Lösung 1.2:3b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } } = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\dfrac{x+1}{x-1} } } }\cdot \Bigl( \frac{x+1}{x-1}\Bigr)'\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } } = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\dfrac{x+1}{x-1} } } }\cdot \Bigl( \frac{x+1}{x-1}\Bigr)'\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Die innere Ableitung berechnen wir mit der Quotientenregel | + | Die innere Ableitung berechnen wir mit der Quotientenregel |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | + | wo wir die Vereinfachungen | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{x-1}}{(x-1)^2} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{x-1}}{(x-1)^2} | ||
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= (x-1)^{1/2-2} | = (x-1)^{1/2-2} | ||
= (x-1)^{-3/2} | = (x-1)^{-3/2} | ||
| - | = \frac{1}{(x-1)^{3/2}}\,\textrm{ | + | = \frac{1}{(x-1)^{3/2}}\,\textrm{}</math>}} |
verwendet haben. | verwendet haben. | ||
Aktuelle Version
Die äußere Funktion ist
| \displaystyle \sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } } |
und mit der Kettenregel erhalten wir die Ableitung
| \displaystyle \frac{d}{dx}\,\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } } = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\dfrac{x+1}{x-1} } } }\cdot \Bigl( \frac{x+1}{x-1}\Bigr)'\,\textrm{.} |
Die innere Ableitung berechnen wir mit der Quotientenregel
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} &= \frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}\cdot\frac{(x+1)'\cdot (x-1) - (x+1)\cdot (x-1)'}{(x-1)^2}\\[5pt] &= \frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}\cdot \frac{1\cdot (x-1) - (x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}\\[5pt] &= \frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}\cdot \frac{-2}{(x-1)^2}\\[5pt] &= -\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}\\[5pt] &= -\frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}\,, \end{align} |
wo wir die Vereinfachungen
| \displaystyle \frac{\sqrt{x-1}}{(x-1)^2}
= \frac{(x-1)^{1/2}}{(x-1)^2} = (x-1)^{1/2-2} = (x-1)^{-3/2} = \frac{1}{(x-1)^{3/2}}\,\textrm{} |
verwendet haben.
