Lösung 3.3:2d

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If we use <math>w=z-1</math> as a new unknown and move the term <math>4</math> over to the right-hand side, we have a binomial equation,
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Lösen wir die Gleichung für <math>w=z-1</math> haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.
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{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>w^4=-4</math>}}
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We can solve this equation in the usual way by using polar form and de Moivre's formula. We have
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Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
-
-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,,
+
-4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi)
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and the equation becomes
+
und wir erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}</math>}}
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The only way that both sides can be equal is if the magnitudes agree and the arguments do not differ by anything other than a multiple of <math>2\pi</math>,
+
Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r^4 &= 4\,,\\[5pt]
r^4 &= 4\,,\\[5pt]
-
4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer),}
+
4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl)}
\end{align} \right.</math>}}
\end{align} \right.</math>}}
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which gives us that
+
und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-
\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n is an arbitrary integer).}
+
\alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
-
For <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> and <math>3</math>, the argument <math>\alpha</math> assumes the four different values
+
Für <math>n=0<math>, <math>1</math>, <math>2</math> und <math>3</math> nimmt das Argument <math>\alpha</math> verschiedene Werte an
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>and<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{3\pi}{4}</math>, <math>\quad\frac{5\pi}{4}\quad</math>und<math>\quad\frac{7\pi}{4}\,.</math>}}
-
and for other values of <math>n</math> we obtain values of <math>\alpha</math> which are equal to those above, apart from multiples of <math>2\pi</math>. Thus, we have four solutions,
+
Während wir für andere <math>n</math> dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
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-1+i\,,&\\[5pt]
-1+i\,,&\\[5pt]
-1-i\,,&\\[5pt]
-1-i\,,&\\[5pt]
-
1-i\,\textrm{,}
+
1-i\,\textrm{.}
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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and the original variable z is
+
Die Lösungen für z sind
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}

Aktuelle Version

Lösen wir die Gleichung für \displaystyle w=z-1 haben wir eine übliche komplexe Wurzelgleichung.

\displaystyle w^4=-4

Diese Gleichung lösen wir, indem wir alle Zahlen auf Polarform bringen und das Moivresche Gesetz anwenden.

\displaystyle \begin{align}

w &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] -4 &= 4(\cos\pi + i\sin\pi) \end{align}

und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\,\textrm{.}

Wir vergleichen den Betrag und das Argument der beiden Seiten

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^4 &= 4\,,\\[5pt] 4\alpha &= \pi + 2n\pi\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl)} \end{align} \right.

und erhalten

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,,\quad\text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).} \end{align}\right.

Für \displaystyle n=0, 1, \displaystyle 2 und \displaystyle 3 nimmt das Argument \displaystyle \alpha verschiedene Werte an

\displaystyle \frac{\pi}{4}, \displaystyle \quad\frac{3\pi}{4}, \displaystyle \quad\frac{5\pi}{4}\quadund\displaystyle \quad\frac{7\pi}{4}\,.

Während wir für andere \displaystyle n dieselben Argumente erhalten, die sich nur durch ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden. Also haben wir die vier Lösungen

\displaystyle w=\left\{\begin{align}

&\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\\[5pt] &\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr) \end{align}\right. = \left\{\begin{align} 1+i\,,&\\[5pt] -1+i\,,&\\[5pt] -1-i\,,&\\[5pt] 1-i\,\textrm{.} \end{align}\right.

Die Lösungen für z sind

\displaystyle z=\left\{\begin{align}

&2+i\,,\\[5pt] &i\,,\\[5pt] &-i\,,\\[5pt] &2-i\,\textrm{.} \end{align}\right.

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