Lösung 2.2:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:2_2_4b-1(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:2_2_4b-2(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}})
Aktuelle Version (13:01, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 8 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
Es wäre möglich, die Substitution <math>u=x-1</math> zu machen, aber dies würde nicht das Problem mit dem Term 3 lösen. Wir ziehen stattdessen den Faktor 3 aus den Nenner
-
<center> [[Bild:2_2_4b-1(2).gif]] </center>
+
 
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
{{NAVCONTENT_START}}
+
\int \frac{dx}{(x-1)^2+3}
-
<center> [[Bild:2_2_4b-2(2).gif]] </center>
+
&= \int \frac{dx}{3\bigl(\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1\bigr)}\\[5pt]
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+
&= \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1}
 +
\end{align}</math>}}
 +
 
 +
und schreiben den Faktor <math>\tfrac{1}{3}</math> in das Quadrat <math>(x-1)^2</math>.
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}</math>}}
 +
 
 +
Jetzt machen wir die Substitution <math>u = (x-1)/\!\sqrt{3}</math> und erhalten
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}
 +
&= \left\{\begin{align}
 +
u &= (x-1)/\!\sqrt{3}\\[5pt]
 +
du &= dx/\!\sqrt{3}
 +
\end{align}\right\}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{3}\int \frac{\sqrt{3}\,du}{u^2+1}\\[5pt]
 +
&= \frac{\sqrt{3}}{3}\int \frac{du}{u^2+1}\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan u + C\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{x-1}{\sqrt{3}} + C\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Es wäre möglich, die Substitution \displaystyle u=x-1 zu machen, aber dies würde nicht das Problem mit dem Term 3 lösen. Wir ziehen stattdessen den Faktor 3 aus den Nenner

\displaystyle \begin{align}

\int \frac{dx}{(x-1)^2+3} &= \int \frac{dx}{3\bigl(\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1\bigr)}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} \end{align}

und schreiben den Faktor \displaystyle \tfrac{1}{3} in das Quadrat \displaystyle (x-1)^2.

\displaystyle \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{3}(x-1)^2+1} = \frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1}

Jetzt machen wir die Substitution \displaystyle u = (x-1)/\!\sqrt{3} und erhalten

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{3}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x-1}{\sqrt{3}}\Bigr)^2+1} &= \left\{\begin{align} u &= (x-1)/\!\sqrt{3}\\[5pt] du &= dx/\!\sqrt{3} \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\int \frac{\sqrt{3}\,du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{\sqrt{3}}{3}\int \frac{du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan u + C\\[5pt] &= \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{x-1}{\sqrt{3}} + C\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.2:4b“