Lösung 2.1:2d - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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- If we rewrite <math>\sqrt{x}</math> as <math>x^{1/2}</math>, the integrand can then be simplified using the power laws, + Wir schreiben <math>\sqrt{x}</math> wie <math>x^{1/2}</math> und erhalten durch die Rechenregeln für Exponenten 
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}</math>}}
  
- We can now use the fact that a primitive function for <math>x^{n}</math> is <math>x^{n+1}/(n+1)</math> and calculate the integral's value, + Die Stammfunktion von <math>x^{n}</math> ist <math>x^{n+1}/(n+1)</math> und damit berechnen das Integral.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 &= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt]  &= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt] 
 &= -\frac{2}{2}+2\\[5pt]  &= -\frac{2}{2}+2\\[5pt]
- &= 1\,\textrm{.} + &= 1 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir schreiben \displaystyle \sqrt{x} wie \displaystyle x^{1/2} und erhalten durch die Rechenregeln für Exponenten 





\displaystyle \int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}


Die Stammfunktion von \displaystyle x^{n} ist \displaystyle x^{n+1}/(n+1) und damit berechnen das Integral.





\displaystyle \begin{align}
\int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx
&= \Bigl[\ \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] 
&= \Bigl[\ \frac{x^{-1/2}}{-1/2}\ \Bigr]_1^4\\[5pt]
&= \Bigl[\ -2\frac{1}{x^{1/2}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] 
&= \Bigl[\ -\frac{2}{\sqrt{x}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt]
&= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt] 
&= -\frac{2}{2}+2\\[5pt]
&= 1 
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:2d“
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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- If we rewrite <math>\sqrt{x}</math> as <math>x^{1/2}</math>, the integrand can then be simplified using the power laws, + Wir schreiben <math>\sqrt{x}</math> wie <math>x^{1/2}</math> und erhalten durch die Rechenregeln für Exponenten 
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}</math>}}
  
- We can now use the fact that a primitive function for <math>x^{n}</math> is <math>x^{n+1}/(n+1)</math> and calculate the integral's value, + Die Stammfunktion von <math>x^{n}</math> ist <math>x^{n+1}/(n+1)</math> und damit berechnen das Integral.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 &= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt]  &= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt] 
 &= -\frac{2}{2}+2\\[5pt]  &= -\frac{2}{2}+2\\[5pt]
- &= 1\,\textrm{.} + &= 1 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir schreiben \displaystyle \sqrt{x} wie \displaystyle x^{1/2} und erhalten durch die Rechenregeln für Exponenten 





\displaystyle \int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}


Die Stammfunktion von \displaystyle x^{n} ist \displaystyle x^{n+1}/(n+1) und damit berechnen das Integral.





\displaystyle \begin{align}
\int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx
&= \Bigl[\ \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] 
&= \Bigl[\ \frac{x^{-1/2}}{-1/2}\ \Bigr]_1^4\\[5pt]
&= \Bigl[\ -2\frac{1}{x^{1/2}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] 
&= \Bigl[\ -\frac{2}{\sqrt{x}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt]
&= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt] 
&= -\frac{2}{2}+2\\[5pt]
&= 1 
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:2d“
-                      Willkommen zum Kurs
                       
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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- If we rewrite <math>\sqrt{x}</math> as <math>x^{1/2}</math>, the integrand can then be simplified using the power laws, + Wir schreiben <math>\sqrt{x}</math> wie <math>x^{1/2}</math> und erhalten durch die Rechenregeln für Exponenten 
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}</math>}}
  
- We can now use the fact that a primitive function for <math>x^{n}</math> is <math>x^{n+1}/(n+1)</math> and calculate the integral's value, + Die Stammfunktion von <math>x^{n}</math> ist <math>x^{n+1}/(n+1)</math> und damit berechnen das Integral.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 &= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt]  &= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt] 
 &= -\frac{2}{2}+2\\[5pt]  &= -\frac{2}{2}+2\\[5pt]
- &= 1\,\textrm{.} + &= 1 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir schreiben \displaystyle \sqrt{x} wie \displaystyle x^{1/2} und erhalten durch die Rechenregeln für Exponenten 





\displaystyle \int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}


Die Stammfunktion von \displaystyle x^{n} ist \displaystyle x^{n+1}/(n+1) und damit berechnen das Integral.





\displaystyle \begin{align}
\int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx
&= \Bigl[\ \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] 
&= \Bigl[\ \frac{x^{-1/2}}{-1/2}\ \Bigr]_1^4\\[5pt]
&= \Bigl[\ -2\frac{1}{x^{1/2}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] 
&= \Bigl[\ -\frac{2}{\sqrt{x}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt]
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&= -\frac{2}{2}+2\\[5pt]
&= 1 
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-If we rewrite <math>\sqrt{x}</math> as <math>x^{1/2}</math>, the integrand can then be simplified using the power laws,
+Wir schreiben <math>\sqrt{x}</math> wie <math>x^{1/2}</math> und erhalten durch die Rechenregeln für Exponenten
 {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-We can now use the fact that a primitive function for <math>x^{n}</math> is <math>x^{n+1}/(n+1)</math> and calculate the integral's value,
+Die Stammfunktion von <math>x^{n}</math> ist <math>x^{n+1}/(n+1)</math> und damit berechnen das Integral.
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 &= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt]
 &= -\frac{2}{2}+2\\[5pt]
-&= 1\,\textrm{.}
+&= 1
 \end{align}</math>}}
 \displaystyle \int\limits_1^4 \frac{\sqrt{x}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 \frac{x^{1/2}}{x^2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{1/2-2}\,dx = \int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
\int\limits_1^4 x^{-3/2}\,dx
&= \Bigl[\ \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] 
&= \Bigl[\ \frac{x^{-1/2}}{-1/2}\ \Bigr]_1^4\\[5pt]
&= \Bigl[\ -2\frac{1}{x^{1/2}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt] 
&= \Bigl[\ -\frac{2}{\sqrt{x}}\ \Bigr]_1^4\\[5pt]
&= -\frac{2}{\sqrt{4}} - \Bigl(-\frac{2}{\sqrt{1}}\Bigr)\\[5pt] 
&= -\frac{2}{2}+2\\[5pt]
&= 1 
\end{align}