Lösung 2.1:2b - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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- There is no ready made standard formula for a primitive function to our integrand, but if we expand + Erweitern wir zuerst den Ausdruck, erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- and write the last integral as + und wir erhalten das Integral
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
    
- we see that the integrand consists of three terms of the type <math>x^n</math> and we can directly write down a primitive function, + Wir sehen dass der Integrand aus Termen auf der Form <math>x^n</math> besteht, und daher erhalten wir direkt die Stammfunktion.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 &= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]  &= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]
 &= -\frac{27}{6}\\[5pt]  &= -\frac{27}{6}\\[5pt]
- &= -\frac{9}{2}\,\textrm{.} + &= -\frac{9}{2}\, 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Erweitern wir zuerst den Ausdruck, erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
\int\limits_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\,dx
&= \int\limits_{-1}^{2} (x^2+x-2x-2)\,dx\\[5pt] 
&= \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx 
\end{align}



und wir erhalten das Integral





\displaystyle \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.}


Wir sehen dass der Integrand aus Termen auf der Form \displaystyle x^n besteht, und daher erhalten wir direkt die Stammfunktion.





\displaystyle \begin{align}
\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx
&= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2\cdot\frac{x}{1}\ \Bigr]_{-1}^{2}\\[5pt] 
&= \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2\cdot\frac{2}{1} - \Bigl(\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2\cdot\frac{(-1)}{1}\Bigr)\\[5pt] 
&= \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 - \Bigl(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\Bigr)\\[5pt] 
&= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]
&= -\frac{27}{6}\\[5pt]
&= -\frac{9}{2}\, 
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:2b“
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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- There is no ready made standard formula for a primitive function to our integrand, but if we expand + Erweitern wir zuerst den Ausdruck, erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- and write the last integral as + und wir erhalten das Integral
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
    
- we see that the integrand consists of three terms of the type <math>x^n</math> and we can directly write down a primitive function, + Wir sehen dass der Integrand aus Termen auf der Form <math>x^n</math> besteht, und daher erhalten wir direkt die Stammfunktion.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 &= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]  &= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]
 &= -\frac{27}{6}\\[5pt]  &= -\frac{27}{6}\\[5pt]
- &= -\frac{9}{2}\,\textrm{.} + &= -\frac{9}{2}\, 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Erweitern wir zuerst den Ausdruck, erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
\int\limits_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\,dx
&= \int\limits_{-1}^{2} (x^2+x-2x-2)\,dx\\[5pt] 
&= \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx 
\end{align}



und wir erhalten das Integral





\displaystyle \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.}


Wir sehen dass der Integrand aus Termen auf der Form \displaystyle x^n besteht, und daher erhalten wir direkt die Stammfunktion.





\displaystyle \begin{align}
\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx
&= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2\cdot\frac{x}{1}\ \Bigr]_{-1}^{2}\\[5pt] 
&= \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2\cdot\frac{2}{1} - \Bigl(\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2\cdot\frac{(-1)}{1}\Bigr)\\[5pt] 
&= \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 - \Bigl(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\Bigr)\\[5pt] 
&= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]
&= -\frac{27}{6}\\[5pt]
&= -\frac{9}{2}\, 
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:2b“
-                      Willkommen zum Kurs
                       
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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- There is no ready made standard formula for a primitive function to our integrand, but if we expand + Erweitern wir zuerst den Ausdruck, erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- and write the last integral as + und wir erhalten das Integral
  
- {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx</math>}} + {{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
    
- we see that the integrand consists of three terms of the type <math>x^n</math> and we can directly write down a primitive function, + Wir sehen dass der Integrand aus Termen auf der Form <math>x^n</math> besteht, und daher erhalten wir direkt die Stammfunktion.
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 &= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]  &= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]
 &= -\frac{27}{6}\\[5pt]  &= -\frac{27}{6}\\[5pt]
- &= -\frac{9}{2}\,\textrm{.} + &= -\frac{9}{2}\, 
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Erweitern wir zuerst den Ausdruck, erhalten wir





\displaystyle \begin{align}
\int\limits_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\,dx
&= \int\limits_{-1}^{2} (x^2+x-2x-2)\,dx\\[5pt] 
&= \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx 
\end{align}



und wir erhalten das Integral





\displaystyle \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.}


Wir sehen dass der Integrand aus Termen auf der Form \displaystyle x^n besteht, und daher erhalten wir direkt die Stammfunktion.





\displaystyle \begin{align}
\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx
&= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2\cdot\frac{x}{1}\ \Bigr]_{-1}^{2}\\[5pt] 
&= \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2\cdot\frac{2}{1} - \Bigl(\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2\cdot\frac{(-1)}{1}\Bigr)\\[5pt] 
&= \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 - \Bigl(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\Bigr)\\[5pt] 
&= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]
&= -\frac{27}{6}\\[5pt]
&= -\frac{9}{2}\, 
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-There is no ready made standard formula for a primitive function to our integrand, but if we expand
+Erweitern wir zuerst den Ausdruck, erhalten wir
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}
-and write the last integral as
+und wir erhalten das Integral
-{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx</math>}}
+{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-we see that the integrand consists of three terms of the type <math>x^n</math> and we can directly write down a primitive function,
+Wir sehen dass der Integrand aus Termen auf der Form <math>x^n</math> besteht, und daher erhalten wir direkt die Stammfunktion.
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 &= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]
 &= -\frac{27}{6}\\[5pt]
-&= -\frac{9}{2}\,\textrm{.}
+&= -\frac{9}{2}\,
 \end{align}</math>}}
 \displaystyle \begin{align}
\int\limits_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\,dx
&= \int\limits_{-1}^{2} (x^2+x-2x-2)\,dx\\[5pt] 
&= \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx 
\end{align}
 \displaystyle \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx
&= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2\cdot\frac{x}{1}\ \Bigr]_{-1}^{2}\\[5pt] 
&= \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2\cdot\frac{2}{1} - \Bigl(\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2\cdot\frac{(-1)}{1}\Bigr)\\[5pt] 
&= \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 - \Bigl(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\Bigr)\\[5pt] 
&= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]
&= -\frac{27}{6}\\[5pt]
&= -\frac{9}{2}\, 
\end{align}