Lösung 1.2:2d

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We can see the expression as "ln of something",
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Wir betrachten die Funktion als "den Logarithmus von irgendetwas"
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\ln x}}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\ln x}}\,,</math>}}
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where "something" is <math>\ln x</math>.
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wo das "irgendetwas" <math>\ln x</math> ist.
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Because we have a compound expression, we use the chain rule and obtain, roughly speaking, the outer derivative multiplied by the inner derivative,
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Da die Funktion verkettet ist, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} = \frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,(\ln x)\,} = \frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'\,,</math>}}
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where the first factor on the right-hand side <math>1/\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> is the outer derivative of <math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> and the other factor <math>\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'</math> is the inner derivative. Thus, we get
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wo der erste Faktor <math>1/\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}</math> die äußere Ableitung von <math>\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,(\ln x)\,}</math> ist und der zweite Faktor <math>\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'</math> die innere Ableitung ist. Wir erhalten also
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln\ln x = \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir betrachten die Funktion als "den Logarithmus von irgendetwas"

\displaystyle \ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\ln x}}\,,

wo das "irgendetwas" \displaystyle \ln x ist.

Da die Funktion verkettet ist, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit der Kettenregel

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,(\ln x)\,} = \frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)'\,,

wo der erste Faktor \displaystyle 1/\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} die äußere Ableitung von \displaystyle \ln \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,(\ln x)\,} ist und der zweite Faktor \displaystyle \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\,\ln x\,} \bigr)' die innere Ableitung ist. Wir erhalten also

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}\,\textrm{.}
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