Lösung 2.1:2a

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The foremost difficulty with calculating an integral is finding a primitive function of the integrand. Once we have done that, the integral is calculated as the difference between the primitive function's values in the upper and lower limits of integration.
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Die Schwierigkeit in der Integralrechnung liegt darin, eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren.
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The integrand in our case consists of two terms in the form <math>x^n</math>, and so we can use the rule
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Da unser Integrand in der Form <math>x^n</math> ist, können wir die Regel
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C</math>}}
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on the terms individually to obtain that
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für jeden Term benutzen.
{{Abgesetzte Formel||<math>F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}</math>}}
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is a primitive function of the integrand.
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Der Wert des Integrals ist daher
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The integrand's value is thus
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Note: One way to check that <math>F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4</math> is a primitive function of the integral is to differentiate <math>F(x)</math> and to see that we obtain
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Hinweis: Wir können testen ob <math>F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4</math> eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir <math>F(x)</math> ableiten
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
F'(x) &= \tfrac{1}{3}\bigl(x^3\bigr)' + \tfrac{3}{4}\bigl(x^4\bigr)'\\[5pt]
F'(x) &= \tfrac{1}{3}\bigl(x^3\bigr)' + \tfrac{3}{4}\bigl(x^4\bigr)'\\[5pt]
&= \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 + \tfrac{3}{4}\cdot 4x^3\\[5pt]
&= \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 + \tfrac{3}{4}\cdot 4x^3\\[5pt]
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&= x^2+3x^3
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&= x^2+3x^3\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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as the integrand.
 

Aktuelle Version

Die Schwierigkeit in der Integralrechnung liegt darin, eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren.

Da unser Integrand in der Form \displaystyle x^n ist, können wir die Regel

\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C

für jeden Term benutzen.

\displaystyle F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}

Der Wert des Integrals ist daher

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_{0}^{2} \bigl( x^2+3x^3\bigr)\,dx &= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} + 3\cdot\frac{x^4}{4}\Bigr]_0^2\\ &= \frac{2^3}{3} + 3\cdot\frac{2^4}{4} - \Bigl(\frac{0^3}{3} + 3\cdot\frac{0^4}{4} \Bigr)\\[5pt] &= \frac{8}{3} + \frac{3\cdot 16}{4}\\[5pt] &= \frac{44}{3}\,\textrm{.} \end{align}


Hinweis: Wir können testen ob \displaystyle F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4 eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir \displaystyle F(x) ableiten

\displaystyle \begin{align}

F'(x) &= \tfrac{1}{3}\bigl(x^3\bigr)' + \tfrac{3}{4}\bigl(x^4\bigr)'\\[5pt] &= \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 + \tfrac{3}{4}\cdot 4x^3\\[5pt] &= x^2+3x^3\,\textrm{.} \end{align}

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