Lösung 1.3:2a

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A function has its local extreme points at the following types of points:
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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
+
# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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# points where the function is not differentiable, and
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# singuläre Stellen (Theorie 1.3 E), in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
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# endpoints of the interval of definition.
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# Randstellen.
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We investigate these cases for our function:
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Wir untersuchen alle drei Fälle.
<ol>
<ol>
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<li>The derivative of <math>f(x)</math> is given by
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<li>Die Ableitung von <math>f(x)</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x-2</math>}}
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and becomes zero when <math>2x-2=0</math>, i.e <math>x=1\,</math>.</li>
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ist null, wenn <math>2x-2=0</math>, also für <math>x=1\,</math>.</li>
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<li>Because the function is a polynomial, it is differentiable everywhere.</li>
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<li>Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.</li>
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<li>The function is defined regardless of the value of ''x'', which means that the interval of definition is the whole real axis, and there are therefore no endpoints.</li>
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<li>Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keinen Rand und es gibt keine Randstellen.</li>
</ol>
</ol>
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The only point where the function could possibly have a local extreme point is thus <math>x=1\,</math>. In order to determine whether the point is a local extreme point, we investigate the derivative using a sign table.
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Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen und so ist <math>x=1\,</math> die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein kann. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.
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{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
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Da die Ableitung links von <math>x=1</math> negativ ist und rechts von <math>x=1</math> positiv, ist <math>x=1</math> eine lokale Minimalstelle.
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Because the derivative is negative to the left of <math>x=1</math> and positive to the right of <math>x=1</math>, then <math>x=1</math> is a local minimum.
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Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.
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The sign table also gives information about the graph's approximate appearance and by calculating the value of the function at a couple of points, we can make a sketch of the graph.
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[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]
[[Image:1_3_2a-3(3).gif|center]]

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. singuläre Stellen (Theorie 1.3 E), in denen die Funktion nicht ableitbar ist, oder
  3. Randstellen.

Wir untersuchen alle drei Fälle.

  1. Die Ableitung von \displaystyle f(x)
    \displaystyle f^{\,\prime}(x) = 2x-2
    ist null, wenn \displaystyle 2x-2=0, also für \displaystyle x=1\,.
  2. Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall differenzierbar.
  3. Die Funktion ist überall definiert, also hat unser Intervall keinen Rand und es gibt keine Randstellen.

Also sind alle lokalen Extremstellen auch stationäre Stellen und so ist \displaystyle x=1\, die einzige Stelle, die eine Extremstelle sein kann. Mit einer Vorzeichentabelle untersuchen wir, ob die Stelle eine Extremstelle ist.

\displaystyle x \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \searrow \displaystyle 0 \displaystyle \nearrow

Da die Ableitung links von \displaystyle x=1 negativ ist und rechts von \displaystyle x=1 positiv, ist \displaystyle x=1 eine lokale Minimalstelle.

Berechnen wir zusätzlich den Funktionswert in einigen Punkten, können wir die Funktion zeichnen.

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