Lösung 2.2:4a - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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+			Lösung 2.2:4a
			
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- What makes our integral differ from that in the exercise´s text is that there is a term <math>x^2+4</math> instead of <math>x^2+1</math>, but if we factor out the 4 from the denominator, + Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner <math>x^2+4</math> statt <math>x^2+1</math> ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}</math>}}
  
- we obtain the correct second term in the denominator. On the other hand, there is no longer <math>x^2</math> but <math>\tfrac{1}{4}x^2</math>, although we can get around this by substituting <math>u=\tfrac{1}{2}x</math>, + Durch die Substitution <math>u=\tfrac{1}{2}x</math> erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Aktuelle Version
Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner \displaystyle x^2+4 statt \displaystyle x^2+1 ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck.





\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}


Durch die Substitution \displaystyle u=\tfrac{1}{2}x erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}
&= \frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x/2)^2+1}
= \left\{\begin{align}
u &= x/2\\[5pt]
du &= \tfrac{1}{2}\,dx
\end{align}\right\}\\[5pt] 
&= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}
= \frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}\\[5pt] 
&= \frac{1}{2}\arctan u + C
= \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2} + C\,\textrm{.} 
\end{align}




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-What makes our integral differ from that in the exercise´s text is that there is a term <math>x^2+4</math> instead of <math>x^2+1</math>, but if we factor out the 4 from the denominator,
+Unser Integral unterscheidet sich von dem in der Aufgabe nur dadurch, dass der Nenner <math>x^2+4</math> statt <math>x^2+1</math> ist. Ziehen wir aber den Faktor 4 aus dem Nenner heraus, erhalten wir einen ähnlicheren Ausdruck.
 {{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}</math>}}
-we obtain the correct second term in the denominator. On the other hand, there is no longer <math>x^2</math> but <math>\tfrac{1}{4}x^2</math>, although we can get around this by substituting <math>u=\tfrac{1}{2}x</math>,
+Durch die Substitution <math>u=\tfrac{1}{2}x</math> erhalten wir
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 \displaystyle \int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}x^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}\,\textrm{,}
 \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}x^2+1}
&= \frac{1}{4}\int \frac{dx}{(x/2)^2+1}
= \left\{\begin{align}
u &= x/2\\[5pt]
du &= \tfrac{1}{2}\,dx
\end{align}\right\}\\[5pt] 
&= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}
= \frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2+1}\\[5pt] 
&= \frac{1}{2}\arctan u + C
= \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2} + C\,\textrm{.} 
\end{align}