1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{:1.3 - Figure - The graph of f(x), where f has extreme points in x = a, b, c, d, e}} +{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x), wo f Extremwerten in den punkten x = a, b, c, d, e hat}}))
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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
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* Sketching curves
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* Kurven zeichnen
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* Maximum and minimum problems
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* Maximierungs- und Minimierungsprobleme
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:
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* Die Definitionen von monoton steigend, streng monoton steigend, monoton fallend, streng monoton fallend, lokales Maximum, globales Maximum, lokales Minimum und globales Minimum.
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* The definition of strictly increasing, strictly decreasing, local maximum, local minimum, global maximum, global minimum.
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* Wenn <math>f^{\,\prime}>0</math> ist, dann ist <math>f</math> streng monoton steigend und wenn <math>f^{\,\prime}<0</math> ist, dann ist <math>f</math> streng monoton fallend.
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* That if <math>f^{\,\prime}>0</math> in an interval then <math>f</math> is strictly increasing in the interval, and that if <math>f^{\,\prime}<0</math> in an interval then <math>f</math> is strictly decreasing in the interval.
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* Wie man stationäre Stellen findet und deren Charakter bestimmt.
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* To locate stationary points and, by studying the sign of the derivative, classify them as local maxima, local minima, and stationary points of inflexion.
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* Wie man mit Hilfe von Vorzeichentabellen der Ableitung Kurven zeichnet.
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* To sketch the graph of a function by constructing a table of signs for the derivative.
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* Wie man globale Maxima und Minima einer Funktion findet.
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* To determine global and local maxima and minima by 1)&nbsp;studying the sign of the derivative, 2)&nbsp;considering points where the function is not differentiable, 3)&nbsp;examining the endpoints of the interval where the function is defined.
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* Wie man den Charakter einer stationären Stelle mit der zweiten Ableitung bestimmt.
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* To use the sign of the second derivative to distinguish between local maxima and local minima.
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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== Increasing and decreasing ==
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== A - Steigende und fallende Funktionen ==
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Informally, a function is increasing if its graph slopes upwards and decreasing if its graph slopes downwards.
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Man sagt, dass eine Funktion monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist. Man sagt monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.
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The formal mathematical definitions are as follows:
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Die formellen Definitionen lauten:
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A function is increasing in an interval if for all <math>x_1</math> and <math>x_2</math> within the interval
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Eine Funktion f ist monoton steigend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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A function is decreasing in an interval if for all <math>x_1</math> and <math>x_2</math> within the interval
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Eine Funktion f ist monoton fallend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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In everyday language the definition says, for example, that for an increasing function for any ''x''-value to the right on the ''x''-axis, the value of the function is at least as large as it is for any ''x''-value to the left. Please note that this definition means that a function can be constant in a interval and still be considered to be increasing or decreasing. A function that is constant throughout an interval, according to the definition, is both increasing and decreasing.
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Die Definition sagt uns also, dass eine Stelle rechts von einer bestimmten Stelle immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat wie die linke Stelle. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend sein.
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If one wants to exclude the possibility of a function being constant on an interval, one talks of ''strictly'' increasing and ''strictly'' decreasing functions:
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Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe '''streng''' monoton steigend und '''streng''' monoton fallend:
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A function is ''strictly'' increasing in an interval if for all <math>x_1</math> and <math>x_2</math> within the interval
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Eine Funktion f ist '''streng''' monoton steigend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
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A function is ''strictly'' decreasing in an interval if for <math>x_1</math> och <math>x_2</math> within the interval
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Eine Funktion f ist '''streng''' monoton fallend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle <math>x_1</math> und <math>x_2</math> im Intervall gilt
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}</math>}}
-
(A strictly increasing or decreasing function cannot be constant in any part of the interval.)
+
(Eine streng monoton steigende oder fallende Funktion kann nicht konstant sein.)
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li> The function <math>y= f(x)</math> whose graph is given in the chart below on the far left is increasing in the interval <math>0 \le x \le 6</math>.</li>
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<li> Die Funktion <math>y= f(x)</math>, deren Graph unten eingezeichnet ist, ist steigend im Intervall <math>0 \le x \le 6</math>.</li>
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<li> The function <math>y=-x^3\!/4</math> is a strictly decreasing function.</li>
+
<li> Die Funktion <math>y=-x^3\!/4</math> ist streng monoton fallend.</li>
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<li> The function <math>y=x^2</math> is a strictly increasing function for <math>x \ge 0</math>.</li>
+
<li> Die Funktion <math>y=x^2</math> ist streng monoton steigend für <math>x \ge 0</math>.</li>
</ol>
</ol>
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{| align="center"
{| align="center"
|-
|-
-
||{{:1.3 - Figure - The graph of f(x), where f is piecewise linear and constant}}
+
||{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x), wo f stückweise linear und konstant ist}}
| width="10px" |
| width="10px" |
-
||{{:1.3 - Figure - The graph of f(x) = -x³/4}}
+
||{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = -x³/4}}
| width="10px"|
| width="10px"|
-
||{{:1.3 - Figure - The graph of f(x) = x²}}
+
||{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x²}}
|-
|-
-
||<small>Graph of the function in part <br> &nbsp;a</small>
+
||<small>Graph der Funktion aus&nbsp;a.</small>
||
||
-
||<small>Graph of the function<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;''x''³/4</small>
+
||<small>Graph der Funktion ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;''x''³/4</small>
||
||
-
||<small>Graph of the function<br> ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x²</small>
+
||<small>Graph der Funktion ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;x²</small>
|}
|}
</div>
</div>
-
The derivative may of course be used to examine whether a function is increasing or decreasing. We have that
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Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ is (strictly) increasing,}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ is (strictly) decreasing.} \end{align*}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad \text{ f&uuml;r alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton steigend in } [a,b],\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad \text{f&uuml;r alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton fallend in } [a,b]. \end{align*}</math>}}
-
Note, however, that this works only one way round. It is entirely possible for a function to be strictly increasing or decreasing on some interval, and for there to be a point, or perhaps more than one, within that interval at which the derivative is zero. As long as any points where the derivative is zero are ''isolated'' (that is, provided the derivative isn't zero anywhere ''close'' to such points, but only ''at'' them), then the function can be strictly increasing or decreasing; problems only arise if the gradient is zero, and the function therefore constant, over some interval.
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Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.
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== B - Stationäre Stellen ==
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== Stationary points ==
+
Stellen, in denen <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> gilt, nennt man stationäre Stellen oder kritische Stellen. Wir unterscheiden drei Arten von stationären Stellen:
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* Lokale Maxima, für die <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> links von der Stelle ist und <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> rechts von der Stelle ist.
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* Lokale Minima, für die <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> links von der Stelle ist und <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> rechts von der Stelle ist.
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* Sattelpunkte, wo das Vorzeichen von <math>f^{\,\prime}</math> auf beiden Seiten des Punktes gleich ist.
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Points where <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> are known as stationary points (the term "critical points" is also sometimes used). They are usually one of three kinds:
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Hinweis: An einer Stelle kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum liegen, ohne dass <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; lies mehr darüber im Abschnitt ''[[#E - Maxima und Minima (Extremwerte)|Maxima und Minima]]''.
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* Local maximum with <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> to the left, and <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> to the right of the point.
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* Local minimum with <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> to the left, and <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> to the right of the point.
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* Stationary point of inflexion with <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> or <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> on both sides of the point.
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Note that a point may be a local maximum or minimum without <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>; learn more about this in the section on ''[[#Max- och minpunkter (extrempunkter)|maxima and minima]]''.
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== Points of inflexion ==
+
== C - Sattelpunkte ==
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A point of inflexion is a point where the direction of curvature of a graph changes: where, having curved upwards, it begins curving downwards, or vice versa. In other words, it is a local maximum or minimum ''for the gradient''.
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Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, in dem die Ableitung einer Funktion null ist (waagerechte Tangente) jedoch die Funktion nicht ihre Monotonieverhalten verändert (die Funktion ist sowohl links als auch rechts von der Sattelstelle monoton steigend bzw. die Funktion ist sowohl links als auch recht von der Sattelstelle monoton fallend).
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One way to think about points of inflexion is to imagine driving a car along a road shaped like the curve; a point of inflexion is any point at which your steering wheel is exactly centred and you are, for that instant, steering neither right nor left.
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<center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center>
{| width="85%" align="center"
{| width="85%" align="center"
-
||<small> At a point of inflexion, the curve's direction of curvature changes; the curve on the left has a ''stationary'' point of inflexion in ''x''&nbsp;=&nbsp;0, where the gradient is zero, but as the other two curves show, not all points of inflexion are stationary points.</small>
+
||<small> Im Sattelpunkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung nicht. Die linke Kurve hat einen Sattelstelle bei ''x''&nbsp;=&nbsp;0. Die anderen Funktionen hingegen haben keine Sattelpunkte.</small>
|}
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We will not study points of inflexion in depth in this section, except to note that a point of inflexion need not necessarily also be a stationary point (though the two can coincide, in which case we would often call the point concerned a "stationary point of inflexion").
 
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<center>{{:1.3 - Figure - The graph of f(x) = x³ - x⁵}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - x⁵}}</center>
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The function in the above figure has a local minimum at <math>x = -2</math>, a stationary point of inflexion at <math>x = 0</math> and a local maximum for <math>x = 2</math>.
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Die Funktion hat einen lokales Minimum in <math>x = -2</math>, einen Sattelpunkt in <math>x = 0</math> und einen lokales Maximum in <math>x = 2</math>.
-
 
+
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== Table of signs ==
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== D - Vorzeichentabelle ==
-
By studying the derivative sign (+, - or 0), we can therefore obtain a good idea of the curve's appearance.
+
Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) betrachtet, kann man viele Informationen über die Funktion erhalten.
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One creates a so called ''table of signs''. One first determines the ''x''-values where <math>f^{\,\prime}(x) =0</math> (together with any where the gradient is undefined) and then calculates the sign of the derivative on either side of these points. With the help of some other "backup" points on the curve and using the table of signs one usually can obtain a satisfactory sketch of the curve.
+
Um eine Funktion zu untersuchen, macht man eine sogenannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die ''x''-Werte, bei denen <math>f^{\,\prime}(x) =0</math> und die Stellen, an denen die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen stationären Stellen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
'''Beispiel 2'''
'''Beispiel 2'''
-
Make a table of signs of the derivative of the function <math>f(x) = x^3 -12x + 6</math> and then sketch the graph of the function.
+
Machen Sie eine Vorzeichentabelle der Funktion <math>f(x) = x^3 -12x + 6</math> und zeichnen Sie die Funktion.
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The functions derivative is given by
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Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).</math>}}
f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).</math>}}
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The factor <math>x-2</math> is negative to the left of <math>x=2</math> and positive to the right of <math>x=2</math>. In the same way the factor <math>x+2</math> is negative to the left of <math>x=-2</math> and positive to the right of <math>x=-2</math>. This information can be summarised in a table:
+
Der Faktor <math>x-2</math> ist negativ links von <math>x=2</math> und positiv rechts von <math>x=2</math>. Der Faktor <math>x+2</math> ist negativ links von <math>x=-2</math> und positiv rechts von <math>x=-2</math>. Mit Hilfe dieser Information erstellen wir eine Tabelle:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 160: Zeile 156:
|}
|}
-
Since the derivative is the product of <math>x-2</math> and <math>x+2</math> we thus can determine the derivative sign on the basis of the sign of these factors and create the following table of signs for the derivative on the real-number axis :
+
Nachdem die Ableitung das Produkt von <math>x-2</math> und <math>x+2</math> ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 186: Zeile 182:
|}
|}
-
In the table's last line, we have given arrows that indicate whether the function is strictly increasing&nbsp;<math>(\,\nearrow\,\,)</math> or strictly decreasing&nbsp;<math>(\,\searrow\,\,)</math> in each interval as well as the value of the function value at the stationary points <math>x=-2</math> and <math>x=2</math>.
+
In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen angegeben, ob die Funktion streng monoton steigend&nbsp;<math>(\,\nearrow\,\,)</math> oder streng monoton fallend&nbsp;<math>(\,\searrow\,\,)</math> im Intervall ist und zusätzlich die Werte der Funktion an den stationären Stellen <math>x=-2</math> und <math>x=2</math>.
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From the figure, we see that <math>f(x)</math> has a local maximum at <math>(–2, 22)</math> and a local minimum at <math>(2, –10)</math>. The graph now can be sketched:
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Aus der Tabelle sehen wir, dass die Funktion ein lokales Maximum in <math>(–2, 22)</math> hat und ein lokales Minimum in <math>(2, –10)</math> hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:
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<center>{{:1.3 - Figure - The graph of f(x) = x³ - 12x + 6}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 12x + 6}}</center>
</div>
</div>
-
== Maxima and minima (extrema) ==
+
== E - Maxima und Minima (Extremwerte) ==
-
A point at which a function takes on its largest or smallest value in comparison with its immediate surroundings is called a ''local maximum '' or ''local minimum'' (often abbreviated to max and min). Local maxima and minima are together known as ''extrema''.
+
Eine Stelle, an der die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man ''lokales Maximum'' oder ''lokales Minimum''. Lokale Maxima und lokale Minima nennt man auch lokale Extrema.
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An extremum may occur in one of three ways:
+
Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrema:
-
:* At a stationary point (where <math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>).
+
:* Eine stationäre Stelle (<math>f^{\,\prime}(x)=0\,</math>).
-
:* At a point where the derivative does not exist (known as a ''singular point'').
+
:* Eine Stelle, in dem die Ableitung nicht definiert ist ('''singuläre Stelle''').
-
:* At an endpoint to the interval where the function is defined.
+
:* An der letzten Stelle des Intervalles, in dem die Funktion definiert ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 3'''
''' Beispiel 3'''
-
For the function below there are four extrema: maximum at <math>x=c</math> and <math>x=e</math>, and minimum at <math>x=a</math> and <math>x=d</math>.
+
Die Funktion unten hat vier lokale Extrema: Lokale Maxima in <math>x=c</math> und <math>x=e</math>, und lokale Minima in <math>x=a</math> und <math>x=d</math>.
-
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x), wo f Extremwerten in den punkten x = a, b, c, d, e hat}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) wo f Extremwerte in den Stellen x = a, b, c, d, e annimmt}}</center>
-
+
-
At <math>x=a</math>, <math>x=b</math> and <math>x=d</math> one has <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, but it is only at <math>x=a</math> and <math>x=d</math> that there are extrema, since <math>x=b</math> is a stationary point of inflexion.
+
In <math>x=a</math>, <math>x=b</math> und <math>x=d</math> ist <math>f^{\,\prime}(x) =0</math>, aber nur an den Stellen <math>x=a</math> und <math>x=d</math> sind Extrempunkte, da bei <math>x=b</math> ein Sattelpunkt ist.
-
At <math>x=c</math> the derivative is not defined (as it is a cusp or corner of the curve and it is not possible to determine the slope). The point <math>x=e</math> is an endpoint.
+
In <math>x=c</math> ist die Ableitung nicht definiert. Die Stelle <math>x=e</math> ist eine Randstelle und ordnet somit einen Endpunkt zu.
</div>
</div>
-
When one is looking for the extrema of a function one must discover and examine all possible candidates for these points. An appropriate working procedures is:
+
Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Folgende Vorgangsweise ist nützlich:
-
:# Differentiate the function.
+
:# Die Funktion ableiten.
-
:# Check to see if there are any points where <math>f^{\,\prime}(x)</math> is not defined.
+
:# Untersuchen, ob es Stellen gibt, in denen <math>f^{\,\prime}(x)</math> nicht definiert ist.
-
:# Determine all points where <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math>.
+
:# Alle Stellen finden, in denen <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> ist.
-
:# Make a table of signs to locate and classify all of the extrema.
+
:# Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrema finden.
-
:# Calculate the value of the function for all the extrema and at any endpoints.
+
:# Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
-
Determine all the extrema of the curve <math>y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12</math>.
+
Bestimme die Extrema der Funktion <math>y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The function's derivative is given by
+
Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}
y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}
-
In order to determine how the sign of the derivative varies along the real-number axis, we factorise the derivative as completely as possible. We have already managed to take out the factor <math>12x</math> and we can factorise further the remaining term <math>x^2+x-2</math> by identifying its zeros
+
Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor <math>12x</math> haben wir schon und können die Funktion weiter zerlegen, indem wir die Nullstellen von <math>x^2+x-2</math> finden.
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{or}\quad x=1.</math>}}
+
x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{oder}\quad x=1.</math>}}
-
This means that <math>x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> and the derivative can be rewritten as
+
Also ist <math>x^2+x-2=(x+2)(x-1)</math> und die Ableitung ist
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}</math>}}
-
It can be seen immediately from this that the derivative is zero for <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> and <math>x=1</math>. In addition, we can see how the derivatives sign varies by examining the sign of each individual factor in the product for different values of <math>x</math>.
+
Die Nullstellen der Ableitung sind <math>x=-2</math>, <math>x=0</math> und <math>x=1</math>. Zusätzlich können wir das Vorzeichen für jeden einzelnen Term für verschiedene <math>x</math> bestimmen.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 288: Zeile 284:
|}
|}
-
The derivative is the product of these factors, and we may obtain the sign of the derivative by multiplying together signs of the factors in each interval.
+
Multiplizieren wir die Vorzeichen in jeder Spalte, erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
Zeile 321: Zeile 317:
|}
|}
-
The curve has thus local minima at <math>(–2, –20)</math> and <math>(1, 7)</math> and a local maximum at <math>(0, 12)</math>.
+
Die Kurve hat also lokale Minima in den Punkten <math>(–2, –20)</math> und <math>(1, 7)</math> und ein lokales Maximum im Punkt <math>(0, 12)</math>.
</div>
</div>
Zeile 328: Zeile 324:
''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
-
Determine all extrema of the curve <math>y= x - x^{2/3}</math>.
+
Bestimme alle Extrema der Funktion <math>y= x - x^{2/3}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The derivative of the function is given by
+
Die Ableitung der Funktion ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
Zeile 337: Zeile 333:
\, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}
\, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}
-
From this expression, we see that <math>y'</math> is not defined for <math>x = 0</math> (although which <math>y</math> is defined). This means that the function has a singular point at <math>x=0</math>.
+
Von dieser Funktion sehen wir, dass <math>y'</math> für <math>x = 0</math> nicht definiert ist (obwohl <math>y</math> definiert ist). Also hat die Funktion eine singuläre Stelle in <math>x=0</math>.
-
The stationary points of the function are given by
+
Die stationären Stellen der Funktion erhalten wir durch
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}</math>}}
x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}</math>}}
-
The only points at which the function might have an extremum are thus <math>x=0</math> and <math>x=\tfrac{8}{27}</math>. In order to determine the nature of these points we create a table of signs:
+
Also kann die Funktion Extrema in den Stellen <math>x=0</math> und <math>x=\tfrac{8}{27}</math> haben. Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um die Stellen weiter zu untersuchen:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
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|width="50px" align="center"| <math>y'</math>
|width="50px" align="center"| <math>y'</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
-
|width="50px" align="center"| not def.
+
|width="50px" align="center"| nicht def.
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
Zeile 373: Zeile 369:
|}
|}
-
The curve has a local maximum at <math>(0, 0)</math> (a cusp) and a local minimum at <math>(\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,</math>.
+
Also hat die Funktion einen lokales Maximum im Punkt <math>(0, 0)</math> und einen lokales Minimum im Punkt <math>(\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,</math>.
-
<center>{{:1.3 - Figure - The graph of f(x) = x - x^⅔}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x - x^⅔}}</center>
</div>
</div>
-
== Global min / max ==
+
== F - Globale Maxima und Minima ==
-
A function has a''global'' maximum at a point if its value there is greater than, or at least equal to, its value at any other point where it is defined; similarly, a global minimum is a point where the function's value is less than, or at most equal to, its value anywhere else.
+
Ein globales Maximum ist ein Punkt, der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein globales Minimum ein Punkt, der einen niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.
 +
Um die globalen Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokalen Maxima und Minima bestimmen und danach den höchsten und niedrigsten Wert von diesen.
-
To determine a function's global max or min one must therefore find all the extrema and calculate the values of the function at them. If the function is defined on an interval with endpoints, one must of course also examine its value at these points.
+
Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maximum oder Minimum, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.
-
 
+
-
 
+
-
Note that a function need not have a global max or a global min, even if it has several local extrema.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
-
<center>{{:1.3 - Figure - Two functions where one has no min nor max, and one has no min}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Zwei Funktionen, wo eine weder Hoch- noch Tiefpunkt hat, und die andere keinen Tiefpunkt hat}}</center>
-
In the first figure the function has no global maximum nor global minimum. In the second figure the function has no global minimum.
+
Die linke Funktion hat weder ein globales Maximum noch Minimum. Die rechte Funktion hat kein globales Minimum.
</div>
</div>
-
In applications, circumstances often dictate that a function has a limited interval where it is defined, i.e. one only studies part of the graph of the function. One must therefore be careful in case the global max or min is at an endpoint of the interval.
+
Wenn eine Funktion auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist, muss man beachten, dass die Endpunkte ein globales Maximum oder Minimum sein können.
<center>{{:1.3 - Bild - Eine Kurve mit lokalen und globalen Extremwerten}}</center>
<center>{{:1.3 - Bild - Eine Kurve mit lokalen und globalen Extremwerten}}</center>
-
The above function is only of interest in the interval <math>a\le x \le e</math>. We see that the minimum value of the function in this interval occurs at the stationary point <math>x=b</math>, while the maximim value is found at the endpoint <math>x=e</math>.
+
Diese Funktion ist nur im Intervall <math>a\le x \le e</math> interessant. Wir sehen, dass das globale Minimum der Funktion an der Stelle <math>x=b</math> ist, und dass das globale Maximum an der Stelle <math>x=e</math> ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
-
 
+
Bestimme das Maximum und Minimum der Funktion <math>f(x) = x^3 -3x + 2</math> im Intervall <math>-0\textrm{.}5 \le x \le 1\,</math>.
-
Determine the maximum and minimum value of the function <math>f(x) = x^3 -3x + 2</math> in the interval <math>-0\textrm{.}5 \le x \le 1\,</math>.
+
<br>
<br>
<br>
<br>
-
We differentiate the function, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math>, and put the derivative equal to zero to obtain all the stationary points
+
Wir leiten die Funktion <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3</math> ab, und bestimmen so alle stationären Stellen,
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}</math>}}
-
The point <math>x = –1</math> is outside the interval on which the function is defined, and <math>x = 1</math> lies at one endpoint of this interval. Since the function has no singular points (it is differentiable everywhere), its maximum and minimum must be at the interval's endpoints,
+
Die Stelle <math>x = –1</math> liegt ausserhalb des Intervalles und <math>x = 1</math> liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Stellen, daher muss das Maximum und das Minimum an einem der Endpunkte liegen.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}
-
The function's maximum value on the given interval is thus <math>3\textrm{.}375</math>. The minimum value is <math>0</math> (see the figure).
+
Das Maximum der Funktion ist also <math>3\textrm{.}375</math>. Das Minimum ist <math>0</math> (siehe Figur).
-
<center>{{:1.3 - Figure - The graph of f(x) = x³ - 3x + 2}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Die Kurve von f(x) = x³ - 3x + 2}}</center>
-
+
-
The figure shows the function with the whole graph as a dashed curve , with the part that is within the given interval appearing as a continuous curve.
+
Die Figur zeigt den ganzen Graph der Funktion in dem Bereich, der im Intervall liegt, mit einer durchgehenden Linie.
</div>
</div>
-
== The second derivative ==
+
== G - Die zweite Ableitung ==
-
The sign of the derivative of a function gives us information about whether the function is increasing or decreasing. Similarly, the sign of the ''second'' derivative can show if the first order derivative is increasing or decreasing. This can , among other things, be used to find out whether a given extremum is a maximum or minimum.
+
Das Vorzeichen der Ableitung gibt uns genügend Information darüber, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen, ob die Ableitung der Funktion monoton steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrema bestimmen.
-
If the function <math>f(x)</math> has a stationary point at <math>x=a</math> where <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, then
+
Falls die Funktion <math>f(x)</math> eine stationäre Stelle in <math>x=a</math> hat, in dem <math>f^{\,\prime\prime}(a)<0</math>, ist
-
# The derivative <math>f^{\,\prime}(x)</math> is strictly decreasing in some interval surrounding <math>x=a</math>.
+
# die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng monoton fallend in einer Umgebung von <math>x=a</math>,
-
# Since <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> then <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> to the left of <math>x=a</math> and <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> to the right of <math>x=a</math>.
+
# <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> links von <math>x=a</math>, da <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> und deshalb auch <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> rechts von <math>x=a</math>.
-
# This means that the function <math>f(x)</math> has a local maximum at <math>x=a</math>.
+
Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=a</math>.
-
<center>{{:1.3 - Figure - The tangent of a function with negative second order derivative}}</center>
+
 
 +
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit negativer zweiter Ableitung}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small> If the derivative is positive to the left of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' and negative to the right of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' the function has a local maximum at ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
+
||<small> Wenn die Ableitung links von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' positiv ist, und rechts von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maximum an der Stelle ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}
|}
-
If the function <math>f(x)</math> has a stationary point at <math>x=a</math> where <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>, then
+
Wenn die Funktion <math>f(x)</math> eine stationäre Stelle in <math>x=a</math> hat, in dem <math>f^{\,\prime\prime}(a)>0</math>, ist
-
# The derivative <math>f^{\,\prime}(x)</math> is strictly increasing in some interval around <math>x=a</math>.
+
# die Ableitung <math>f^{\,\prime}(x)</math> streng monoton steigend in einer Umgebung von <math>x=a</math>,
-
# Since <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> then <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> to the left of <math>x=a</math> and <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> to the right of <math>x=a</math>.
+
# <math>f^{\,\prime}(x)<0</math> links von <math>x=a</math>, da <math>f^{\,\prime}(a)=0</math> und deshalb auch <math>f^{\,\prime}(x)>0</math> rechts von <math>x=a</math>.
-
# This means that the function <math>f(x)</math> has a local minimum at <math>x=a</math>.
+
Also hat die Funktion <math>f(x)</math> ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=a</math>.
-
<center>{{:1.3 - Figure - The tangent of a function with positive second order derivative}}</center>
+
<center>{{:1.3 - Bild - Die Tangente von einer Funktion mit positiver zweiter Ableitung}}</center>
{| width="80%" align="center"
{| width="80%" align="center"
-
||<small>If the derivative is negative to the left of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' and positive to the right of ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' the function has a local minimum at ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
+
||<small> Wenn die Ableitung links von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' negativ ist, und rechts von ''x''&nbsp;=&nbsp;''a'' positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minimum an der Stelle ''x''&nbsp;=&nbsp;''a''.</small>
|}
|}
-
If <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, no information can be deduced, and further investigation is required, for example by means of a table of signs. Note in particular that <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> does ''not'' imply that the point is a stationary point of inflexion (although <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> at all points of inflexion, it can also be zero elsewhere, including at maxima and minima).
+
Wenn <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math>, können wir nichts Weiteres über den stationäre Stelle sagen. In diesem Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Achtung: <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> bedeutet nicht, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl <math>f^{\,\prime\prime}(a)=0</math> für alle Sattelpunkte gilt, gilt nicht das Umgekehrte.
Zeile 462: Zeile 456:
'''Beispiel 8'''
'''Beispiel 8'''
-
Determine all the extrema of the function <math>f(x)=x^3 -x^2 -x +2</math> and determine their character by using the second derivative.
+
Bestimme alle Extrempunkte der Funktion <math>f(x)=x^3 -x^2 -x +2</math> und bestimme deren Charakter mit Hilfe der zweiten Ableitung.
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-
This function is a polynomial and is therefore differentiable everywhere. If the function has any extrema, they must therefore be found among the stationary points. We thus differentiate the function, <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, and equate the derivative to zero
+
Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Stellen sein. Die Ableitung der Funktion ist <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, und die Nullstellen der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad
-
x=1 \quad\text{or}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
+
x=1 \quad\text{oder}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
-
The function has stationary points at <math>x = 1</math> and <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. By examining the sign of the second derivative <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math>, we can classify each stationary point .
+
Die Funktion hat also die stationäre Stelle <math>x = 1</math> und <math>x=-\tfrac{1}{3}</math>. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung <math>f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2</math> bestimmen, können wir den Charakter der stationären Stellen bestimmen.
-
* For <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> we have that <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math> and that means that <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> is a local maximum.
+
* Für <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0</math>, also ist <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> ein lokales Maximum.
-
* For <math>x=1</math> we have that <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math> and that means that <math>x=1</math> is a local maximum.
+
* Für <math>x=1</math> ist <math>f^{\,\prime\prime}(1)=4>0</math>, also ist <math>x=1</math> ein lokales Minimum.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Aktuelle Version


       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Kurven zeichnen
  • Maximierungs- und Minimierungsprobleme

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes wissen:

  • Die Definitionen von monoton steigend, streng monoton steigend, monoton fallend, streng monoton fallend, lokales Maximum, globales Maximum, lokales Minimum und globales Minimum.
  • Wenn \displaystyle f^{\,\prime}>0 ist, dann ist \displaystyle f streng monoton steigend und wenn \displaystyle f^{\,\prime}<0 ist, dann ist \displaystyle f streng monoton fallend.
  • Wie man stationäre Stellen findet und deren Charakter bestimmt.
  • Wie man mit Hilfe von Vorzeichentabellen der Ableitung Kurven zeichnet.
  • Wie man globale Maxima und Minima einer Funktion findet.
  • Wie man den Charakter einer stationären Stelle mit der zweiten Ableitung bestimmt.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Steigende und fallende Funktionen

Man sagt, dass eine Funktion monoton steigend ist, wenn ihre Ableitung positiv ist. Man sagt monoton fallend, wenn ihre Ableitung negativ ist.

Die formellen Definitionen lauten:

Eine Funktion f ist monoton steigend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \le f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist monoton fallend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) \ge f(x_2)\,\mbox{.}

Die Definition sagt uns also, dass eine Stelle rechts von einer bestimmten Stelle immer einen höheren oder zumindest denselben Funktionswert hat wie die linke Stelle. Laut der Definition kann eine konstante Funktion gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend sein.

Da dies manchmal unerwünscht ist, definiert man die Begriffe streng monoton steigend und streng monoton fallend:

Eine Funktion f ist streng monoton steigend in einen bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) < f(x_2)\,\mbox{.}

Eine Funktion f ist streng monoton fallend in einem bestimmten Intervall, wenn für alle \displaystyle x_1 und \displaystyle x_2 im Intervall gilt

\displaystyle x_1 < x_2\quad\Rightarrow\quad f(x_1) > f(x_2)\,\mbox{.}

(Eine streng monoton steigende oder fallende Funktion kann nicht konstant sein.)

Beispiel 1

  1. Die Funktion \displaystyle y= f(x), deren Graph unten eingezeichnet ist, ist steigend im Intervall \displaystyle 0 \le x \le 6.
  2. Die Funktion \displaystyle y=-x^3\!/4 ist streng monoton fallend.
  3. Die Funktion \displaystyle y=x^2 ist streng monoton steigend für \displaystyle x \ge 0.


[Image]

[Image]

[Image]

Graph der Funktion aus a. Graph der Funktion f(x) = - x³/4 Graph der Funktion f(x) = x²

Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad \text{ für alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton steigend in } [a,b],\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad \text{für alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton fallend in } [a,b]. \end{align*}

Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.

B - Stationäre Stellen

Stellen, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 gilt, nennt man stationäre Stellen oder kritische Stellen. Wir unterscheiden drei Arten von stationären Stellen:

  • Lokale Maxima, für die \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 links von der Stelle ist und \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 rechts von der Stelle ist.
  • Lokale Minima, für die \displaystyle f^{\,\prime}(x) < 0 links von der Stelle ist und \displaystyle f^{\,\prime}(x) > 0 rechts von der Stelle ist.
  • Sattelpunkte, wo das Vorzeichen von \displaystyle f^{\,\prime} auf beiden Seiten des Punktes gleich ist.

Hinweis: An einer Stelle kann ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum liegen, ohne dass \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0; lies mehr darüber im Abschnitt Maxima und Minima.

C - Sattelpunkte

Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, in dem die Ableitung einer Funktion null ist (waagerechte Tangente) jedoch die Funktion nicht ihre Monotonieverhalten verändert (die Funktion ist sowohl links als auch rechts von der Sattelstelle monoton steigend bzw. die Funktion ist sowohl links als auch recht von der Sattelstelle monoton fallend).

[Image]

Im Sattelpunkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung nicht. Die linke Kurve hat einen Sattelstelle bei x = 0. Die anderen Funktionen hingegen haben keine Sattelpunkte.


[Image]

Die Funktion hat einen lokales Minimum in \displaystyle x = -2, einen Sattelpunkt in \displaystyle x = 0 und einen lokales Maximum in \displaystyle x = 2.

D - Vorzeichentabelle

Indem man das Vorzeichen der Ableitung (+, - oder 0) betrachtet, kann man viele Informationen über die Funktion erhalten.

Um eine Funktion zu untersuchen, macht man eine sogenannte Vorzeichentabelle. Zuerst bestimmt man die x-Werte, bei denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0 und die Stellen, an denen die Ableitung nicht definiert ist. Danach berechnet man das Vorzeichen der Ableitung zwischen allen stationären Stellen.

Beispiel 2

Machen Sie eine Vorzeichentabelle der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -12x + 6 und zeichnen Sie die Funktion.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -12 = 3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2).

Der Faktor \displaystyle x-2 ist negativ links von \displaystyle x=2 und positiv rechts von \displaystyle x=2. Der Faktor \displaystyle x+2 ist negativ links von \displaystyle x=-2 und positiv rechts von \displaystyle x=-2. Mit Hilfe dieser Information erstellen wir eine Tabelle:

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle x-2 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +

Nachdem die Ableitung das Produkt von \displaystyle x-2 und \displaystyle x+2 ist, können wir das Vorzeichen der Ableitung einfach bestimmen:

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 2
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle 22 \displaystyle \searrow \displaystyle -10 \displaystyle \nearrow

In der letzten Zeile der Tabelle haben wir mit Pfeilen angegeben, ob die Funktion streng monoton steigend \displaystyle (\,\nearrow\,\,) oder streng monoton fallend \displaystyle (\,\searrow\,\,) im Intervall ist und zusätzlich die Werte der Funktion an den stationären Stellen \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=2.

Aus der Tabelle sehen wir, dass die Funktion ein lokales Maximum in \displaystyle (–2, 22) hat und ein lokales Minimum in \displaystyle (2, –10) hat. Wir zeichnen mit dieser Information die Funktion:

[Image]


E - Maxima und Minima (Extremwerte)

Eine Stelle, an der die Funktion ihren höchsten oder niedrigsten Wert in einer kleinen Umgebung annimmt, nennt man lokales Maximum oder lokales Minimum. Lokale Maxima und lokale Minima nennt man auch lokale Extrema.

Es gibt drei verschiedene Fälle von lokalen Extrema:

  • Eine stationäre Stelle (\displaystyle f^{\,\prime}(x)=0\,).
  • Eine Stelle, in dem die Ableitung nicht definiert ist (singuläre Stelle).
  • An der letzten Stelle des Intervalles, in dem die Funktion definiert ist.

Beispiel 3

Die Funktion unten hat vier lokale Extrema: Lokale Maxima in \displaystyle x=c und \displaystyle x=e, und lokale Minima in \displaystyle x=a und \displaystyle x=d.

[Image]

In \displaystyle x=a, \displaystyle x=b und \displaystyle x=d ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) =0, aber nur an den Stellen \displaystyle x=a und \displaystyle x=d sind Extrempunkte, da bei \displaystyle x=b ein Sattelpunkt ist.

In \displaystyle x=c ist die Ableitung nicht definiert. Die Stelle \displaystyle x=e ist eine Randstelle und ordnet somit einen Endpunkt zu.

Wenn man die Extremwerte einer Funktion finden möchte, muss man alle Fälle untersuchen. Folgende Vorgangsweise ist nützlich:

  1. Die Funktion ableiten.
  2. Untersuchen, ob es Stellen gibt, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) nicht definiert ist.
  3. Alle Stellen finden, in denen \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 ist.
  4. Durch eine Vorzeichentabelle alle Extrema finden.
  5. Den Funktionswert für alle Extrempunkte und die Endpunkte berechnen.

Beispiel 4

Bestimme die Extrema der Funktion \displaystyle y=3x^4 +4x^3 - 12x^2 + 12.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}

Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor \displaystyle 12x haben wir schon und können die Funktion weiter zerlegen, indem wir die Nullstellen von \displaystyle x^2+x-2 finden.

\displaystyle

x^2+x-2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad x=-2\quad\text{oder}\quad x=1.

Also ist \displaystyle x^2+x-2=(x+2)(x-1) und die Ableitung ist

\displaystyle y' = 12x(x+2)(x-1)\,\mbox{.}

Die Nullstellen der Ableitung sind \displaystyle x=-2, \displaystyle x=0 und \displaystyle x=1. Zusätzlich können wir das Vorzeichen für jeden einzelnen Term für verschiedene \displaystyle x bestimmen.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle x+2 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle + \displaystyle +
\displaystyle x-1 \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +

Multiplizieren wir die Vorzeichen in jeder Spalte, erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 0 \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \searrow \displaystyle -20 \displaystyle \nearrow \displaystyle 12 \displaystyle \searrow \displaystyle 7 \displaystyle \nearrow

Die Kurve hat also lokale Minima in den Punkten \displaystyle (–2, –20) und \displaystyle (1, 7) und ein lokales Maximum im Punkt \displaystyle (0, 12).

Beispiel 5

Bestimme alle Extrema der Funktion \displaystyle y= x - x^{2/3}.

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle

y' = 1 - \frac{2}{3} x^{-1/3} = 1- \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}

Von dieser Funktion sehen wir, dass \displaystyle y' für \displaystyle x = 0 nicht definiert ist (obwohl \displaystyle y definiert ist). Also hat die Funktion eine singuläre Stelle in \displaystyle x=0.

Die stationären Stellen der Funktion erhalten wir durch

\displaystyle

y'=0 \quad \Leftrightarrow \quad 1= \frac {2}{3} \, \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\quad\Leftrightarrow\quad \sqrt[3]{x} = \tfrac {2}{3}\quad \Leftrightarrow \quad x = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^3 = \tfrac{8}{27}\,\mbox{.}

Also kann die Funktion Extrema in den Stellen \displaystyle x=0 und \displaystyle x=\tfrac{8}{27} haben. Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um die Stellen weiter zu untersuchen:

\displaystyle x \displaystyle 0 \displaystyle \frac{8}{27}
\displaystyle y' \displaystyle + nicht def. \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle y \displaystyle \nearrow \displaystyle 0 \displaystyle \searrow \displaystyle -\frac{4}{27} \displaystyle \nearrow

Also hat die Funktion einen lokales Maximum im Punkt \displaystyle (0, 0) und einen lokales Minimum im Punkt \displaystyle (\tfrac{8}{27},-\tfrac{4}{27})\,.

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F - Globale Maxima und Minima

Ein globales Maximum ist ein Punkt, der einen höheren Funktionswert als alle anderen Punkte hat. Ähnlich ist ein globales Minimum ein Punkt, der einen niedrigeren Funktionswert als alle anderen Punkte hat.

Um die globalen Maxima und Minima einer Funktion zu bestimmen, muss man zuerst alle lokalen Maxima und Minima bestimmen und danach den höchsten und niedrigsten Wert von diesen.

Eine Funktion hat nicht immer ein globales Maximum oder Minimum, obwohl sie mehrere lokale Extrempunkte hat.

Beispiel 6

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Die linke Funktion hat weder ein globales Maximum noch Minimum. Die rechte Funktion hat kein globales Minimum.

Wenn eine Funktion auf ein bestimmtes Intervall begrenzt ist, muss man beachten, dass die Endpunkte ein globales Maximum oder Minimum sein können.

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Diese Funktion ist nur im Intervall \displaystyle a\le x \le e interessant. Wir sehen, dass das globale Minimum der Funktion an der Stelle \displaystyle x=b ist, und dass das globale Maximum an der Stelle \displaystyle x=e ist.


Beispiel 7 Bestimme das Maximum und Minimum der Funktion \displaystyle f(x) = x^3 -3x + 2 im Intervall \displaystyle -0\textrm{.}5 \le x \le 1\,.

Wir leiten die Funktion \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -3 ab, und bestimmen so alle stationären Stellen,

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm 1\,\mbox{.}

Die Stelle \displaystyle x = –1 liegt ausserhalb des Intervalles und \displaystyle x = 1 liegt am Endpunkt des Intervalles. Die Funktion hat keine singulären Stellen, daher muss das Maximum und das Minimum an einem der Endpunkte liegen.

\displaystyle \begin{align*} f(-0\textrm{.}5) &= 3\textrm{.}375\,\mbox{,}\\[4pt] f(1)&=0\,\mbox{.} \end{align*}

Das Maximum der Funktion ist also \displaystyle 3\textrm{.}375. Das Minimum ist \displaystyle 0 (siehe Figur).

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Die Figur zeigt den ganzen Graph der Funktion in dem Bereich, der im Intervall liegt, mit einer durchgehenden Linie.


G - Die zweite Ableitung

Das Vorzeichen der Ableitung gibt uns genügend Information darüber, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist. Ähnlich kann man mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen, ob die Ableitung der Funktion monoton steigend oder fallend ist. Dadurch kann man unter anderem den Charakter von Extrema bestimmen.


Falls die Funktion \displaystyle f(x) eine stationäre Stelle in \displaystyle x=a hat, in dem \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)<0, ist

  1. die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng monoton fallend in einer Umgebung von \displaystyle x=a,
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 links von \displaystyle x=a, da \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 und deshalb auch \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 rechts von \displaystyle x=a.

Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=a.


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Wenn die Ableitung links von x = a positiv ist, und rechts von x = a negativ ist, hat die Funktion ein lokales Maximum an der Stelle x = a.


Wenn die Funktion \displaystyle f(x) eine stationäre Stelle in \displaystyle x=a hat, in dem \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)>0, ist

  1. die Ableitung \displaystyle f^{\,\prime}(x) streng monoton steigend in einer Umgebung von \displaystyle x=a,
  2. \displaystyle f^{\,\prime}(x)<0 links von \displaystyle x=a, da \displaystyle f^{\,\prime}(a)=0 und deshalb auch \displaystyle f^{\,\prime}(x)>0 rechts von \displaystyle x=a.

Also hat die Funktion \displaystyle f(x) ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=a.

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Wenn die Ableitung links von x = a negativ ist, und rechts von x = a positiv ist, hat die Funktion ein lokales Minimum an der Stelle x = a.


Wenn \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0, können wir nichts Weiteres über den stationäre Stelle sagen. In diesem Fall müssen wir die Funktion weiter untersuchen, zum Beispiel mit einer Vorzeichentabelle. Achtung: \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 bedeutet nicht, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt. Obwohl \displaystyle f^{\,\prime\prime}(a)=0 für alle Sattelpunkte gilt, gilt nicht das Umgekehrte.


Beispiel 8

Bestimme alle Extrempunkte der Funktion \displaystyle f(x)=x^3 -x^2 -x +2 und bestimme deren Charakter mit Hilfe der zweiten Ableitung.

Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Stellen sein. Die Ableitung der Funktion ist \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1, und die Nullstellen der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung

\displaystyle

f^{\,\prime}(x) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - \tfrac{2}{3} x - \tfrac{1}{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1 \quad\text{oder}\quad x = -\tfrac{1}{3}\,\mbox{.}

Die Funktion hat also die stationäre Stelle \displaystyle x = 1 und \displaystyle x=-\tfrac{1}{3}. Indem wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x)=6x-2 bestimmen, können wir den Charakter der stationären Stellen bestimmen.

  • Für \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(-\tfrac{1}{3})=-4<0, also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} ein lokales Maximum.
  • Für \displaystyle x=1 ist \displaystyle f^{\,\prime\prime}(1)=4>0, also ist \displaystyle x=1 ein lokales Minimum.



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