen wir, dass <math>y'</math> für <math>x = 0</math> nicht definiert ist (obwohl <math>y</math> definiert ist). Also hat die Funktion eine singuläre Stelle in <math>x=0</math>.
-
The stationary points of Die Funktion are given by
+
Die stationären Stellen der Funktion erhalten wir durch
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
Zeile 347: Zeile 343:
x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}</math>}}
x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}</math>}}
-
The only points at which Die Funktion might have an extremum are thus <math>x=0</math> and <math>x=\tfrac{8}{27}</math>. In order to determine the nature of these points we create a table of signs:
+
Also kann die Funktion Extrema in den Stellen <math>x=0</math> und <math>x=\tfrac{8}{27}</math> haben. Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um die Stellen weiter zu untersuchen:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 360: Zeile 356:
|width="50px" align="center"| <math>y'</math>
|width="50px" align="center"| <math>y'</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
-
|width="50px" align="center"| not def.
+
|width="50px" align="center"| nicht def.
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
Zeile 373: Zeile 369:
|}
|}
-
The curve has a local maximum at <math>(0, 0)</math> (a cusp) and a local minimum at <math>(\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,</math>.
+
Also hat die Funktion einen lokales Maximum im Punkt <math>(0, 0)</math> und einen lokales Minimum im Punkt <math>(\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,</math>.
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x - x^⅔}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x - x^⅔}}</center>
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-
== Global min / max ==
+
== F - Globale Maxima und Minima ==
-
A function has a''global'' maximum at a point if its value there is greater than, or at least equal to, its value at any other point where it is defined; similarly, a global minimum is a point where Die Funktion's value is less than, or at most equal to, its value anywhere else.
+
Ein globales Maximum ist ein Punkt, der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein globales Minimum ein Punkt, der einen niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.
 +
Um die globalen Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokalen Maxima und Minima bestimmen und danach den höchsten und niedrigsten Wert von diesen.
-
To determine a function's global max or min one must therefore find all the extrema and calculate the values of Die Funktion at them. If Die Funktion is defined on an interval with endpoints, one must of course also examine its value at these points.
+
Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maximum oder Minimum, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.
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Note that a function need not have a global max or a global min, even if it has several local extrema.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<center>{{:1.3 - Bild - Zwei Funktionen, wo eine weder Hoch- noch Tiefpunkt hat, und die andere keinen Tiefpunkt hat}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Zwei Funktionen, wo eine weder Hoch- noch Tiefpunkt hat, und die andere keinen Tiefpunkt hat}}</center>
-
In the first figure Die Funktion has no global maximum nor global minimum. In the second figure the function has no global minimum.
+
Die linke Funktion hat weder ein globales Maximum noch Minimum. Die rechte Funktion hat kein globales Minimum.
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-
In applications, circumstances often dictate that a function has a limited interval where it is defined, i.e. one only studies part of the graph of Die Funktion. One must therefore be careful in case the global max or min is at an endpoint of the interval.
+
Wenn eine Funktion auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist, muss man beachten, dass die Endpunkte ein globales Maximum oder Minimum sein können.
<center>{{:1.3 - Bild - Eine Kurve mit lokalen und globalen Extremwerten}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Eine Kurve mit lokalen und globalen Extremwerten}}</center>
-
The above function is only of interest in the interval <math>a\le x \le e</math>. We see that the minimum value of Die Funktion in this interval occurs at the stationary point <math>x=b</math>, while the maximim value is found at the endpoint <math>x=e</math>.
+
Diese Funktion ist nur im Intervall <math>a\le x \le e</math> interessant. Wir sehen, dass das globale Minimum der Funktion an der Stelle <math>x=b</math> ist, und dass das globale Maximum an der Stelle <math>x=e</math> ist.
<div class="exempel">
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''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
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+
Bestimme das Maximum und Minimum der Funktion <math>f(x) = x^3 -3x + 2</math> im Intervall <math>-0\textrm{.}5 \le x \le 1\,</math>.
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Determine the maximum and minimum value of Die Funktion <math>f(x) = x^3 -3x + 2</math> in the interval <math>-0\textrm{.}5 \le x \le 1\,</math>.
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We differentiate Die Funktion, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math>, and put the derivative equal to zero to obtain all the stationary points
+
Wir leiten die Funktion <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math> ab, und bestimmen so alle stationären Stellen,
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}}
-
The point <math>x = –1</math> is outside the interval on which Die Funktion is defined, and <math>x = 1</math> lies at one endpoint of this interval. Since Die Funktion has no singular points (it is differentiable everywhere), its maximum and minimum must be at the interval's endpoints,
+
Die Stelle <math>x = –1</math> liegt ausserhalb des Intervalles und <math>x = 1</math> liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Stellen, daher muss das Maximum und das Minimum an einem der Endpunkte liegen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}
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Die Funktion's maximum value on the given interval is thus <math>3\textrm{.}375</math>. The minimum value is <math>0</math> (see the figure).
+
Das Maximum der Funktion ist also <math>3\textrm{.}375</math>. Das Minimum ist <math>0</math> (siehe Figur).
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 3x + 2}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 3x + 2}}</center>
-
+
-
The figure shows Die Funktion with the whole graph as a dashed curve , with the part that is within the given interval appearing as a continuous curve.
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Die Figur zeigt den ganzen Graph der Funktion in dem Bereich, der im Intervall liegt, mit einer durchgehenden Linie.
</div>
</div>
-
== The second derivative ==
+
== G - Die zweite Ableitung ==
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The sign of the derivative of a function gives us information about whether Die Funktion is increasing or decreasing. Similarly, the sign of the ''second'' derivative can show if the first order derivative is increasing or decreasing. This can , among other things, be used to find out whether a given extremum is a maximum or minimum.
+
Das Vorzeichen der Ableitung gibt uns genügend Information darüber, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen, ob die Ableitung der Funktion monoton steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrema bestimmen.
-
If Die Funktion <math>f(x)</math> has a stationary point at <math>x=a</math> where <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, then
+
Falls die Funktion <math>f(x)</math> eine stationäre Stelle in <math>x=a</math> hat, in dem <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, ist
-
# The derivative <math>f^{\,\prime}(x)</math> is strictly decreasing in some interval surrounding <math>x=a</math>.
+
# die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng monoton fallend in einer Umgebung von <math>x=a</math>,
-
# Since <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> then <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> to the left of <math>x=a</math> and <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> to the right of <math>x=a</math>.
+
# <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> links von <math>x=a</math>, da <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> und deshalb auch <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> rechts von <math>x=a</math>.
-
# This means that Die Funktion <math>f(x)</math> has a local maximum at <math>x=a</math>.
+
Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=a</math>.
 +
 
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit negativer zweiter Ableitung}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit negativer zweiter Ableitung}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small> If the derivative is positive to the left of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' and negative to the right of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' the function has a local maximum at ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
+
||<small> Wenn die Ableitung links von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' positiv ist, und rechts von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maximum an der Stelle ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}
|}
-
If Die Funktion <math>f(x)</math> has a stationary point at <math>x=a</math> where <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>, then
+
Wenn die Funktion <math>f(x)</math> eine stationäre Stelle in <math>x=a</math> hat, in dem <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>, ist
-
# The derivative <math>f^{\,\prime}(x)</math> is strictly increasing in some interval around <math>x=a</math>.
+
# die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng monoton steigend in einer Umgebung von <math>x=a</math>,
-
# Since <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> then <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> to the left of <math>x=a</math> and <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> to the right of <math>x=a</math>.
+
# <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> links von <math>x=a</math>, da <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> und deshalb auch <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> rechts von <math>x=a</math>.
-
# This means that Die Funktion <math>f(x)</math> has a local minimum at <math>x=a</math>.
+
Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=a</math>.
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit positiver zweiter Ableitung}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit positiver zweiter Ableitung}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small>If the derivative is negative to the left of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' and positive to the right of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' the function has a local minimum at ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
+
||<small> Wenn die Ableitung links von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' negativ ist, und rechts von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minimum an der Stelle ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}
|}
-
If <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, no information can be deduced, and further investigation is required, for example by means of a table of signs. Note in particular that <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> does ''not'' imply that the point is a stationary point of inflexion (although <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> at all points of inflexion, it can also be zero elsewhere, including at maxima and minima).
+
Wenn <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, können wir nichts Weiteres über den stationäre Stelle sagen. In diesem Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Achtung: <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> bedeutet nicht, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> für alle Sattelpunkte gilt, gilt nicht das Umgekehrte.
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'''Beispiel 8'''
'''Beispiel 8'''
-
Determine all the extrema of Die Funktion <math>f(x)=x^3 -x^2 -x +2</math> and determine their character by using the second derivative.
+
Bestimme alle Extrempunkte der Funktion <math>f(x)=x^3 -x^2 -x +2</math> und bestimme deren Charakter mit Hilfe der zweiten Ableitung.
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-
This function is a polynomial and is therefore differentiable everywhere. If Die Funktion has any extrema, they must therefore be found among the stationary points. We thus differentiate Die Funktion, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, and equate the derivative to zero
+
Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Stellen sein. Die Ableitung der Funktion ist <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, und die Nullstellen der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
-
x=1 \quad\text{or}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
+
x=1 \quad\text{oder}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
Die Funktion has stationary points at <math>x = 1</math> and <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. By examining the sign of the second derivative <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math>, we can classify each stationary point .
+
Die Funktion hat also die stationäre Stelle <math>x = 1</math> und <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math> bestimmen, können wir den Charakter der stationären Stellen bestimmen.
-
* For <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> we have that <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math> and that means that <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> is a local maximum.
+
* Für <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math>, also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ein lokales Maximum.
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* For <math>x=1</math> we have that <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math> and that means that <math>x=1</math> is a local maximum.
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* Für <math>x=1</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math>, also ist <math>x=1</math> ein lokales Minimum.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Kurven zeichnen
  • Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Die Definitionen von monoton steigend, streng monoton steigend, monoton fallend, streng monoton fallend, lokales Maximum, globales Maximum, lokales Minimum und globales Minimum.
  • Wenn \displaystyle f^{\,\prime}>0 ist, dann ist \displaystyle f streng monoton steigend und wenn \displaystyle f^{\,\prime}<0 ist, dann ist \displaystyle f streng monoton fallend.
  • Wie man stationäre Stellen findet und deren Charakter bestimmt.
  • Wie man mit Hilfe von Vorzeichentabellen der Ableitung Kurven zeichnet.
  • Wie man globale Maxima und Minima einer Funktion findet.
  • Wie man den Charakter einer stationären Stelle mit der zweiten Ableitung bestimmt.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Steigende und fallende Funktionen

Man sagt, dass eine Funktion monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist. Man sagt monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.

Die formellen Definitionen lauten:

Eine Funktion f ist monoton steigend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist monoton fallend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}

Die Definition sagt uns also, dass eine Stelle rechts von einer bestimmten Stelle immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat wie die linke Stelle. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend sein.

Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe streng monoton steigend und streng monoton fallend:

Eine Funktion f ist streng monoton steigend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist streng monoton fallend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}

(Eine streng monoton steigende oder fallende Funktion kann nicht konstant sein.)

Beispiel 1

  1. Die Funktion \displaystyle y= f(x), deren Graph unten eingezeichnet ist, ist steigend im Intervall \displaystyle 0 \le x \le 6.
  2. Die Funktion \displaystyle y=-x^3\!/4 ist streng monoton fallend.
  3. Die Funktion \displaystyle y=x^2 ist streng monoton steigend für \displaystyle x \ge 0.


[Image]

[Image]

[Image]

Graph der Funktion aus a. Graph der Funktion f(x) = - x³/4 Graph der Funktion f(x) = x²

Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad \text{ für alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton steigend in } [a,b],\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad \text{für alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton fallend in } [a,b]. \end{align*}

Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.

B - Stationäre Stellen

Stellen, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 gilt, nennt man stationäre Stellen oder kritische Stellen. Wir unterscheiden drei Arten von stationären Stellen:

  • Lokale Maxima, für die \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 links von der Stelle ist und \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 rechts von der Stelle ist.
  • Lokale Minima, für die \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 links von der Stelle ist und \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 rechts von der Stelle ist.
  • Sattelpunkte, wo das Vorzeichen von \displaystyle f^{\,\prime} auf beiden Seiten des Punktes gleich ist.

Hinweis: An einer Stelle kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum liegen, ohne dass \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0; lies mehr darüber im Abschnitt Maxima und Minima.

C - Sattelpunkte

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, in dem die Ableitung einer Funktion null ist (waagerechte Tangente) jedoch die Funktion nicht ihre Monotonieverhalten verändert (die Funktion ist sowohl links als auch rechts von der Sattelstelle monoton steigend bzw. die Funktion ist sowohl links als auch recht von der Sattelstelle monoton fallend).

[Image]

Im Sattelpunkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung nicht. Die linke Kurve hat einen Sattelstelle bei x = 0. Die anderen Funktionen hingegen haben keine Sattelpunkte.


[Image]

Die Funktion hat einen lokales Minimum in \displaystyle x = -2, einen Sattelpunkt in \displaystyle x = 0 und einen lokales Maximum in \displaystyle x = 2.

D - Vorzeichentabelle

Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) betrachtet, kann man viele Informationen über die Funktion erhalten.

Um eine Funktion zu untersuchen, macht man eine sogenannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die x-Werte, bei denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0 und die Stellen, an denen die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen stationären Stellen.

Beispiel 2

Machen Sie eine Vorzeichentabelle der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -12x + 6 und zeichnen Sie die Funktion.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).

Der Faktor \displaystyle x-2 ist negativ links von \displaystyle x=2 und positiv rechts von \displaystyle x=2. Der Faktor \displaystyle x+2 ist negativ links von \displaystyle x=-2 und positiv rechts von \displaystyle x=-2. Mit Hilfe dieser Information erstellen wir eine Tabelle:

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle x-2 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +

Nachdem die Ableitung das Produkt von \displaystyle x-2 und \displaystyle x+2 ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle 22 \displaystyle \searrow \displaystyle -10 \displaystyle \nearrow

In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen angegeben, ob die Funktion streng monoton steigend \displaystyle (\,\nearrow\,\,) oder streng monoton fallend \displaystyle (\,\searrow\,\,) im Intervall ist und zusätzlich die Werte der Funktion an den stationären Stellen \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=2.

Aus der Tabelle sehen wir, dass die Funktion ein lokales Maximum in \displaystyle (–2, 22) hat und ein lokales Minimum in \displaystyle (2, –10) hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:

[Image]


E - Maxima und Minima (Extremwerte)

Eine Stelle, an der die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man lokales Maximum oder lokales Minimum. Lokale Maxima und lokale Minima nennt man auch lokale Extrema.

Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrema:

  • Eine stationäre Stelle (\displaystyle f^{\,\prime}(x)=0\,).
  • Eine Stelle, in dem die Ableitung nicht definiert ist (singuläre Stelle).
  • An der letzten Stelle des Intervalles, in dem die Funktion definiert ist.

Beispiel 3

Die Funktion unten hat vier lokale Extrema: Lokale Maxima in \displaystyle x=c und \displaystyle x=e, und lokale Minima in \displaystyle x=a und \displaystyle x=d.

[Image]

In \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=d ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0, aber nur an den Stellen \displaystyle x=a und \displaystyle x=d sind Extrempunkte, da bei \displaystyle x=b ein Sattelpunkt ist.

In \displaystyle x=c ist die Ableitung nicht definiert. Die Stelle \displaystyle x=e ist eine Randstelle und ordnet somit einen Endpunkt zu.

Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Folgende Vorgangsweise ist nützlich:

  1. Die Funktion ableiten.
  2. Untersuchen, ob es Stellen gibt, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) nicht definiert ist.
  3. Alle Stellen finden, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 ist.
  4. Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrema finden.
  5. Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.

Beispiel 4

Bestimme die Extrema der Funktion \displaystyle y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}

Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor \displaystyle 12x haben wir schon und können die Funktion weiter zerlegen, indem wir die Nullstellen von \displaystyle x^2+x-2 finden.

\displaystyle

x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{oder}\quad x=1.

Also ist \displaystyle x^2+x-2=(x+2)(x-1) und die Ableitung ist

\displaystyle y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}

Die Nullstellen der Ableitung sind \displaystyle x=-2, \displaystyle x=0 und \displaystyle x=1. Zusätzlich können wir das Vorzeichen für jeden einzelnen Term für verschiedene \displaystyle x bestimmen.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x-1 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +

Multiplizieren wir die Vorzeichen in jeder Spalte, erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \searrow \displaystyle -20 \displaystyle \nearrow \displaystyle 12 \displaystyle \searrow \displaystyle 7 \displaystyle \nearrow

Die Kurve hat also lokale Minima in den Punkten \displaystyle (–2, –20) und \displaystyle (1, 7) und ein lokales Maximum im Punkt \displaystyle (0, 12).

Beispiel 5

Bestimme alle Extrema der Funktion \displaystyle y= x - x^{2/3}.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

y' = 1 - \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}

Von dieser Funktion sehen wir, dass \displaystyle y' für \displaystyle x = 0 nicht definiert ist (obwohl \displaystyle y definiert ist). Also hat die Funktion eine singuläre Stelle in \displaystyle x=0.

Die stationären Stellen der Funktion erhalten wir durch

\displaystyle

y'=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1= \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt[3]{x} = \tfrac {2}{3}\quad \Leftrightarrow \quad x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}

Also kann die Funktion Extrema in den Stellen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=\tfrac{8}{27} haben. Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um die Stellen weiter zu untersuchen:

\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle \frac{8}{27}
\displaystyle y' \displaystyle + nicht def. \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle y \displaystyle \nearrow \displaystyle 0 \displaystyle \searrow \displaystyle -\frac{4}{27} \displaystyle \nearrow

Also hat die Funktion einen lokales Maximum im Punkt \displaystyle (0, 0) und einen lokales Minimum im Punkt \displaystyle (\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,.

[Image]


F - Globale Maxima und Minima

Ein globales Maximum ist ein Punkt, der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein globales Minimum ein Punkt, der einen niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.

Um die globalen Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokalen Maxima und Minima bestimmen und danach den höchsten und niedrigsten Wert von diesen.

Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maximum oder Minimum, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.

Beispiel 6

[Image]

Die linke Funktion hat weder ein globales Maximum noch Minimum. Die rechte Funktion hat kein globales Minimum.

Wenn eine Funktion auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist, muss man beachten, dass die Endpunkte ein globales Maximum oder Minimum sein können.

[Image]

Diese Funktion ist nur im Intervall \displaystyle a\le x \le e interessant. Wir sehen, dass das globale Minimum der Funktion an der Stelle \displaystyle x=b ist, und dass das globale Maximum an der Stelle \displaystyle x=e ist.


Beispiel 7 Bestimme das Maximum und Minimum der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -3x + 2 im Intervall \displaystyle -0\textrm{.}5 \le x \le 1\,.

Wir leiten die Funktion \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3 ab, und bestimmen so alle stationären Stellen,

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}

Die Stelle \displaystyle x = –1 liegt ausserhalb des Intervalles und \displaystyle x = 1 liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Stellen, daher muss das Maximum und das Minimum an einem der Endpunkte liegen.

\displaystyle \begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}

Das Maximum der Funktion ist also \displaystyle 3\textrm{.}375. Das Minimum ist \displaystyle 0 (siehe Figur).

[Image]

Die Figur zeigt den ganzen Graph der Funktion in dem Bereich, der im Intervall liegt, mit einer durchgehenden Linie.


G - Die zweite Ableitung

Das Vorzeichen der Ableitung gibt uns genügend Information darüber, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen, ob die Ableitung der Funktion monoton steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrema bestimmen.


Falls die Funktion \displaystyle f(x) eine stationäre Stelle in \displaystyle x=a hat, in dem \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)<0, ist

  1. die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng monoton fallend in einer Umgebung von \displaystyle x=a,
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 links von \displaystyle x=a, da \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 und deshalb auch \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 rechts von \displaystyle x=a.

Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=a.


[Image]

Wenn die Ableitung links von x = a positiv ist, und rechts von x = a negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maximum an der Stelle x = a.


Wenn die Funktion \displaystyle f(x) eine stationäre Stelle in \displaystyle x=a hat, in dem \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)>0, ist

  1. die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng monoton steigend in einer Umgebung von \displaystyle x=a,
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 links von \displaystyle x=a, da \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 und deshalb auch \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 rechts von \displaystyle x=a.

Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=a.

[Image]

Wenn die Ableitung links von x = a negativ ist, und rechts von x = a positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minimum an der Stelle x = a.


Wenn \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0, können wir nichts Weiteres über den stationäre Stelle sagen. In diesem Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Achtung: \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 bedeutet nicht, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 für alle Sattelpunkte gilt, gilt nicht das Umgekehrte.


Beispiel 8

Bestimme alle Extrempunkte der Funktion \displaystyle f(x)=x^3 -x^2 -x +2 und bestimme deren Charakter mit Hilfe der zweiten Ableitung.

Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Stellen sein. Die Ableitung der Funktion ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1, und die Nullstellen der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung

\displaystyle

f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1 \quad\text{oder}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}

Die Funktion hat also die stationäre Stelle \displaystyle x = 1 und \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2 bestimmen, können wir den Charakter der stationären Stellen bestimmen.

  • Für \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0, also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ein lokales Maximum.
  • Für \displaystyle x=1 ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(1)=4>0, also ist \displaystyle x=1 ein lokales Minimum.



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