Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	The integrand consists of two factors, so integration by parts is a plausible method. The most obvious thing to do is to choose <math>x^2</math> as the factor that we will differentiate and <math>\cos x</math> as the factor that we will integrate. Admittedly, the <math>x^2</math>-factor will not be differentiated away, but its exponent decreases by 1 and this makes the integral a little easier,	+	Wählen wir unsere Faktoren so, dass wir <math>x^2</math> ableiten und <math>\cos x</math> integrieren, erhalten wir ein Integral mit einem linearen Term statt einem quadratischen.
	{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-	We can attack the integral on the right-hand side in the same way. Let <math>2x</math> be the factor that we differentiate and <math>\sin x</math> the factor that we integrate. This time, we have only one factor left,	+	Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten <math> 2x </math> ab und integrieren <math>\sin x</math>.
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	&= 2x\cdot (-\cos x) - \int 2\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt]		&= 2x\cdot (-\cos x) - \int 2\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt]
	&= -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx\\[5pt]		&= -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx\\[5pt]
-	&= -2x\cos x + 2\sin x + C\,\textrm{.}	+	&= -2x\cos x + 2\sin x + C
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	All in all, we obtain	+	Alles in allem erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	For more difficult integrals, it is quite normal to have to work step by step before getting the final answer.	+	'''Hinweis:''' Wenn man mehrere partielle Integrationen benötigt, rechnet man oft in Schritten bevor man die endgültige Antwort berechnet.

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Aktuelle Version

Wählen wir unsere Faktoren so, dass wir \displaystyle x^2 ableiten und \displaystyle \cos x integrieren, erhalten wir ein Integral mit einem linearen Term statt einem quadratischen.

\displaystyle \int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}

Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten \displaystyle 2x ab und integrieren \displaystyle \sin x.

\displaystyle \begin{align} \int 2x\cdot \sin x\,dx &= 2x\cdot (-\cos x) - \int 2\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt] &= -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx\\[5pt] &= -2x\cos x + 2\sin x + C \end{align}

Alles in allem erhalten wir

\displaystyle \begin{align} \int x^2\cos x\,dx &= x^2\cdot\sin x - (-2x\cos x+2\sin x+C)\\[5pt] &= x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Wenn man mehrere partielle Integrationen benötigt, rechnet man oft in Schritten bevor man die endgültige Antwort berechnet.