Lösung 2.3:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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We have a product of two factors in the integrand, so an integration by parts does not seem unreasonable. There is nevertheless a problem as regards which factor should be differentiated and which should be integrated. If we choose to differentiate <math>x^3</math> (so as to reduce its exponent by 1), we need to find a primitive function for <math>e^{x^2}</math>, and how do we do that? If, on the other hand, we integrate <math>x^3</math> and differentiate <math>e^{x^2}</math>, we get
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Da wir ein Produkt von zwei Funktionen haben, scheint es selbstverständlich, partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren so, dass wir <math>x^3</math> ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von <math>e^{x^2}</math> finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir <math>x^3</math> integrieren und <math>e^{x^2}</math> ableiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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which just seems to make the integral harder. The solution is instead to substitute
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Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.
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<math>u=x^2</math>. If we write the integral as
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Die Lösung ist, dass wir die Substitution
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<math>u=x^2</math> machen. Schreiben wir das Integral wie
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx</math>}}
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we see that the expression "<math>x\,dx</math>" can be replaced by <math>du</math>
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sehen wir, dass "<math>x\,dx</math>" mit <math>du</math> ersetzt werden kann, während <math>x^2</math> durch ''u'' ersetzt wird. So erhalten wir
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and the rest of the integrand contains only <math>x</math> in the form of <math>x^2</math>. The substitution gives
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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We can then calculate this integral by integration by parts, where we differentiate away the factor <math>u</math>,
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Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor <math>u</math> ableiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}\bigl(e^1-e^0\bigr)\\[5pt]
&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}\bigl(e^1-e^0\bigr)\\[5pt]
&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\\[5pt]
&= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\\[5pt]
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&= \frac{1}{2}\,\textrm{.}
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&= \frac{1}{2}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Da wir ein Produkt von zwei Funktionen haben, scheint es selbstverständlich, partielle Integration zu probieren. Wählen wir die Faktoren so, dass wir \displaystyle x^3 ableiten (um den Exponenten zu reduzieren), müssen wir eine Stammfunktion von \displaystyle e^{x^2} finden und dies ist nicht möglich. Die andere Möglichkeit ist, dass wir \displaystyle x^3 integrieren und \displaystyle e^{x^2} ableiten.

\displaystyle \begin{align}

\int x^3\cdot e^{x^2}\,dx &= \frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2} - \int\frac{x^4}{4}\cdot e^{x^2}2x\,dx\\[5pt] &= \frac{1}{4}x^{4}e^{x^2} - \frac{1}{2}\int x^5e^{x^2}\,dx \end{align}

Anscheinend wird das neue Integral nur schwieriger als das vorige.

Die Lösung ist, dass wir die Substitution \displaystyle u=x^2 machen. Schreiben wir das Integral wie

\displaystyle \int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx = \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx

sehen wir, dass "\displaystyle x\,dx" mit \displaystyle du ersetzt werden kann, während \displaystyle x^2 durch u ersetzt wird. So erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_0^1 x^3e^{x^2}\,dx &= \int\limits_0^1 x^2e^{x^2}x\,dx\\[5pt] &= \left\{\begin{align} u &= x^2\\[5pt] du &= \bigl(x^2\bigr)'\,dx = 2x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \int\limits_0^1 ue^u\tfrac{1}{2}\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du\,\textrm{.} \end{align}

Dieses Integral können wir hingegen durch partielle Integration berechnen, indem wir den Faktor \displaystyle u ableiten.

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{2}\int\limits_0^1 ue^u\,du &= \frac{1}{2}\Bigl[\ ue^u\ \Bigr]_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 1\cdot e^u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}\bigl(1\cdot e^1-0\bigr) - \frac{1}{2}\Bigl[\ e^u\ \Bigr]_0^1\\[5pt] &= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}\bigl(e^1-e^0\bigr)\\[5pt] &= \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e + \frac{1}{2}\\[5pt] &= \frac{1}{2} \end{align}

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