Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	The local extreme points of the function are one of the following,	+	Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
-	# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# points where the function is not differentiable, and	+	# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
-	# endpoints of the interval of definition.	+	# Randstellen.
-	We start with items 2 and 3. The function consists of a quotient of two polynomials, so the only possibility that the function is not defined or differentiable is if the denominator is zero somewhere. The denominator <math>1+x^{4}</math> is, however, a sum of the number <math>1</math> and <math>x^{4}</math> which is always positive (<math>x^{4}</math> is the square of <math>x^{2}</math>), and hence the denominator is always greater than or equal to	+	Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur definiert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner <math>1+x^{4}</math> ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.
-	<math>1</math>. The function is thus defined and differentiable everywhere. In order to determine the critical points, we differentiate the function using the quotient rule,	+
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	&= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]		&= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
	&= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]		&= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt]
-	&= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{.}	+	&= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	The derivative is zero when the numerator is zero and this gives us the equation	+	Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung
	{{Abgesetzte Formel||<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	The left-hand side is zero when one of the factors, <math>x</math> or <math>1-2x^2-x^4</math> is zero, i.e. either <math>x=0</math> or	+	Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren <math>x</math> oder <math>1-2x^2-x^4</math> null ist. Also ist <math>x=0</math> oder
	{{Abgesetzte Formel||<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-	The last equation is a second-degree equation in <math>x^2</math>, which is perhaps simpler to see if we substitute <math>t=x^{2}</math>,	+	Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir <math>t=x^{2}</math> substituieren,
	{{Abgesetzte Formel||<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}
-	The solutions are obtained by completing the square,	+	Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-	t^2 + 2t - 1 &= 0\,,\\[5pt]	+	t^2 + 2t - 1 &= 0\,\\[5pt]
-	(t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,,\\[5pt]	+	(t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,\\[5pt]
-	(t+1)^2 &= 2\,,	+	(t+1)^2 &= 2\,
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	and are <math>t=-1\pm \sqrt{2}</math>. It is only one of these solutions,	+	Die Lösungen sind <math> t=-1\pm \sqrt{2} </math>. Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit <math>x^{2}</math> sein. Also ist <math>t=-1+\sqrt{2}=x^2\,</math>.
-	<math>t=-1+\sqrt{2}</math>,that is positive and can be equal to <math>x^2\,</math>.	+
-	The function has therefore three critical points, <math>x=-\sqrt{\sqrt{2}-1}</math>,	+	Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, <math> x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} </math>,
-	<math>x=0</math> and <math>x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\,</math>.	+	<math> x=0 </math> und <math> x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, </math>.
-	We can determine the character of the critical points by writing down the sign of its derivative. It is useful to write down the derivative in an appropriately factorized form first. We know already that	+	Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass
	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}
-	and by completing the square of the expression <math>1-2x^2-x^4</math> with respect to <math>x^{2}</math>,	+	und durch quadratische Ergänzung von <math>1-2x^2-x^4</math> (als Gleichung in <math>x^{2}</math>) erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt]		1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt]
	&= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt]		&= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt]
-	&= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2	+	&= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\,.
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	we can write the derivative in the form	+	Die Ableitung ist also
-	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}</math>.}}
-		+	Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.
-	where it is rather simple to determine the sign of the individual factors.	+
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	|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>		|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
	|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|		|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
-	|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-\sqrt{ \sqrt{2} - 1}</math>	+	|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-\sqrt{ \sqrt{2}-1}</math>
	|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|		|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
	|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>		|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>0</math>
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	|}		|}
-		+	Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.
-	If we multiply these factors together, we get an outline of the derivative's sign and can draw conclusions about whether the critical points are local maximum points, minimum points or neither.	+
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	|}		|}
-		+	Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> ind ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=0</math>.
-	The function has local maximum points at <math>x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1}</math> and a local minimum at <math>x=0</math>.	+

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Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
3. Randstellen.

Wir untersuchen zuerst die Bedingungen 2 und 3. Die Funktion besteht aus einen Bruch von zwei Polynomen. Die Funktion ist nur definiert, wenn der Nenner ungleich null ist. Da der Nenner \displaystyle 1+x^{4} ist, ist er immer positiv. Wir leiten die Funktion mit der Quotientenregel ab, um die stationären Stellen zu finden.

\displaystyle \begin{align} f^{\,\prime}(x) &= \frac{\bigl(1+x^2\bigr)^{\prime}\cdot\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)\cdot \bigl(1+x^4\bigr)^{\prime}}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x\bigl(1+x^4\bigr) - \bigl(1+x^2\bigr)4x^3}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x+2x^5-4x^3-4x^5}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\\[5pt] &= \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}\,\textrm{} \end{align}

Der Ausdruck ist null, wenn der Zähler null ist. Wir erhalten die Gleichung

\displaystyle 2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr) = 0\,\textrm{.}

Die linke Seite ist null, wenn einer der Faktoren \displaystyle x oder \displaystyle 1-2x^2-x^4 null ist. Also ist \displaystyle x=0 oder

\displaystyle 1 - 2x^2 - x^4 = 0\,\textrm{.}

Die letzte Gleichung lösen wir am einfachsten, wenn wir \displaystyle t=x^{2} substituieren,

\displaystyle 1-2t-t^{2}=0\,\textrm{.}

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align} t^2 + 2t - 1 &= 0\,\\[5pt] (t+1)^2 - 1^2 - 1 &= 0\,\\[5pt] (t+1)^2 &= 2\, \end{align}

Die Lösungen sind \displaystyle t=-1\pm \sqrt{2} . Nur eine dieser Lösungen ist positiv und kann somit \displaystyle x^{2} sein. Also ist \displaystyle t=-1+\sqrt{2}=x^2\,.

Die Funktion hat also drei stationäre Stellen, \displaystyle x=-\sqrt{\sqrt{2}-1} , \displaystyle x=0 und \displaystyle x=\sqrt{\sqrt{2}-1}\, .

Wir bestimmen deren Charakter, indem wir das Vorzeichen der Ableitung bestimmen. Wir wissen schon, dass

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(1-2x^2-x^4\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}

und durch quadratische Ergänzung von \displaystyle 1-2x^2-x^4 (als Gleichung in \displaystyle x^{2}) erhalten wir

\displaystyle \begin{align} 1-2x^2-x^4 &= 1-\bigl(2x^2+x^4\bigr)\\[5pt] &= 1-\bigl(\bigl(x^2+1\bigr)^2-1^2\bigr)\\[5pt] &= 2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\,. \end{align}

Die Ableitung ist also

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = \frac{2x\bigl(2-\bigl(x^2+1\bigr)^2\bigr)}{\bigl(1+x^4\bigr)^2}.

Wir betrachten nun die Vorzeichen der einzelnen Faktoren.

\displaystyle x		\displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2}-1}		\displaystyle 0		\displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1}
\displaystyle 2x	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +
\displaystyle 2 - (x^2 + 1)^2	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -
\displaystyle (x^4 + 1)^2	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir das Vorzeichen der Ableitung.

\displaystyle x		\displaystyle -\sqrt{ \sqrt{2} - 1}		\displaystyle 0		\displaystyle \sqrt{ \sqrt{2} - 1}
\displaystyle \insteadof{2 - (x^2 + 1)^2}{f^{\, \prime} (x)}	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -
\displaystyle f(x)	\displaystyle \nearrow	\displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1)	\displaystyle \searrow	\displaystyle 1	\displaystyle \nearrow	\displaystyle \tfrac{1 }{2} (\sqrt{2} + 1)	\displaystyle \searrow

Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=\pm \sqrt{\sqrt{2}-1} ind ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=0.